《大学物理2》 磁场习题课2

1、1大学物理大学物理习题讨论课习题讨论课第第1616章章 电磁场电磁场法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律动生电动势动生电动势感生电动势感生电动势自感和互感自感和互感磁场的能量磁场的能量位移电流位移电流麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组电磁波电磁波大学物理教研室：郑采星大学物理教研室：郑采星21.1.如图所示，在磁感应强度如图所示，在磁感应强度B=7.6=7.6 1010-4-4T 的均匀磁场中，的均匀磁场中，放置一个线圈。此线圈由两个半径均为放置一个线圈。此线圈由两个半径均为3.7cm且相互垂直且相互垂直的半圆构成，磁感应强度的方向与两半圆平面的夹角分别的半圆构成，磁感应强度的方向与两半圆平面的夹角

2、分别为为62620 0和和28280 0。若在。若在 4.5 4.5 1010-3-3S 的时间内磁场突然减至零，的时间内磁场突然减至零，试问在此线圈内的感应电动势为多少？试问在此线圈内的感应电动势为多少？ 3解：由各种原因在回路中所引起的感应电动势，均可由解：由各种原因在回路中所引起的感应电动势，均可由法拉第电磁感应定律求解，即法拉第电磁感应定律求解，即 但在求解时应但在求解时应注意下列几个问题注意下列几个问题： 1 1回路必须是闭合的，所求得的电动势为回路的总电动势回路必须是闭合的，所求得的电动势为回路的总电动势。 2 2 应该是回路在任意时刻或任意位置处的磁通量。它由应该是回路在任意时刻

3、或任意位置处的磁通量。它由 计算。对于均匀磁场则有计算。对于均匀磁场则有其中其中 SScos为闭会回路在垂直于磁场的平面内的投影面积。为闭会回路在垂直于磁场的平面内的投影面积。SSBttdddddSSBdcosdBSSBS4对于本题，对于本题， 2211coscosBSBS 1 1和和 2 2为两半圆形平面法线与为两半圆形平面法线与B之间的夹角。之间的夹角。 3感应电动势的方向可由感应电动势的方向可由- -d d /dt/dt来判定，来判定，教材中已给出判定方法。教材中已给出判定方法。为方便起见，所取回路的正向（顺为方便起见，所取回路的正向（顺时针或逆时针）应与穿过回路的时针或逆时针）应与穿过

4、回路的B的方向满足右螺旋关系，的方向满足右螺旋关系，此时此时 恒为正值，这对符号确定较为有利。恒为正值，这对符号确定较为有利。 迎着迎着B的方向，取逆时针为线圈回路的正向。由法拉第电磁的方向，取逆时针为线圈回路的正向。由法拉第电磁感应定律，有感应定律，有 ，说明感应电动势方向与回路正向一致。，说明感应电动势方向与回路正向一致。 0)coscos(dddd2211BSBStt)coscos(dd2211SStBVSStB422111091. 4)coscos(52. 如图所示，真空中一长直导线通有电流如图所示，真空中一长直导线通有电流 ，式，式中为中为t 时间，时间，I0 、 为正常量；另一长为

5、为正常量；另一长为l1、宽为、宽为l2的矩形导线的矩形导线框与长直导线平行共面。设时刻框与长直导线平行共面。设时刻 t 二者相距为二者相距为a，矩形框正以，矩形框正以速率速率v向右运动，求此时刻线框内的感应电动势。向右运动，求此时刻线框内的感应电动势。 teItI0解解:取线框面积的正法向垂直纸面向里，则通取线框面积的正法向垂直纸面向里，则通过线框的磁通量（由长直电流所提供）为过线框的磁通量（由长直电流所提供）为其中其中a也是随时间变化的，而且也是随时间变化的，而且da/dt=v，有，有d参考：习题参考：习题16.10rlrtIrBllaalaad2)(d10122alaltI210ln2)(

6、alatIalattIlt2210lndd)(lnd)(d2dd)(ln2)(22210laalalatIlvteItI0)(av1l2l6由法拉第电磁感应定律得由法拉第电磁感应定律得显然，它是大于零的，表明感应电动势在线框内取顺显然，它是大于零的，表明感应电动势在线框内取顺时针方向，可以通过楞次定律进行验证。时针方向，可以通过楞次定律进行验证。通常用法拉第电磁感应定律来计算闭合路径中的感应通常用法拉第电磁感应定律来计算闭合路径中的感应电动势，得出的是整个回路的总感应电动势，它电动势，得出的是整个回路的总感应电动势，它可能可能是动生与感生电动势的总和是动生与感生电动势的总和。telaalala

