常微分方程：5-2自治微分方程组解的性质

1、 目录 上页 下页 返回 结束5.2 自治微分方程组解的性质自治微分方程组解的性质5.2.2 自治系统解的基本性质自治系统解的基本性质5.2.1 自治系统轨线的特点自治系统轨线的特点 目录 上页 下页 返回 结束5.2.1 自治系统轨线的特点自治系统轨线的特点自治系统在任意时刻从相空间同一点出发的解轨线自治系统在任意时刻从相空间同一点出发的解轨线均相同。而非自治系统在不同时刻从同一点出发的均相同。而非自治系统在不同时刻从同一点出发的轨线则不一定相同轨线则不一定相同.例例5.2.1 求自治系统求自治系统1dxxydtdydt (5.2.2) 目录 上页 下页 返回 结束当当 时过点时过点 的轨线

2、方程的轨线方程.0tt00(,)xy解解: 求该初始值问题的解得求该初始值问题的解得0()000000(1)1t txxyettyytty 消去解的表达式中的参数消去解的表达式中的参数 t 得轨线的方程为得轨线的方程为0()00(1)1yyxxyey由此可见，自治系统（由此可见，自治系统（5.2.2）在任意时刻）在任意时刻 从从0t 目录 上页 下页 返回 结束出发的解在相空间的轨线均相同。而非出发的解在相空间的轨线均相同。而非00(,)xy自治系统就不一定具有这样的性质自治系统就不一定具有这样的性质.例例5.2.2 求解下面两个初始值问题，并分析它们求解下面两个初始值问题，并分析它们的轨线的

3、轨线00, ( )1, ( )2,dxx x tdtdyy y tdt(5.2.3) 目录 上页 下页 返回 结束2)(,1)(,00tyydxdytxtxdtdx(5.2.4)解解 初值问题（初值问题（5.2.3）的解为）的解为0000( , )( , )2t ttxt ttyt te其轨线为其轨线为 ，初值问题（，初值问题（5.2.4）的解为）的解为2yx 目录 上页 下页 返回 结束0000( , )( , )2t ttxt ttyt te其轨线为其轨线为0(1)txye显然自治系统（显然自治系统（5.2.3）所描述的质点无论何）所描述的质点无论何时从点时从点 出发都会沿同一条曲线运动。

4、非自出发都会沿同一条曲线运动。非自0(1,2)P治系统治系统(5.2.4)所描述的质点运动的轨迹取决于它所描述的质点运动的轨迹取决于它从点从点 出发的初始时刻出发的初始时刻 。0(1,2)P0t 目录 上页 下页 返回 结束5.2.2 自治系统解的基本性质自治系统解的基本性质为了方便下边只对为了方便下边只对 时的自治系统进行时的自治系统进行2n 叙述，叙述， 时也有同样的性质，此时系统时也有同样的性质，此时系统(5.2.1)2n 可以写成：可以写成：( ,)( ,)dxfx ydtdyg x ydt(5.2.6) 目录 上页 下页 返回 结束习惯上习惯上(5.2.6)称为称为二维自治系统或平面

5、自治二维自治系统或平面自治系统系统。相应的相空间也称为。相应的相空间也称为相平面相平面。性质性质1 设设 是（是（5.2.6）的）的( ),( )xtyt一个解，则对于任意常数一个解，则对于任意常数0,(),()cccxtcytc仍是仍是(5.2.6)的解。的解。证证 因为因为 是（是（5.2.6）的解，）的解，( ),( )xtyt 目录 上页 下页 返回 结束所以所以,( )( ( ),( )( )( ( ),( )dtfttdtdtgttdt对所有的对所有的 都成立，因此都成立，因此t()()()()()()( (),()(,)cccdxdtcdtcd tcdtcdtdtd tcdtd

6、tcftctcf xy 目录 上页 下页 返回 结束所以所以 ， 满足系统的第一个方程。同理可证满足系统的第一个方程。同理可证cxcy它们也满足第二个方程，即它们也满足第二个方程，即 ， 也是系统也是系统cxcy(5.2.6)的解。的解。性质性质1也称为自治系统的积分曲线的也称为自治系统的积分曲线的平移不平移不变性变性，它的含义是系统（，它的含义是系统（5.2.6）的积分曲线在）的积分曲线在的三维空间中沿的三维空间中沿 轴任意平移后仍是轴任意平移后仍是( , , )t x yt 目录 上页 下页 返回 结束系统的积分曲线且对应的是相平面上同一条轨线系统的积分曲线且对应的是相平面上同一条轨线.(

7、 , )g x y性质性质2 设设 ， 关于关于 满足解的满足解的( , )f x y, x y存在惟一性条件，则过相平面上任一点存在惟一性条件，则过相平面上任一点00(,)xy系统系统(5.2.3)有且只有一条轨线经过。换句话说有且只有一条轨线经过。换句话说如果如果(5.2.6)两个解两个解 与与11( )( ),( )X tx ty t22( )( ),( )Y tx ty t有一个公共点，则相平面上有一个公共点，则相平面上 目录 上页 下页 返回 结束这两个解的轨线完全重合。这两个解的轨线完全重合。证证 设设 ，由解的存在惟一性定理系统，由解的存在惟一性定理系统200(,)xyR(5.2

8、.6)的满足的满足 的解的解0000( ), ( )x txy ty11( )( ),( )X tx ty t是存在的。是存在的。假设系统另一条轨线假设系统另一条轨线 也经也经22( )( ),( )Y tx ty t过点过点 ，即存在，即存在 使得使得00(,)xy10tt 目录 上页 下页 返回 结束210210( ),( ),x txy ty且且 满足（满足（5.2.6），则由性质），则由性质1知，知，22( ),( )x ty t210210( )(),()Z tx ttty ttt仍然为系统仍然为系统(5.2.6)的解。显然解的解。显然解 与与( )X t( )Z t在在 时候有相同

9、的值，因此由解的存在惟时候有相同的值，因此由解的存在惟0tt一性定理得出对于所有的一性定理得出对于所有的 都有都有 ，t即：即：)()(tZtX 目录 上页 下页 返回 结束性质性质2被称为被称为自治系统相空间轨线的惟一性自治系统相空间轨线的惟一性。12101210( )(),( )()x tx ttty ty ttt这就说明了解这就说明了解 与与 在相平面上的轨线在相平面上的轨线( )X t( )Y t是重合的是重合的.它的含义是自治系统的不同轨线在相平面上是不它的含义是自治系统的不同轨线在相平面上是不相交的。由性质相交的。由性质1，性质，性质2知我们在（知我们在（5.2.6）的解）的解 目

10、录 上页 下页 返回 结束中，只需要讨讨论初始时刻中，只需要讨讨论初始时刻 的解并简记为的解并简记为00t 0000( ;,)( ;,)xt xyyt xy从而有下边的性质从而有下边的性质3。性质性质3 对于任意的对于任意的 有有12,t t12002111200211(;,)( ;,)(;,)( ;,)ttxytx yttxytx y 目录 上页 下页 返回 结束其中其中 ， 。1100( ;,)yt xy性质性质4 设设 ，是（，是（5.2.6）( ),( )xx tyy t的解如果对于某的解如果对于某 ,存在存在 使得：使得：0t0T 0000()( ), ()( )x tTx ty t

11、Ty t则对于所有的则对于所有的 均有均有t()( ), ()( )x tTx ty tTy t此性质含义为：如果（此性质含义为：如果（5.2.6）的解经过）的解经过0T ),(0011yxtx 目录 上页 下页 返回 结束时间后返回到初始点，那么它一定是以时间后返回到初始点，那么它一定是以 为周期为周期T的周期解。周期解的轨线是一条封闭曲线。且不的周期解。周期解的轨线是一条封闭曲线。且不包含奇点。因而称之为包含奇点。因而称之为轨线轨线。轨线和奇点构成的。轨线和奇点构成的闭曲线称为闭曲线称为奇异闭曲线奇异闭曲线。性质性质5 系统系统(5.2.6)的出发于任何非奇点的出发于任何非奇点(常点常点)轨线不可能在有限时间到达某奇点轨线不可能在有限时间到达某奇点 。(,)xy 目录 上页 下页 返回 结束对于平面定常系统，已经证明了其轨线只能是三种对于平面定常系统，已经证明了其轨线只能是三种情况情况: (1)奇点，奇点，(2)闭轨线，闭轨线，(3)有限时间自身不相有限时间自身不相交轨线。交轨线。例例5.2.4 描出下列单摆方程的轨线。描出下列单摆方程的轨线。sindxydtdygxdtl (5.2.7) 目录 上页 下页 返回 结束解解 (5.2.7)是一个自治系统，且可以消去是一个自治系统，且可以消去 后将后将t其化为：其化为