青岛版八年级数学下册6.3菱形(3)

1、情景创设情景创设 前面我们学习了平行四边形前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角有一个角是直角时时,成为什么图形成为什么图形?(矩形矩形,由角变化得到由角变化得到) 如果从如果从边的边的角度角度,将平行四边形特殊化将平行四边形特殊化,又会得到什么特殊的四边形呢又会得到什么特殊的四边形呢?在平行四边形中，如果内角大小保持不在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？的平行四边形？ 平行四边形平行四边形 有有一组邻边相等一组邻边相等的的平行四边形平行四边形叫菱形叫菱形菱形

2、菱形邻边相等邻边相等活动一：活动一：让我们一同走进生活中的菱形菱形就在我们身边菱形就在我们身边师生互动师生互动 将一张长方形的纸对折、再对折，将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即得一个菱形然后沿图中的虚线剪下，打开即得一个菱形. . 菱形是轴对称图形吗？如果是，那么它有菱形是轴对称图形吗？如果是，那么它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？BDAC菱形是轴对称图形菱形是轴对称图形(2)从图中你能得到哪些从图中你能得到哪些结论结论?并说明理由并说明理由.提示提示:从边、角、对角线、从边、角、对角线、等方面来探讨等方面来探讨 (1)观察

3、得到的菱形观察得到的菱形, 它是轴对称图形吗它是轴对称图形吗?如果是，如果是，有几条对称轴有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系对称轴之间有什么位置关系? 由于平行四边形的由于平行四边形的对边相等对边相等，而菱形的而菱形的邻边相等邻边相等， 故：故：菱形的性质菱形的性质2：菱形的菱形的两条对角线互相垂两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角直平分，并且每一条对角线平分一组对角。线平分一组对角。菱形是特殊的平行四边形，具有平行四菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质边形的所有性质.菱形的性质：菱形的性质：BDAC菱形的性质菱形的性质1：菱形的菱形的四条边都相等四条边都相等。又：又：符号语

4、言符号语言四边形四边形ABCD是菱形是菱形AB=BC=CD=AD已知已知：菱形：菱形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC和和BDBD相交于点相交于点O O，如下图，如下图，证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形ABCDO在在ABDABD中，中，又又BO=DOBO=DOAB=ADAB=AD（菱形的四条边都相等）（菱形的四条边都相等）ACBDACBD，ACAC平分平分BADBAD同理：同理： ACAC平分平分BCDBCD； BDBD平分平分ABCABC和和ADCADC求证求证：ACBD ACBD ； AC平分平分BAD和和BCD ；BD平分平分ABC和和ADC 命题：命题：菱形的

5、对角线互相垂直平分，菱形的对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角；并且每一条对角线平分一组对角；符号语言符号语言四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形 ACBDACBD ACAC平分平分BADBAD和和BCD BCD ；BDBD平分平分ABCABC和和ADCADC菱形的菱形的 两条对角线互相平分两条对角线互相平分菱形的两组对边平行且相等菱形的两组对边平行且相等边边对角线对角线角角数学语言数学语言菱形的四条边相等菱形的四条边相等菱形的两组对角分别相等菱形的两组对角分别相等菱形的邻角互补菱形的邻角互补菱形的两条对角线互相垂直平分，菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组

6、对角。并且每一条对角线平分一组对角。四边形四边形ABCD是菱形是菱形 = AD BC AB CD= AB=BC=CD=DAADCBO DAC=BAC DCA=BCA ADB=CDB ABD=CBD ACBD OA=OC;OB=OD DAB=DCB ADC=ABC DAB+ABC= 180 3cm3cmCCBDA O1.1.已知菱形的周长是已知菱形的周长是12cm12cm，那么它的，那么它的边长是边长是_._. 2. 2.如下图：菱形如下图：菱形ABCDABCD中中BADBAD6060度，度，若若BDBD6cm6cm，则菱形的周长，则菱形的周长是（是（ A.3cm B.12cm C. 24cm

7、D.4cm【菱形的面积公式菱形的面积公式】菱形是菱形是特殊的平行四边形特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积吗面积公式计算菱形的面积吗?菱形ABCDOES菱形=BCAE思考思考:计算菱形的面积除了上式方法外计算菱形的面积除了上式方法外,利用对利用对角线能角线能 计算菱形的面积公式吗计算菱形的面积公式吗? 21ABCD=SABD+SBCD= BD .OA+ BD.OC = ACBD S菱形菱形面积：面积：S菱形菱形=底底高高=对角线乘积的一半对角线乘积的一半2121S菱形菱形211 1、菱形、菱形ABCDABCD两条对角线两条对角线BDBD、ACAC