7、lnIlt)(2dd222010v)(ln2)(dd22210laalalatIltvteItI0)(av1l2l7lBd)(v动生)(2111211BBllBlBvvv)11(2)(2021alatIBBtealalI)(22200)(211BBl v动生tealal lI)(222100vtealalnlI21002在在 中中固定固定a，仅对，仅对 t求导数得感生电动势求导数得感生电动势alalnlI21002感生以顺时针为正方向以顺时针为正方向telaalalalnIlt)(2dd222010vteItI0)(av1l2l1283.3.有两根相距为有两根相距为d 的无限长平行直导线，它们

8、通以大小相等的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流均以流向相反的电流，且电流均以d dI I/d/dt t的变化率的变化率增长。若有一边增长。若有一边长为长为d 的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示。的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示。求线圈中的感应电动势。求线圈中的感应电动势。 解解1 1：穿过面元穿过面元dS的磁通量为的磁通量为 SBSBSBdddd21xdxIxddxId2d)(200因此穿过线圈的磁通量为因此穿过线圈的磁通量为 43ln2d2d)(2d02020IdxxIdxdxIddddd再由法拉第电磁感应定律，有再由法拉第电磁感应定律，有 tI

9、dtdd43ln2dd09解解2:2:当两长直导线有电流当两长直导线有电流I通过时，穿过线圈的磁通量为通过时，穿过线圈的磁通量为 线圈与两长直导线间的互感为线圈与两长直导线间的互感为 43ln20dIM当电流以当电流以 dI/dt 变化时，线圈中的变化时，线圈中的互感电动势互感电动势为为 tIdtIMdd43ln2dd04320InId104.4.如图所示，用一根硬导线弯成半径为如图所示，用一根硬导线弯成半径为r的一个半圆。使这根的一个半圆。使这根半圆形导线在磁感应强度为半圆形导线在磁感应强度为B的匀强磁场中以频率的匀强磁场中以频率f 旋转，整旋转，整个电路的电阻为个电路的电阻为R，求感应电流

10、的表达式和最大值。求感应电流的表达式和最大值。 rGB解：由于磁场是均匀的，故任意时解：由于磁场是均匀的，故任意时刻穿过刻穿过回路回路的磁通量为的磁通量为 cos)(0BSt其中其中0等于常量，等于常量，S为半为半 圆面积，圆面积， 002ftt)2cos(21)(020ftrBt根据法拉第电磁感应定律，有根据法拉第电磁感应定律，有 )2sin(dd022ftfBrt因此回路中的感应电流为因此回路中的感应电流为 )2sin()(022ftRfBrRtI则感应电流的最大值为则感应电流的最大值为 RfBrIm22115. 长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平长直导线与矩形单匝线圈共面

11、放置，导线与线圈的长边平行，矩形线圈的边长分别为行，矩形线圈的边长分别为a、b，它到直导线的距离为它到直导线的距离为c（如如图），当矩形线圈中通有电流图），当矩形线圈中通有电流I = I0sin t时，求时，求直导线直导线中的感中的感应电动势。应电动势。 解解:如果在直导线中通以稳恒电流如果在直导线中通以稳恒电流I，在距离为在距离为r处产生的磁感应强度为处产生的磁感应强度为B = 0I/2 r在矩形线在矩形线圈中取一面积元圈中取一面积元dS=bdr，通过线圈的磁通量通过线圈的磁通量为为00ddln22a cScIb rIbacB Src互感系数为互感系数为 0ln2bacMIc当线圈中通以交变

12、电流当线圈中通以交变电流I = I0sin t时，直导线中的感应电动势大小为时，直导线中的感应电动势大小为 tIMddtIccabcos)(In200M12=M21=MIbcaM=？参考：习题参考：习题16.17126.6.如图所示，把一半径为如图所示，把一半径为R的半圆形导线的半圆形导线OP置于磁感应强度置于磁感应强度为为B 的均匀磁场中，当导线以速率的均匀磁场中，当导线以速率v水平向右平动时，求导线水平向右平动时，求导线中感应电动势的大小，哪一端电势较高？中感应电动势的大小，哪一端电势较高？ BvRop解解1 1：如图所示，假想半圆形导线如图所示，假想半圆形导线OP在宽为在宽为2R的静止在

13、的静止在“”形导轨形导轨上滑动，两者之间形成一个上滑动，两者之间形成一个闭合回闭合回路路。设。设顺顺时针方向为回路正向，时针方向为回路正向，任任一时刻一时刻端点端点O或端点或端点P距距“”形导形导轨左侧距离为轨左侧距离为x， xv13BRRx)212(2由于静止的由于静止的“”形导轨形导轨上的电动势为零，则上的电动势为零，则 式中负号表示电动势的方向式中负号表示电动势的方向为为逆逆时针，对时针，对OP段来说瑞点段来说瑞点P的电势较高。的电势较高。穿过该闭合回路的磁通量：穿过该闭合回路的磁通量：vBRtxRBt2dd2ddBRv2BvRopxv14解解2 2：建立如图所示的坐标建立如图所示的坐标

14、系，在导体上任意处取导体系，在导体上任意处取导体元元 d dl，则则由矢量由矢量 的指向可知，端点的指向可知，端点P的电势较高。的电势较高。 dcosdcos90sind)(d0RBlBlBvvv)(BvBRvvBR/2/2-2dcosdBvRopxyoBvld15解解3 3：连接连接OP使导线构成一个闭合回路。由于磁场是均匀的，使导线构成一个闭合回路。由于磁场是均匀的，在任意时刻，穿过回路的磁通量在任意时刻，穿过回路的磁通量 由法拉第电磁感应定律由法拉第电磁感应定律 可知可知: :又因又因即即 由上述结果可知，由上述结果可知，在均匀磁场中，任意闭合导体回路平动所在均匀磁场中，任意闭合导体回路

15、平动所产生的动生电动势为零；而任意曲线形导体上的动生电动势产生的动生电动势为零；而任意曲线形导体上的动生电动势就等于其两端所连直线形导体上的动生电动势。就等于其两端所连直线形导体上的动生电动势。半圆直线poopRvBpoop2半圆直线UpU0常数BStdd0BvopR167.电磁涡流制动器是一个电阻率为电磁涡流制动器是一个电阻率为 ，厚度为，厚度为b的圆盘，此盘绕的圆盘，此盘绕通过其中心的垂直轴旋转，且有一覆盖小面积为通过其中心的垂直轴旋转，且有一覆盖小面积为a2的均匀磁场的均匀磁场B垂直于圆盘，小面积离轴垂直于圆盘，小面积离轴r（ra）当圆盘角速度为）当圆盘角速度为 时，时，试导出阻碍圆盘转

16、动的磁力矩的近似表达式。试导出阻碍圆盘转动的磁力矩的近似表达式。raaBb解解: 将圆盘与磁场相对的部分当成将圆盘与磁场相对的部分当成长、宽和高分别为长、宽和高分别为a、a和和b的小导的小导体，其横截面积为体，其横截面积为 S = ab，aabSI电流将从横截面中流过，电流将从横截面中流过，小块长小块长a，因此其电阻为，因此其电阻为babaSlR1宽为宽为a的边扫过磁场，速度大小为的边扫过磁场，速度大小为 v = r ，产生的动生电动势为产生的动生电动势为 = Bav = Bar ，通过小导体的通过小导体的电流强度为电流强度为I = /R = Bar b/ ，所受的安培力为所受的安培力为 F

17、= IaB = B2a2r b/ ，方向与速度方方向与速度方向相反产生向相反产生的磁力矩为的磁力矩为 M = Fr = B2a2r2 b/ 参考：习题参考：习题16.5178.8.如图所示，一长为如图所示，一长为 ，质量为，质量为m的导体棒的导体棒CD，其电阻为其电阻为R，沿两条平行的导电轨道无摩擦地滑下，轨道的电阻可忽略不沿两条平行的导电轨道无摩擦地滑下，轨道的电阻可忽略不计，轨道与导体构成一闭合回路。轨道所在的平面与水平面计，轨道与导体构成一闭合回路。轨道所在的平面与水平面成成 角，整个装置放在均匀磁场中，磁感应强度角，整个装置放在均匀磁场中，磁感应强度B的方向为的方向为竖直向上。求：（竖

