大气运动的稳定性理论

1、Chp12 大气运动的稳定性理论大气运动的稳定性理论212.1 流体力学稳定性概念流体力学稳定性概念 现实世界中，任何系统总会受各种扰动影响原有运动状态 若离开平衡位置后仍可回到平衡位置，则称平衡态是稳定的。平衡态是稳定的。反之，若离开平衡位置后趋向于达到新位置，则称平衡态是不稳定的平衡态是不稳定的。举例：（1）单摆（2）水中木块地球大气大尺度运动的基本状态：轴对称的纬向流，而径向环流可视为追 加其上的扰动，且是小扰动（相对于基本流）， 故可对方程组线性化可设波形解 进而获得波动不稳定判据：波振幅是否会随t增加？我们已知，对于一个波动，可描述为：)()(tkxictxikAeAef（12.1）

2、且过去过去认为：A常数，且相速c（或圆频率 ）为实数。又称平衡态3但实际上请注意：c 或 可以为复数可以为复数波动振幅可变波动振幅可变！为什么？过去学过，纯重力内波的相速度（p.208，9.132式）：)()(23222kmikmkNkKKcdzdgNln而：当层结不稳定时，0lndzd，则N为虚数为虚数！现回到(12.1)的简单情形：对于(12.1)，设iriccc，则有：)()(tcxiktkcticcxikriireAeAef（12.2）为实数，注意irccpartimaginarypartreal,)()(tkxictxikAeAef可变振幅4是稳定的波。变化，称中性波动，也时，波幅不

3、随或的稳定不稳定称波动是衰减发展，波动将衰减增长将指数则波幅随或tctciiii0;, 0定义：若特别，气象上还规定i不稳定增长率不稳定增长率。 总而言之，确定c或 的表达式中出现虚部的条件，就是寻求波动 不稳定判据的过程。uu 注意：基本气流 常数时，波常为稳定的，故要讨论不稳定性，须设有南北切变 )0(yu)0(zu正压稳定度正压稳定度，或垂直切变斜压稳定度斜压稳定度；一般斜压问题。和而同时考虑00yuzu512.2 惯性不稳定惯性不稳定回忆：静力平衡大气中气块法判别层结稳定度公式：垂直方向上！稳定中性不稳定表示,)(dddzTgdtdw 惯性稳定度与之类似，只是在水平方向。考虑地转平衡下

4、对水平扰动的抑制情况。重要前提：)(yuu )(y如图：为简单起见，设环境重力位势只有南北分布：，且此环境大 气的基本状态满足地转平衡关系：yfuug1假定气块水平运动不改变重力位势场的分布，即气块本身具有的重力位势与环境位势gfuyyxx; 0的分布一致：实为正压不稳定D000y20yy0yy20Gguu oC气块6则由p坐标下的水平运动方程组（4.26）：)2()() 1 (uufdtdvfvdtdufuydtdvfvxdtdug（12.3）guyyy0现关心（2）中， 及u在流点离开初位置远处，即处各自如何表达？0yy )()(00yuyug设气块初始位置为，其纬向速度自然与所在处西风一

5、致：气块气块穿越气流移动y距离后，有：ydyduyuyyu)()(00（3）但请注意：fdyduvdydudtdydydudtdu（4）gufyx0种非地转不稳定惯性不稳定实质上是一?7将（4）代入到（3），即有yfyuyfyuyyug)()()(000（12.8）另一方面，要讨论正压不稳定性，就要考虑环境气流环境气流u有y方向水平切变，则：yyuyuyyuggg)()(00（12.9）将（12.8）（12.9）代入（2），便得到：)()(00yfyuyyuyufdtdvggg，即：（12.10）这就表明：在地转平衡大气中，受扰而南北移动的气块在离开其原位置后，是受抑制而返回（恢复）到原位置，

6、还是继续加速前进，将取决于（）内的正负情况。()gudvffydty 80fdtdv)(yufg在北半球，则与反号，故惯性稳定的判据为：注意，对水平运动，垂直涡度重要：yuxv，即：yufggf环境基本气流的绝对涡度环境基本气流的绝对涡度，故判据可改写为：（12.11）0yu最后提一下，在（12.11）中，若不考虑基本流的水平切变也就无后面的判据讨论可言，基本气流也就始终处于稳定状态，在 yu特别大的地方（如急流右侧），可以出现惯性不稳定。 ()0,gufy稳定中性不稳定-（12.11）0gf稳定，中性不稳定912.3.1基本模型其实，K-H波是重力内波得简化形式，如图的上油下水，运动限制于（