8、长分别长分别是是6cm6cm和和8cm8cm，求菱形的面积。，求菱形的面积。CBDA OBDACSABCD21菱形24ABCDO如图，在菱形如图，在菱形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O（2 2）有哪些特殊的三角形？）有哪些特殊的三角形？（1 1）图中有哪些线段是相等的？）图中有哪些线段是相等的？1.1.菱形菱形ABCDABCD中中ABCABC6060度，度，则则BACBAC_._.ODCBA2、菱形的面积为、菱形的面积为24cm2,一条对角线的长为一条对角线的长为6cm，则另一条对角线长为，则另一条对角线长为 _ 3 3、已知菱形的两个邻角的比是、已

9、知菱形的两个邻角的比是1 1：2 2，较短的对角线长是较短的对角线长是 8cm 8cm，则菱形的周长为，则菱形的周长为 。想一想想一想我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们首先想到的第一种方法是什么？时，我们首先想到的第一种方法是什么？那么类比着它们，菱形的第一种判定方法那么类比着它们，菱形的第一种判定方法是什么？是什么？一组一组邻边邻边相等的相等的平行四边形平行四边形是菱形是菱形. .根据定义得：根据定义得：ABCD.,是菱形中在ABCDADABABCD还有什么方法吗还有什么方法吗?命题：命题：有四条边相等的四边形是菱形。有四条边相等的四边形是菱

10、形。已知：在四边形已知：在四边形ABCDABCD中中,AB=BC=CD=DA.,AB=BC=CD=DA.求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是菱形是菱形DABC证明：证明：AB=CD,AD=BCAB=CD,AD=BC四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形又又AB=AD,AB=AD,四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形u四条边都相等的四边形四条边都相等的四边形是菱形是菱形. .AB=BC=CD=DAABCD菱形菱形ABCDABCDAB=BC=CD=DAAB=BC=CD=DA四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形四边形四边形ABCDABCD判定方法判定方法2 2：数学语言数

11、学语言（判定定理（判定定理1）探究探究 用一长一短两根细木条用一长一短两根细木条, ,在它们的中点在它们的中点处固定一个小钉处固定一个小钉, ,做成一个可以转动的十字做成一个可以转动的十字, ,四周围上一根橡皮筋四周围上一根橡皮筋, ,做成一个四边形做成一个四边形. .转动转动木条木条, ,这个四边形什么时候变成菱形这个四边形什么时候变成菱形? ?对角线互相垂直的对角线互相垂直的平行四边形是菱形平行四边形是菱形.命题：命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知：在已知：在 中，中，AC AC BD BDABCDABCD求证：求证： 是菱形是菱形ABCDO证明：

12、证明：四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形OA=OCOA=OC又又ACBD; ACBD; BA=BC BA=BC ABCDABCD是菱形是菱形判定方判定方法法3 3：u对角线互相垂直的平行四边形对角线互相垂直的平行四边形是菱形是菱形ACBD在在ABCDABCD中，中，ACBDACBD ABCDABCD是菱形是菱形ABCD菱形菱形ABCDABCDABCDABCD数学语言数学语言菱形常用的判定方法：菱形常用的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形有四条边相等的四边形是菱形。有四条

13、边相等的四边形是菱形。+邻边相等邻边相等 =+ +对角线线互相垂直对角线线互相垂直= = 四条边相等四条边相等+ =文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言判定判定法一法一判定判定法二法二对角线互相垂直对角线互相垂直的平行四边形是的平行四边形是菱形菱形判定判定法三法三四边相等的四边四边相等的四边形是菱形形是菱形菱形的判定：菱形的判定：ABCDAB=BC=CD=DA四边形四边形ABCD是菱形是菱形在在ABCD中中ACBD四边形四边形ABCD是菱形是菱形在在ABCD中中AB=AD四边形四边形ABCD是菱形是菱形ABCDOABCD 一组邻边相一组邻边相等的平行四等的平行四边形是菱形边形是菱形

14、下列三个图形都是菱形下列三个图形都是菱形, ,正确吗正确吗? ?为什么？为什么？5534345555有一组邻边相等的平有一组邻边相等的平行四边形叫做行四边形叫做菱形菱形对角线互相垂直的平行对角线互相垂直的平行四边形是四边形是菱形菱形 有四条边相等的四边形是有四条边相等的四边形是菱形菱形。3344（1 1）. .下列命题中正确的是（下列命题中正确的是（ ） A.A.一组邻边相等的四边形是菱形一组邻边相等的四边形是菱形 B.B.三条边相等的四边形是菱形三条边相等的四边形是菱形 C.C.四条边相等的四边形是菱形四条边相等的四边形是菱形 D.D.四个角相等的四边形是菱形四个角相等的四边形是菱形C（2

15、2）. .对角线互相垂直且平分的四边形是（对角线互相垂直且平分的四边形是（ ） A.A.矩形矩形 B.B.一般的平行四边形一般的平行四边形 C.C.菱形菱形 D.D.以上都不对以上都不对C（3 3）. .下列条件中，不能判定四边形下列条件中，不能判定四边形ABCDABCD为菱形的是（为菱形的是（ ） A.ACBD,ACA.ACBD,AC与与BDBD互相平分互相平分 B.AB=BC=CD=DAB.AB=BC=CD=DA C.AB=BC,AD=CD, C.AB=BC,AD=CD,且且ACBD D.AB=CD,AD=BC,ACBDACBD D.AB=CD,AD=BC,ACBDC4 4、选择：、选择：

16、1 1、判断下列说法是否正确？为什么？判断下列说法是否正确？为什么？(1)(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形是菱形； （ ）(2)(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（ ）(3)(3)对角线互相垂直对角线互相垂直, ,且有一组邻边相等且有一组邻边相等 的四边形是菱形；的四边形是菱形； （ ）(4)(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一两条邻边相等，且一条对角线平分一 组对角的四边形是菱形组对角的四边形是菱形 （ ）ADBC8 8、已知：如图，、已知：如图，ADAD平分平分BACBAC，DEAC DEAC 交交ABAB于于E E，D

17、FABDFAB交交ACAC于于F F 求证：四边形求证：四边形AEDFAEDF是菱形是菱形 321ABCDEF AEDFAEDF是菱形是菱形证明：证明：DEAC DFABDEAC DFAB四边形四边形AEDFAEDF是平行四边形是平行四边形 DEACDEAC2=32=3 ADAD是是ABCABC的角平分线的角平分线 1=21=2AE=DEAE=DE 1=31=31010、已知：如图、已知：如图, , ABCD ABCD的对角线的对角线ACAC的的垂直平分线与边垂直平分线与边ADAD，BCBC分别交于分别交于E E，F F求证：四边形求证：四边形AFCEAFCE是菱形是菱形ABFCDEOEF垂直

18、平分垂直平分ACACAO=CO, AOE=90AO=CO, AOE=90FOC=AOE=90FOC=AOE=90四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形 ADBC AEFCAEO=CFOAEO CFO证明：证明：OE=OF又又AO=COAO=CO四边形四边形AFCEAFCE是平是平行四边形行四边形又又EFEFACAC四边形四边形AFCEAFCE是菱形是菱形6 已知：如图，已知：如图，AD平分平分BAC，DEAC交交AB于于E，DFAB交交AC于于F 求证：求证：EFAD； 321ABCDEF如图，如图，RtABC中，中，ACB=900，BAC=600，DE垂直平分垂直平分BC，垂足

19、为，垂足为D，交交AB于于E，又点，又点F在在DE的延长线上，且的延长线上，且AF=CE，求证：四边形，求证：四边形ACEF是菱形。是菱形。ABCDEF如下图在如下图在ABC中，中，BAC90，ADBC于于D，CE平分平分ACB，交，交AD于于G，交交AB于于C，EFBC于于F，四边形，四边形AEFG是菱是菱形吗形吗?1.你的收获是什么？你的困惑是什么？你的收获是什么？你的困惑是什么？2.你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识吗？吗？课堂反思课堂反思四边形集合四边形集合平行四边形集合平行四边形集合菱形集合菱形集合矩形集合矩形集合四、课堂小结：矩形和菱形的性

20、质四、课堂小结：矩形和菱形的性质 矩形 菱形定义有一个角是直角的平有一个角是直角的平行四边形行四边形有一组邻边相等的平行有一组邻边相等的平行四边形四边形性质1、具有平行四边形的具有平行四边形的一切性质一切性质2、四个角都是直角、四个角都是直角3、矩形的对角线相等、矩形的对角线相等1、具有平行四边形的具有平行四边形的一切性质一切性质2、菱形的四条边都相、菱形的四条边都相等等3、菱形的对角线互相、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角垂直，并且每一条对角线平分一组对角线平分一组对角 如图，边长为如图，边长为a的菱形的菱形ABCD中，中，DAB=60度，度，E是异于是异于A、D两点的动点，两点的动点，

