计算方法引论--误差

1、12 计算方法的主要内容；计算方法的主要内容； 计算方法的定义；计算方法的定义； 近似计算时，常采用的一些方法；近似计算时，常采用的一些方法； 误差的来源；误差的来源； 计算某值的绝对误差、绝对误差限、相对误差、计算某值的绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限，有效数字位数；相对误差限，有效数字位数； 数值运算中应注意的事项。数值运算中应注意的事项。3计算方法这门学科是根据解决实际问题的需计算方法这门学科是根据解决实际问题的需要而产生，并随着科学技术的发展而不断地发展要而产生，并随着科学技术的发展而不断地发展与创新。主要内容包括误差的一般概念、插值法、与创新。主要内容包括误差的一般概念、插

2、值法、数据拟合法、非线性方程的数值解法、线性代数数据拟合法、非线性方程的数值解法、线性代数方程组的数值解法、数值积分法、常微分方程初方程组的数值解法、数值积分法、常微分方程初值问题的数值解法和矩阵特征值与特征向量的求值问题的数值解法和矩阵特征值与特征向量的求法等。法等。4 计算方法是研究常见的基本数学问题的数值解法计算方法是研究常见的基本数学问题的数值解法及其相关理论的一门数学分支，它包含了数值代及其相关理论的一门数学分支，它包含了数值代数、数值微分与积分，常微分方程数值解等内容。数、数值微分与积分，常微分方程数值解等内容。5 计算方法课程的主要目的就是为人类解决很多实计算方法课程的主要目的就

3、是为人类解决很多实际问题而提供的一种计算工具，故同学们的任务际问题而提供的一种计算工具，故同学们的任务就是学习、掌握并利用这个工具。就是学习、掌握并利用这个工具。 培养学生基本的和必要的数值计算方面的知识；培养学生基本的和必要的数值计算方面的知识； 在学完高等数学、线性代数之后继续提高运用数在学完高等数学、线性代数之后继续提高运用数学知识，解决数值计算问题的能力。学知识，解决数值计算问题的能力。 6 1、模型误差、模型误差 2、观测误差、观测误差 3、截断误差、截断误差 4、舍入误差、舍入误差7 用数学模型来描述具体的物理现象时，往往要忽用数学模型来描述具体的物理现象时，往往要忽略许多次要因素

4、，把模型略许多次要因素，把模型“简单化简单化”、“理想理想化化”，因此模型本身就包含有误差，这种误差称，因此模型本身就包含有误差，这种误差称为模型误差。为模型误差。8 例我们用例我们用 ，（，（ 为重力加速度）为重力加速度） 来描述物体自由下落时距离与时间的关系设自来描述物体自由下落时距离与时间的关系设自由落体在时间由落体在时间 时的实际下落距离为时的实际下落距离为 ，则，则 就是就是 “模型误差模型误差”。ts21( )2s tgtgt( )tss t9 在数学模型中总要包含一些观测数据，这些观测在数学模型中总要包含一些观测数据，这些观测数据受工具、方法、观测者的主观因素、不可预数据受工具、

5、方法、观测者的主观因素、不可预料的随机干扰等影响必然带入误差，这种误差称料的随机干扰等影响必然带入误差，这种误差称为观测误差。为观测误差。10 例例2 设一根铝棒在温度设一根铝棒在温度 时的实际长度为时的实际长度为 ，在在 时的实际长度为时的实际长度为 ，用，用 来表示铝棒在来表示铝棒在温度为温度为 时的长度计算值，并建立数学模型：时的长度计算值，并建立数学模型： ， 其中其中 是实验观测到的常数：是实验观测到的常数： 则称则称 为为“模型误差模型误差”， 是是 的的“观测误差观测误差”。tLt0t 0Ltlt0(1)tlLt5(2.38 0.01) 10cttLl50.01 1011 在解决

6、实际问题时，数学模型常常难于直接求解，在解决实际问题时，数学模型常常难于直接求解，往往要近似代替，其近似解与精确解之间的误差往往要近似代替，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差。称为截断误差。12 例例3 求求 时，可将时，可将 展开为级数形式：展开为级数形式：在实际计算时，我们只取前面有限项（例如在实际计算时，我们只取前面有限项（例如 项）项）计算部分和计算部分和 作为作为 的值必然产生误差，其误的值必然产生误差，其误差为：差为：这个误差就是这个误差就是“截断误差截断误差”。212!nxxxexnn2()12!nnxxSxxn1()(1)!nneRxxn0 x在 与 之间21.2nxxxe

7、xn xexexe( )nSx13 在计算时总是只能取有限位有效数字进行计算而在计算时总是只能取有限位有效数字进行计算而引起，初始参数与中间结果都必须进行四舍五入，引起，初始参数与中间结果都必须进行四舍五入，这个误差称为舍入误差。这个误差称为舍入误差。14 例例4 ， ， 等，在计算机上运算时只能用有等，在计算机上运算时只能用有限位小数，如果取小数点后四位数字，则限位小数，如果取小数点后四位数字，则 ， ， ，就是就是“舍入误差舍入误差 ”3.141592621.4142135610 .3 3 3 3313.14160.000074l21.414220.000013l 310.33330.00

8、00333l 15总之，误差一般来自模型误差、观测误差、截断误差、总之，误差一般来自模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差。在计算方法课程中，不分析模型误差；观测误舍入误差。在计算方法课程中，不分析模型误差；观测误差作为初始舍入误差；截断误差是主要讨论对象，是计算差作为初始舍入误差；截断误差是主要讨论对象，是计算中误差的主要部分。在各种算法中，通过数学方法可推导中误差的主要部分。在各种算法中，通过数学方法可推导出截断误差限的公式；舍入误差产生往往有很大的随机性，出截断误差限的公式；舍入误差产生往往有很大的随机性，讨论比较困难，在问题本身呈现病态或不稳定时，它可能讨论比较困难，在问题本身呈现病态

9、或不稳定时，它可能成为计算中误差的主要部分。成为计算中误差的主要部分。误差分析是一门专门的学科，经过训练的计算工作者，误差分析是一门专门的学科，经过训练的计算工作者，当发现计算结果与实际不符时，应当能找出误差的来源，当发现计算结果与实际不符时，应当能找出误差的来源，并采取相应的措施加以改进，甚至对模型进行修改。并采取相应的措施加以改进，甚至对模型进行修改。16 误差、误差限、有效数字误差、误差限、有效数字 相对误差及与有效数字的联系相对误差及与有效数字的联系 算术运算的误差和相对误差算术运算的误差和相对误差17 定义定义1.1 设设 为准确值，为准确值， 为为 的一个近似的一个近似值，称值，称

10、 为为 近似值的绝对误差，简称近似值的绝对误差，简称误差。误差。 误差是有量纲的量，量纲同误差是有量纲的量，量纲同 ，它可正可负，它可正可负，当绝对误差为正时，近似值偏大，叫强近似值；当绝对误差为正时，近似值偏大，叫强近似值；当绝对误差为负时，近似值偏小，则称弱近似值。当绝对误差为负时，近似值偏小，则称弱近似值。*exx*x*xxxx18 通常我们并不知道准确值通常我们并不知道准确值 ，也不能算出误差，也不能算出误差的准确值，但能根据测量工具或计算情况估计出的准确值，但能根据测量工具或计算情况估计出误差的绝对值的上限，这个上限称为近似值误差的绝对值的上限，这个上限称为近似值 的误差限。记为的误

11、差限。记为 。 即即 在工程中常记为：在工程中常记为： *xxe*xxx*x19 例例5 我们用一把毫米刻度的米尺来测量桌子的长我们用一把毫米刻度的米尺来测量桌子的长度度 ，读出的长度为，读出的长度为 ， 是是 的近似值，由于米尺的精度知道，它的的近似值，由于米尺的精度知道，它的误差限为误差限为0.5mm，则有，则有*12350.51234.51235.51234.5,1235.512350.5xxxmmxxxmm即这表明 在区间内，写成*1235xmm*xxx20 定义定义1.2 误差与精确值的比值误差与精确值的比值 称作近似值称作近似值 的相对误差，记作。相对误差的相对误差，记作。相对误差

12、是无量纲的量，常用百分比表示，它可正可负。是无量纲的量，常用百分比表示，它可正可负。*exxxx*xre21 相对误差也不能准确计算，而是用相对误差限来相对误差也不能准确计算，而是用相对误差限来估计的：估计的： 就是相对误差限当就是相对误差限当 较小时，可以忽略较小时，可以忽略不计，所以以后我们就用不计，所以以后我们就用 表示相对误差限。表示相对误差限。*rrxxexxrr*x22称两堆苹果，第一堆称两堆苹果，第一堆 ，误差为，误差为 ；第；第二堆为二堆为 ，误差为，误差为 ，虽然后者的误差限比前，虽然后者的误差限比前者大，但不能简单地认为前者精确，还必须注意者大，但不能简单地认为前者精确，还

13、必须注意到该数本身的大小。到该数本身的大小。 相对误差分别为：相对误差分别为：显然，称第一堆苹果的相对误差大。显然，称第一堆苹果的相对误差大。100kg10kg2kg1kg110%10re 22%100re 23 定义定义1.3 如果近似值如果近似值 的绝对误差限的绝对误差限 是某一位是某一位数字的半个单位，我们就说数字的半个单位，我们就说 准确到该位，从这准确到该位，从这一位起直到前面的第一位非零数字为止的所有数一位起直到前面的第一位非零数字为止的所有数字称为字称为 的有效数字。的有效数字。*x*x*x24413.1416102513.14159102则说则说x* 近似表示近似表示 x 准确

14、到小数后第准确到小数后第n位，并从这第位，并从这第n位起位起直到最左边的非零数字之间的一切数字都称为直到最左边的非零数字之间的一切数字都称为，并把有效数字的位数称为并把有效数字的位数称为。定义：定义：如果如果*1102nxx（1.7）由上述定义由上述定义3.140.0015926有效数位为有效数位为3位位3.14160.0000074 有效数位为有效数位为5位位3.14150.0000926有效数位为有效数位为4位位250.034039*0.0342*0.03403*0.034044xxxx例：设，那么取2位，有效数字位数为 位；取3位，有效数字位数为 位；取4位，有效数字位数为 位；26 定理定理1.1 设近似值设近似值 ， 有有n位位有效数字，则其相对误差限为有效数字，则其相对误差限为 定理定理1.2 设近似值设近似值 的相对误差的相对误差限为：限为： ， ， 则它有则它有n位有效数字。位有效数字。12*0.10mnxa aa 10a 111102nra12*0.10mnxa aa111102(1)na 10a 27 例若例若 是是 的具有六位有效数字的具有六位有效数字的近似值，那么它的误差限是：的近似值，那么它的误差限是： 若若 是是 的具有五位有效数字的近的具有五位有效数字的近似值，则误差限是：似值，则误差限是： *3587.