7、x,z）与y无关，不计地球自转作用则只有x,z向运动方程（惯、气）及连用下标j=1,2分别表示下、上二层流体，平面无柯氏力项，也不计摩擦力作用，由小扰动方法，设：)2 , 1( , , jpppwwuuujjjjjjjj而基本量在z方向上满足静力平衡关系：)2 , 1( jgzpjj（12.12）故有线性化后的微扰方程组为：xPPu )xut(jjjj1zPPuxutjjjj1)(0)(zwxujj（1）（2）（3）(x运动方程)（Z运动方程）（二维连续方程）12.3开尔文赫姆霍茨（K-H）不稳定10jwxz)2() 1 (jP尝试消元，得一个未知量（例如）一个方程，消去，得：0)(xwzux

8、utjjj，再对 z求导一次，得0)(22xwxzuxutjjjjw，故得关于的方向为：22) 3(zwzj（12.14）无穷运处及界面上的边条件分别为：,1wz,2wz有界，有界-（12.15）2222()()0(1,2)jjuwjtxxz11dtdpdtdphz21,（界面上压力连续）全导数展开并引入小扰动方法合并，得：0)() )( ,2121zppwppxuthzjj，进一步，用静力平衡关系（12.12）， 改为：（12.17）（12.14）、（12.15）及（12.17）改成定解问题，是下面稳定性讨论的基础。1212,()( )() 0jjz huppgwtx1212.3.2相速度及

9、波动不稳定判据相速度及波动不稳定判据对方程（12.14），设有波形解) 2 , 1()()(jezWwctxikjj（12.18）代入（12.14）得0222jjwkdzwd二阶常系数齐次线性常微方程（12.19）若用r表特征值则特征方程为：krkr2 , 1220二不等实根，故通解为：BABeAeBeAewkzkzzrzrj,21积分常数。利用边条件（12.15）知：z1wkzAewB10时，有界：z2wkzBewA20时，有界： （12.20）13jwjujp代回到（12.18）即有的完整表达，由此也可得、这就是p.364得（12.21）、（12.22）式，一个表下层，一个表上层，两层之间

10、是衔接的，具体为应满足界面动力学条件（12.17）：21、22代入17式，得：的完整表达，（12.23）关于A、B的齐次线性二联代数方程组。其有非零解的条件为系数行列式为零：（12.24）由此可得频率方程（12.25），进而解得K-H波的相速度表达式：221221212121212211)()()()(uukguuc（12.26）14显然，若根式中出现负结果相速c将为复数波动不稳定，故K-H不稳定的判据为：0)()()()(221221212121uukg （12.27）21uu 21当，且(下轻上重) 波不稳定2121uu 当而（无上下密度之分，称纯风速切变波）实际上，风速切变总是起不稳定作

11、用波动不稳定21221221212121)()()()(uukg当（上轻下重，利于稳定）时，只有才不稳 定，由此解不等式，可定义一个临界波数221212121)()(uugkcckk ，当时波动不稳定ck15Lk2ccLLguuL,)()(2212122121由于，也可定义临界波长不稳定。RTp2211,RTPRTP21pp 当然，由状态方程有（界面上，合为p）。故也可用温度表出ccLLTTTTuuTTgL,)()(2121222121波不稳定1612.4正压不稳定正压不稳定对于正压大气正压大气，力管项为零，则铅直涡度方程变为正压涡度方程（4.37）。进一步，对天气尺度，作为一级近似，涡度方程

12、为)()(yvxufdtfdn我们又知道，大尺度运动是准水平无辐散准水平无辐散的，故有正压涡度方程0)(0)(fVtdtfdh要讨论正压不稳定，就要设基本西风气流有水平切变：)(yuu 则要考虑（x,y）平面，用微扰法，设, )(vvuyuu（12.32）则dyud （12.33）yuxvdyudyuxv,（P125）-（12.31）17将（12.32）(12.33)代入(12.31)，可得线性化后的扰动正压涡度方程：0)( dydvxut（1）回忆：无旋则有势，平面不可压则有流函数，现是水平无辐散，故有流函数：,xvyu故（1）又可用一个未知函数表出： （2）方向梯度的称为基本气流绝对涡度y

13、fdyddyudfdyddyud)()()(22对线性方程（2），还须给出相应的边条件，设气流限制于如图的2d范围内，故有侧边界条件：0)()( dyxdyv（3）2222()0d uutxxdy18这样，（2）、(3)构成关于的定解问题。设（2）有波形解，)()(ctxikey（4）将(4)代入（2）、（3），得出关于振幅)(y的本征值问题：0)()(22222dyudkdydcu（5）0)(d（6）正压不稳定必要条件，如果Rossby波不稳定（0, 0iic）应出何结果？对于（5），两端除以)(cu ，变形为：0)(22222cudyudkdyd（12.40 ）19显然，如果扰动不稳定，则