21、F是是CD上的动上的动点，满足点，满足AE+CF=a。证明：不论证明：不论E、F怎样移动，三角形怎样移动，三角形BEF总是正总是正三角形。三角形。ABCDEF例例1、已知：、已知：AD是是ABC的角平分线，的角平分线，DEAC交交AB于于E，DFAB交交AC于于F，求证：四边形，求证：四边形AEDF是菱形。是菱形。ABCDEF123变式训练变式训练：把本例中的把本例中的“DE/AC交交AB于于E， DF AB交交AC于于F”改成改成“EF垂垂直平分直平分AD”，其他条件不变，其他条件不变，你能否证明四边形你能否证明四边形AEDF是是菱形？菱形？菱形性质的应用菱形性质的应用w已知已知: :如图如

22、图, ,四边形四边形ABCD是边长为是边长为13cm13cm的菱形的菱形, ,其中对角线其中对角线BD长长10cm.10cm.求求:(1).:(1).对角线对角线AC的长度的长度; (2).; (2).菱形的面积菱形的面积解:(1)四边形ABCD是菱形,=2=2ABD的面积的面积.5102121cmBDDEAED=90=900 0,(2)菱形ABCD的面积=ABD的面积+CBD的面积.125132222cmDEADAEAC=2=2AE=2=212=24(cm).12=24(cm).AEBD 212DBCAE.12012102122cm三、课堂练习（复习巩固）三、课堂练习（复习巩固） 1、菱形的

23、两条对角线长分别是、菱形的两条对角线长分别是6cm和和8cm，则菱形，则菱形 的周长的周长 ，面积，面积 。 2、菱形的面积为菱形的面积为24cm2,一条对角线的一条对角线的长为长为6cm，则另一条对角线长为，则另一条对角线长为 ；边；边长为长为 。 3、已知菱形的两个邻角的比是、已知菱形的两个邻角的比是1：2，较，较短的对角线长是短的对角线长是 8cm，则菱形的周长，则菱形的周长为为 。 4、已知菱形的周长为、已知菱形的周长为40cm，两对角线的，两对角线的比为比为3：4，则两对角线的长分别，则两对角线的长分别是是 。 由此可进一步推导得出：由此可进一步推导得出：对角线互相垂对角线互相垂直的

24、四边形的面积都等于两条对角线乘积的直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的一半。一半。EDOBA 例例1：如图，菱形：如图，菱形ABCD的边长为的边长为4cm，BAD2 ABC。对角线。对角线AC、BD相交于点相交于点O，求这个菱形的，求这个菱形的对角线长对角线长和和面积面积。ODCBA变式题变式题（1）：菱形两条对角线长为）：菱形两条对角线长为6和和8，菱形，菱形的边长为的边长为 ，面积为，面积为 。 （2）：菱形）：菱形ABCD的面积为的面积为96，对角线，对角线AC长为长为16 ，此菱形的边长为，此菱形的边长为 。 （3）:菱形对角线的平方和等于一边平方菱形对角线的平方和等于一边平方的的

25、（ ） A. 2倍倍 B. 3倍倍 C.4倍倍 D. 5倍倍5410C 例例2：菱形：菱形ABCD中，对角线中，对角线AC、BD相相交于点交于点O，E、F分别是分别是AB、AD的中点，求证：的中点，求证：OEOF。FEODCBAABCDEF变式题变式题（1）：菱形）：菱形ABCD ,E、F分别分别ABCD的中点，求证：的中点，求证：CE=CF. （2）如果上题中还有）如果上题中还有CEAB,CFAD,求各内角的度数求各内角的度数 例例3：如果菱形的一个角是：如果菱形的一个角是1200，那么这，那么这个角的顶点向两条对边所引的两条垂线分别个角的顶点向两条对边所引的两条垂线分别平分两边。平分两边。

26、FEDCBAABCDEF已知如图，菱形已知如图，菱形ABCD中，中，E、F分别是分别是BC、CD上的点，且上的点，且B= EAF=60 , BAE=18, 求求 CEF的度数的度数.思考：已知：菱形中思考：已知：菱形中ABCD，A=72,请设计三种不同的分法，将菱形请设计三种不同的分法，将菱形ABCD分成四个三角形，使得每一个三角形都分成四个三角形，使得每一个三角形都是等腰三角形。是等腰三角形。8、如图，、如图，E为菱形为菱形ABCD边边BC上一点，上一点，且且AB=AE，AE交交BD于于O，且，且DAE=2BAE，求证：求证：EB=OA；ABCDOE7、已知，菱形对角线长分别为、已知，菱形对角线长分别为12cm和和16cm，求菱形的高。，求菱形的高。1.菱形的定义菱形的定义: 是菱是菱形形2.菱形的性质菱形的性质:菱形的四条边菱形的四条边 ， 菱形的对角线菱形的对角线 ，并且每一条对角，并且每一条对角线一组线一组 对角对角.3.下列说法不正确的有下列说法不正确的有 (填番号填番号) 菱形的对边平行且相等菱