第2章投影基础

1、12AaBCbcS用投射线照射物体，把物体投到特定的平面上而得到物体图形的方法称为投影法，所设定的表面叫投影面，在投影面上的图形称为物体的投影 。3投射线汇交投射线汇交于投影中心于投影中心根据投射线之间的相对位置关系，常用的投影法有两大类：中心投影法和平行投影法。 全部投射线从有限远的一点（投影中心S）投射出，在投影面上做出物体投影的方法 4若将图中的投影中心移至无穷远，则所有投射线都相互平行，这种投影法称为平行投影法。根据投射线是否垂直于投影面，平行投影法又分为两种：正投影法和斜投影法。5672.1.3 正投影法的基本性质 （1）实形性：平面图形（或直线）与投 影面平行时，其投影反 映实形（

2、或实 长），如图所示。（2）积聚性：平面图形（或直线）与投 影面垂直时，其投影积聚为一条直线（或一个点），如图所示。（3）类似性：平面图形（或直线）与投 影面倾斜时，其投影变小（或变短）， 但投影的形状仍与原来形状相类似，如 图所示。 82.1.4 三视图的形成 用正投影法所绘制出的物体的图形称为视图。用正投影法绘制物体的视图时，是将物体置于观察者与投影面之间，以观察者的视线作投射线，而将观察到的形状画在投影面上。把看得见的轮廓用粗实线表示，看不见的轮廓用虚线表示，图形的对称中心线用细点画线表示。根据物体的一个视图一般不能确定其形状和大小。如图所示，几个形状不同的物体在同一投影面上得到了相同的

3、视图。 1三视图的形成9由于物体都有长、宽、高三个相互垂直的方向，因此设立三个相互垂直相交的投影面，构成三面投影体系，如图所示。三个投影面分别称为：正立投影面V（简称正面）；水平投影面H（简称水平面）；侧立投影面W（简称侧面）。每两个投影面的交线OX、OY、OZ称为投影轴，三个投影轴相互垂直相交于一点O，称为原点。将物体置于三面投影体系中的某一固定位置上，且置于投影面与观察者之间，并使物体的主要表面处于平行或垂直于投影面的位置，用正投影法分别向V、H、W面投射，即可得到物体的三个视图，分别称为：（1）主视图。由前向后投射，在V面上得到的视图。（2）俯视图。由上向下投射，在H面上得到的视图。（3

4、）左视图。由左向右投射，在W面上得到的视图。 10V面保持不动，面保持不动，H面绕面绕X轴向下转轴向下转90，W面绕面绕Z轴向右转轴向右转90，这，这样样V、H和和W三个投影面就摊在了同一平面上。三个投影面就摊在了同一平面上。OY轴是H面与W面的交线，投影面展开后，OY轴分为两处，在H面上的标以OYH ，在W面上标以OYW，如图所示。为了简化作图，投影面边框和投影轴可不必画出。如图示。 但由于三个视图是一个物体在同一位置上分别向三个投影面所作的投影，因此它们之间有如下位置关系：以主视图为准，俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方。这叫按投影关系配置视图，不必标注视图名称如图示。视图之间

5、的距离可根据图纸幅面和视图的大小来确定，一般要分布均匀。112三视图间的投影关系物体有长、宽、高三个方向的尺寸，每个视图都反映物体的两个方向的尺寸。如果把物体左右方向的尺寸称为长，前后方向的尺寸称为宽，上下方向的尺寸称为高，则主、俯视图同时反映了物体上各部分的左右位置，主、左视图同时反映了物体上各部分的上下位置，俯、左视图同时反映了物体上各部分的前后位置。三视图之间应存在如下投影关系（如图所示）：（1）主、俯视图中相应投影的长度相等，且要对正。（2）主、左视图中相应投影的高度相等，且要平齐。（3）俯、左视图中相应投影的宽度相等。上述主、俯、左三个视图之间的投影对应关系，通常简称为“长对正、高平