14、可设iririiccc,（12.41）并可引入记号： iriririririricucicucuiccuiccuiccuiccucu22)()()(11对于上节获得的正压Rossby波振幅应满足的方程：0)(22222cudyudkdyd（12.40）那么，（12.41）代入（12.40），就有：用复数表示出将c模的平方）数，将分母化为实数（共轭复分子分母同乘以分母的实虚部分开xiycuiccu rcrcu 222irccucu20实部：0)()(2222222iirrrdyuddyudkdyd（7） （12.44）0)()(2222222riiridyuddyudkdyd（8）可得：,)8(

15、)7(ri 考虑上式中虚线部分，可以消去，从而简化问题：0)()(22222222riiirridyuddyddyd虚部:部分别为零复数为零，须其实、虚0)()()()(222222 iiriirrririruuiuiuikkdydidyd展开时此项不打开更好0)()(2222222iriririidyudkdydidyd，展开为：iyxriO2复振幅的模写成可积形式？21我们已设扰动是不稳定的，故改写为：0)(222iirridyuddyddyddyd对y从-d积分到d，并利用侧边条件0)(dy则上式左边第一项0，则有：ddidycudyudc0)(2222（9）0ic，上式要成立只有积分本

16、身=0。0, 022cu要改变符号，中，只有在区间22yud但，故上式成立，亦即在 （d，d）内至少存在着一点kyy ，在该点有0)(0)(0)(22kkkyyayyyyyyufydyudu y2cucii（12.29）22关于正压不稳定，再补一点内容：在流体力学中，不计作用，则上述正压不稳定条件（12.29）简化为：0)(22kyydyud （12.30）这个条件首先由Rayleigh提出，故称为Rayleigh不稳定条件不稳定条件。ufyua表明：只有基本气流的绝对涡度的南北变化yaa在(-d,d)中改变符号，或者说在(-d,d)中存在才有可能才有可能出现Rossby波的正压不稳定（郭晓岚

17、定理郭晓岚定理）。的极值点，又称正压不稳定之第一必要条件正压不稳定之第一必要条件。 这就是正压不稳定的必要条件正压不稳定的必要条件。负或由负变正的极值。绝对涡度要达到由正变本气流的是：在某一纬度上，基波不稳定。其判别条件下的情况本气流有南北水平切变正压无辐散大气中，基正压不稳定Rossby23u)(yuu u0icu可见，无论是正压不稳定第一必要条件，还是Rayleigh不稳定，基流存在水平切变（）是必不可少的条件。若基流积分不为零，则(9)要成立，只有，故一旦取为常数，则扰动一取常数，则(9)定是正压稳定的。回头再看一次（12.21）：0222 cuukdyd，iii*的共轭量用复振幅乘以上

18、式并对y从-d积分到+d： dddycuukdyd0*)(*222 （10）注意到：dyddyddyddyddyd*,*222故（10）可写为：0)(2222 dycuukdyddd（11）24其中)(22iridyudcuu ，故（11）分离实虚部，有：实部：实部： ddddrdycucuudykdyd22222)(（12） ddidyccuu022虚部：虚部：这就是前面的（9）！从实部方程（12）知：左端正值，故（12）成立之必要条件是右端为正。u)(22dyud与 dy 在区间内满足正相关称正压大气的Fjortoft（费尔托夫）定理（费尔托夫）定理， 又称正压不稳定需满足的第二必要条件第

19、二必要条件。 ddddrddddrdyucuudycuucdyucuudycucuu22222222)(右端此项为零。）知：对正压不稳定，由（92512.5 斜压不稳定斜压不稳定 1. 基本方程组和边条件基本方程组和边条件中高纬大型天气系统的发展，往往是和大气的斜压性密切相关的。斜压的具体表现，就是基本气流的西风分量随高度增加的（热成风关系），为简单起见， u)(puu 设只是高度p的函数，若绝热无摩擦，则有p坐标下运动方程组：00) 1 .12(pcpTyTvxTutTpyvxupfuypvyvvxvutvfvxpuyuvxuutu（静） （x运） (y运) （连） （热）波的不稳定斜压Ro

20、ssby26将（静）pRTp代入（热），有0)()()(pTcpRpTpRpyvpxupt，亦即：0)11()()()(cpRppTTPRTpyvpxupt故静、热可合并为：0)()()(spyvpxupt -（12.34-2）对，采用微扰法：设, , , )(uvvupu则有线性化后扰动量方程组为：)(fvxpuuxut（1）fuyvxut（2） -（12.2）Rpyxtppp号外，两端再除以提出是常数，故可以面上坐标系下，等,p位温定义）(lnp0pyvxu（3）0)()(spyvpxut（4）而36. 4(lnps27 下面，先设法将（1）、（2）、（3）合并为一式：（1）、（2）化为涡