18、直向上。求：（1）导体在下滑时速度随时间的变化规律；）导体在下滑时速度随时间的变化规律；（2）导体棒）导体棒CD的最大速度的最大速度vm。 参考：习题参考：习题16.4感应电流所受安培力的方向？感应电流所受安培力的方向？vB BvBlId18如图所示，导体棒在下滑过程中除受重力如图所示，导体棒在下滑过程中除受重力P和导轨支持力和导轨支持力FN外，还受到一个与外，还受到一个与下滑速度有关的下滑速度有关的安培力安培力FA ，这个力是阻碍这个力是阻碍导体棒下滑的。根据安培定律，该力的大小为导体棒下滑的。根据安培定律，该力的大小为 导体棒沿轨道方向的动力学方程为导体棒沿轨道方向的动力学方程为将式（将式

19、（l）代入式代入式（2），并令），并令 则有则有分离变量并两边积分分离变量并两边积分 mRlBH222cos) 1 (22vcosRlBRBlBIlFA)2(ddcossintmmaFmgAvtvvddsin Hg19得得 由此得导体在由此得导体在t时刻的速度时刻的速度 由上式可知，当由上式可知，当t)1 (222cos222cossintmRlBelBmgRvttHg00dsindvvvtHgHgsinvsinln1222cossinlBmgRmvv分离变量并两边积分分离变量并两边积分 tvvddsin Hg此即为导体棒下滑的稳此即为导体棒下滑的稳定速度，也是导体棒能定速度，也是导体棒能够达

20、到的最大速度，其够达到的最大速度，其vt 图线如图所示。图线如图所示。 1978年全国高考物理试题年全国高考物理试题209.9.在半径为在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场，的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B 的方向的方向与柱的轴线平行。如图所示，有一长为与柱的轴线平行。如图所示，有一长为l 的金属棒放在磁的金属棒放在磁场中，设场中，设B随时间的变化率为常量。试证：棒上感应电动随时间的变化率为常量。试证：棒上感应电动势的大小为势的大小为 2222ddlRltBlEkdlELkdPQBoRl21证证1 1：取取 闭合回路闭合回路 OPQ 由法拉由法拉第电磁感应定律，有第电磁感应定律，有StBlE

21、SLkddOP、QO段，因为段，因为Ek（涡涡旋电场）旋电场）的方向与径向垂的方向与径向垂直，与直，与 矢量点积为矢量点积为0。ld所以：所以：PQ2222ddddddlRltBtBStPQBoRl22证证2 2：在：在rR 区域，感生电场强度的大小区域，感生电场强度的大小 设设PQ上线元上线元 dx 处，处，Ek k的方向的方向如图所示，则金属杆如图所示，则金属杆PQ上的上的电动势为电动势为LLKKPQxExEEdcosdxrlRtBrld)2/(dd2220148PPQBoRlxoxdkEtBrEkd2drrlR22)2/(cos22)2/(2ddlRltB23D AB(A) 电动势只在导

22、线电动势只在导线AB 中产生。中产生。继续讨论继续讨论: 在圆柱空间内有一磁感应强度为在圆柱空间内有一磁感应强度为B的均匀磁场，的均匀磁场，如图所示。如图所示。 B的大小以速度的大小以速度dB/dt变化。在磁场中有变化。在磁场中有A、B两两点，其间可放直导线点，其间可放直导线 AB 和弯曲的导线和弯曲的导线AB ，则，则（B）电动势只在电动势只在AB导线中产生。导线中产生。（C）电动势在电动势在AB和和AB中都产生，且两者的大小相等。中都产生，且两者的大小相等。（D）AB导线中的电动势小于导线中的电动势小于AB导线中的电导线中的电 动势。动势。24连接连接AO与与OB分别与分别与AB、AB 组

23、成闭合回路组成闭合回路 L。 ABSLrStBlEdd包含包含AB的闭合回路的闭合回路 L扇形面积扇形面积S11dddSABrLrStBlElE包含包含AB的闭合回路的闭合回路 L三角形面积三角形面积S22dddSABrLrStBlElE B/ t 一致，且一致，且 S1 S2AB导线中的电动势小于导线中的电动势小于AB 线中的电动势线中的电动势。 2510. 两个线圈的自感分别为两个线圈的自感分别为L1和和L2，它们之间的互感为，它们之间的互感为M(1) 将两个线圈顺串联，如图将两个线圈顺串联，如图a所示，求所示，求1和和4之间的互感；之间的互感；(2) 将两线圈反串联，如图将两线圈反串联，

24、如图b所示，求所示，求1和和3之间的自感之间的自感参考：习题参考：习题16.191234(a)234(b)1解：两个线圈串联时，通以电流解：两个线圈串联时，通以电流 I 之后，总磁场等于两个线圈分别产之后，总磁场等于两个线圈分别产生的磁场的矢量和磁场的能量为：生的磁场的矢量和磁场的能量为：VHBWVmd21P157（16.16）21BBBVBBVBVBVVVdd2d2212221VBBILILVdcos212121222126VBBILILWVmdcos21212122211234(a)234(b)1222212121MIILILWm（1）当两个线圈顺串时，两磁场的）当两个线圈顺串时，两磁场的

25、方向相同，方向相同， = 0，所以，所以P160（16.19）自感系数为自感系数为 MLLIWLm22212（2）当两个线圈反串时，两磁场的方向相反，）当两个线圈反串时，两磁场的方向相反， = ，所以，所以MLLIWLm22212自感系数为自感系数为 2711. 在垂直图面的圆柱形空间内有一在垂直图面的圆柱形空间内有一随时间变化的匀强磁场，磁感应强随时间变化的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直图面向里。在图面内度的方向垂直图面向里。在图面内有两条相交于有两条相交于O点的夹角为点的夹角为600的直的直导线导线Oa和和Ob，而，而O点则是圆柱形空点则是圆柱形空间与图面的交点。此外，在图面内间与图面的交

26、点。此外，在图面内另有一半径为另有一半径为r 半圆环形导线在上半圆环形导线在上述两条直线上以速度匀速滑动。的述两条直线上以速度匀速滑动。的方向与方向与aOb的平分线一致，并指的平分线一致，并指向向O点点(如图如图)。在时刻在时刻t t，半圆环的圆心正好与，半圆环的圆心正好与O O点重合点重合。此时磁感应强此时磁感应强度大小为度大小为B。磁感应强度大小随时间的变化率为。磁感应强度大小随时间的变化率为k(k为正为正数数)。求。求此时此时半圆环的导线与两条直线围成的闭合回路半圆环的导线与两条直线围成的闭合回路CODC中的感应电动势中的感应电动势 。2821 1由涡旋电场所形成，它相当于半圆导线处于由

27、涡旋电场所形成，它相当于半圆导线处于t 时刻所在时刻所在位置静止不动时，回路位置静止不动时，回路CODC中的感生电动势，所以中的感生电动势，所以解：顺时钟为绕行方向。回路中感应电动势由解：顺时钟为绕行方向。回路中感应电动势由 感生电动势感生电动势 1和动生电动势和动生电动势 2两部分叠加而成两部分叠加而成6/ddd2srkSBtSdddddSBtt注意下列几个问题注意下列几个问题： 1 1回路必须是闭合的，所求得的电动势为回路的总电动势回路必须是闭合的，所求得的电动势为回路的总电动势。 2 2 应该是回路在任意时刻或任意位置处的磁通量。应该是回路在任意时刻或任意位置处的磁通量。ktB261rS

28、？29BrlBCDBcdvvvd)(2rk/6)-(6/2BrkrBrvv CD弧上的动生电动势相当于弧上的动生电动势相当于CD弦上的动生弦上的动生电动势，所以电动势，所以 若若vB rk/6则则 的方向与所设正向一的方向与所设正向一致，即顺时钟方向；致，即顺时钟方向；vB rk/6 ，则则 的方的方向与所设正向相反，即逆时钟方向。向与所设正向相反，即逆时钟方向。30思考题思考题: : 金属探测器的探头内通入脉冲电流金属探测器的探头内通入脉冲电流,才能测到埋在地下才能测到埋在地下的金属物品发回的电磁信号。能否用恒定电流来探测？埋在地的金属物品发回的电磁信号。能否用恒定电流来探测？埋在地下的金属为什么能发回电磁信号？下的金属为什么能发回电磁信号？金属探测器除了军事上的用途之外，还广泛应用金