6、齐、宽相等长对正、高平齐、宽相等”的三等关系。这就是三视图的投投影规律影规律。它不仅适用于整个物体的投影，也适用于物体上每个局部结构的投影。画图、读图时要严格遵守。3三视图的作图方法和步骤12（1）分析物体的形状。弯板可以看成由底板和竖板组成。其中底板的左端中部切去了一个方槽，竖板的上部前后各切去一个角。（2）确定物体的位置。将弯板放平，使弯板上尽可能多的平面平行或垂直于投影面。（3）选择主视图。主视图应尽量反映物体的主要形体特征。所以选择最能反映弯板形体特征的方向作为主视图的投射方向，并考虑其余两视图简单易画，虚线少。如图所示。（4）作图。从整体到局部按三视图的投影对应规律作图，具体步骤如下

7、： （a）分析物体形状，选择主视图 （b）画作图基准线13（e）画右边切角的三面投影（先画侧面投影） （f）描粗加深，完成三视图（c）画弯板（由底板和竖板组成）的三视图 （d）画左端方槽的三面投影（先画水平投影）14a点的一个投影点的一个投影能确定点的空能确定点的空间位置吗？间位置吗？点是构成立体表面最基本的几何元素，点的投影仍然是点，而且是唯一的，空间A点，在H平面的投影为一点a。但是，已知点的一个投影b并不能够确定空间点的位置在B1、B2、B3等，如图所示 。2.2.1 物体上点的投影分析设物体上有一点A，A点的三面投影就是由A向三个投影面所作垂线的垂足。15A点在H面上的投影称为水平投影

8、，用a表示；A点在V面上的投影称为正面投影，用表a示；A点在W面上的投影称为侧面投影，用表a示。点的三面投影在物体视图上的位置如图所示。从图中可以看出，A点三个投影之间的投影关系与三视图之间的三等关系是一致的，由此我们得到点的投影点的投影规律：规律：（1）点的水平投影a和正面投影a的连线垂直于OX轴，即aaOX。（2）点的正面投影a和侧面投影a的连线垂直于OZ轴，即aaOZ。（3）点的水平投影a到OX轴的距离等于其侧面投影a到OZ轴的距离。即点的水平投影与侧面投影具有相同的Y坐标。因此，过a的水平线与过a的垂直线必相交于过原点O的45度斜线上。点的投影规律说明了点的任一投影与另外两个投影之间的

9、关系，是画图与读图的重要依据。aaOX16aaXZYYxzyy(y,z)(x,z)(x,y)OA(x, y, z)a17例：作点B（8，15，10）的三面投影。 （1）画出投影轴，并在OX轴上量取X=8mm得bX ，如图（a）所示。（2）过bX作OX轴的垂线。在垂线上从bX向下量取Y=15mm得到水平投影b，向上量取Z=10mm得到正面投影，如图（b）所示。（3）由b和b求得b，如图（c）所示。（a) (b) (c)182.2.3 空间两点的相对位置1两点的相对位置空间两点的相对位置是指这两点在空间的左右（X）、前后（Y）、上下（Z）三个方向上的相对位置。 2重影点及可见性空间两点的同面投影重

10、合于一点叫做重影点。XAXB，所以点A在点B的左方；YAYB，故A点在B点的后方；ZAZB，故点A在点B的下方。ZCZD3特殊位置点的投影（1）点处于投影面上：点的一个投影与空间点本身重合，点的另一个投影在OX轴上，如图所示的B、C两点。（2）点处于投影轴上：点和它的两个投影都重合于OX轴上，如图2所示的D点。19( )a aabbbccc2021ABABAB aba bab P22ABABAB aba bab P23直线相对于投直线相对于投影面的位置可影面的位置可归结为几类？归结为几类？24/V正平线正平线/W侧平线侧平线水平线水平线/H25 H铅垂线铅垂线正垂线正垂线 V W侧垂线侧垂线2

11、6水平线：水平线： H H面面正平线：正平线： V V面面侧平线：侧平线： W W面面铅垂线：铅垂线： H H面面正垂线：正垂线： V V面面侧垂线：侧垂线： W W面面27ababab28正平线正平线平行平行V V面面实长实长 bbaaba在直线所平行的投影面上，其投影反映实长并倾斜于投影轴；其余两个投影分别平行于相应的投影轴，且小于实长。29aabba(b)铅垂线铅垂线垂直垂直H H面面投影特性投影特性实长实长实长实长在直线所垂直的投影面上，其投影积聚成一点；另外两个投影分别垂直于相应的投影轴，且反映实长。 30判定判定31例：已知直线CD及点M的两面投影，判断点M是否在CD上，如图所示。

12、 解1：作侧平线CD和点M的侧面投影，如图所示。由作图知点M的侧面投影不在cd上，所以点M不在CD上。解2：在图的H面上作任一直线cE，使cE=cd。并截取cM1=cm，连dE，过M1作dE的平行线与cd交于m1，因为m1与m不重合，所以M不在CD上。c d 32平行平行 相交相交 交叉交叉 垂直垂直投影特性投影特性33abbacddc 34投影特性投影特性35abcdcabd1212343（ ）4（ ）AB CD?在空间既不平行又不相交的两直线为交叉两直线，其投影不具有平行两直线和相交两直线的投影特性。 36例 已知直线AB和C点的投影，过C点作水平线CD与AB相交（如下图（a）。解：根据水

13、平线的投影特性，先作CD的正面投影求出交点，再由作出d。如下图（b）所示。(a) (b)例 已知两直线AB、CD的投影及点M的水平投影m，作一直线MNCD并与直线AB相交于N点，如上图（a）所示。解：根据平行两直线和相交两直线的投影持性，要使MNCD，则MN的各面投影必须平行于CD的各面投影，并且与AB的交点满足点的投影规律。作图：过m作mncd，并与ab交于n；由n求出n；过n作nmcd，求得m，如上图（b）所示。(a) (b)37讨论其中一条直线为投讨论其中一条直线为投影面平行线的情况影面平行线的情况EFABCabcP空间两直线成直角（相交或交叉），若两边都与某一投影面倾斜，则在该投影面上

14、的投影不是直角；若一边平行于某一投影面，则在该投影面上的投影仍是直角。此定理适用于垂直相交和垂直交叉两直线。 38abcdabcdab cd已知已知AB/HAB/H、ABAB CDCD，求，求cdcd39 例：判断图中各直线的空间位置。例：判断图中各直线的空间位置。40 例：试分析立体表面上各线段的空间位置例：试分析立体表面上各线段的空间位置4142P4344 V正垂面正垂面铅垂面铅垂面 H W侧垂面侧垂面45/V正平面正平面水平面水平面/H/W侧平面侧平面46铅垂面：铅垂面： H H面面正垂面：正垂面： V V面面侧垂面：侧垂面： W W面面水平面：水平面：H H面面正平面：正平面：V V面

15、面侧平面：侧平面：W W面面47abcbacabc48 abccbaacb（1）在所垂直的投影面上投影积聚为直线。（2）其余两投影为类似形。（3）具有积聚性的投影与投影轴的夹角，分别反映平面与相应投影面的倾角 。49abcab cc ab（1）在所平行的投影面上投影反映实形。（2）其余两投影积聚为直线，且平行于相应的投影轴。50例：判断立体图中各平面的空间位置例：判断立体图中各平面的空间位置512.5.1 点和直线在平面内的几何条件52accabkbaccabkb53例 已知四边形ABCD的V面投影及AB、BC的H面投影，完成四边形的H面投影，如图中已知条件。 已知条件 解1 解2解1：过d作直线debc，交于ab于e；由e在ab上求出e，过e作bc的平行线，再由d在平行线上求出d；连ad、cd即为所求，如图解1。解2：连bd并与连线ac交于e，连接ac，在ac上由e求出e，连接