21、度方程：yx) 1 ()2(（注：为简化其中又扰动与y无关！）：yvfvpuyxufyuxvxut)(00注意，此式不显含总之，可化为以下二式：0)(0vpfxvxut0)(0svpufpxut-（12.3）纯斜压平面近似）知，实为散度由（3联系起来与满足准地转关系，不过，若设个未知量个方程，vv,3228002022sxpupxutxpfxxut0, 000ppp为零：设上下边界的二联闭合方程组：，则有关于），代入（应用准地转假定3 .12,10 xfv（12.34）（涡度方程）（热力学方程）这就是我们讨论的Rossby波斜压不稳定的基本方程组波斜压不稳定的基本方程组边界条件：号甚至可以省写

22、扰动量撇也可以引入地转流函数0f292. 方程组的求解：方程组的求解：（两层模式下的Rossby波斜压不稳定讨论方程组）23113132122032323220121212)(2)(2(2)(2)(pxuuxuutpfxxxutpfxxxuts-(12.40)则有：再取算术平均近似：的微商用差商代替，如对层（下层）（上层）、方程写在散度涡度等分两层模式：大气分为斜压312312202121,21231:4uuupppp041层上23层下涡度方程绝热方程hPap2000hPap10004p00涡度方程30)(2)(3)(1ctxikctxikctxikEeBeAe设（12.40）有波形解：代之入

23、（12.40）得关于A、B、E的齐次线性代数方程组有非零解之充要条件,是系数行列式0 得频率方程，解之，有： 波动相速度为（12.44） 其中，为书写简洁，已引入以下4个符号：2,)2(/312202uuUpfms平均纬向风速231uuUT（12.45） 风速的垂直切变（大气斜压性）1222222()(2)mkcUkk（12.41）22224422222(2)(2)(2)TUkkkk )(a)(b为负数要出现虚部，只有c31若令0TU（正压大气），则由（12.44） ，（12.45） 知2222222222222)2()2()(kUkUkkkkkUcmmm以上二情况，c都不可能是复数，可见：只

24、有 0TU才可出现斜压不稳定。3、斜压不稳定条件斜压不稳定条件（必要条件与充分条件）（必要条件与充分条件） 由（12.45） 知，根号内的（a）为正，（b）可正可负，要出现不稳定, 0ic必须为负，要求0222 k,22Lk不稳定之必要条件不稳定之必要条件即不稳定必要条件： kmL370022cL（临界波长）正压大气水平有辐散Rossby波速正压大气水平无辐散Rossby波速22224422 222(2)(2)(2)TUkk kk )(a)(b32cLL cLL 0只有的波才有可能出现才有可能出现斜压不稳定，反之，当然，进一步才会出现波的不稳定，故有不稳定之充分条件不稳定之充分条件：波一定是稳

25、定的。0)2()2()2(22222222442kkUkkT，解不等式，有稳定不稳定波动,44422TcTTcTUUUkkU0TU 令根号内的值，可得随L变化之图像和稳定与不稳定之界限：TcTUU时，各种波长的扰动均为稳定；cLL TU时，不论多大，扰动亦均为稳定；TU越大，不稳定波的波长范围越宽；L足够大时，必须TU也很大，才能不稳定。TULTcUcL，稳定0，不稳定003312.6 中尺度对称不稳定中尺度对称不稳定12.6.1 基本概念基本概念现考虑基流为一般斜压纬向气流( , ) ,gguuy z而纬向（即x方向）运动方程为: 1uuupuvfvttyx （1） 实为惯性力、柯氏力和气压梯度力三力平衡，各量用特征尺度和无量纲积的形式表示，有：2*11)UPpVufUvLtLx （2） 若两端乘以L，则各项量纲应为单位质量空气的动能动能：*1)PpUVufLUvtx （3） 若两端再除以U，则各项应为单位质量空气的动量动量：*1)PpUVufLvtUx （4） f不是大气长波的不稳定性，而是中尺度气块的不稳定，故视为常数34gugMufy（4）表明，纬向基流的相对动量为，因地球自转f而引起的牵连动量为-fy， 纬向基流的绝对动量纬向基流的绝对动量。故可认为： 已学习过，用气块法讨论层结对流稳定性（z方向）和惯性稳定性（水平y 方向），且有如下之判据式：对流稳定性对流稳定性: