常微分方程：3-1 微分方程组的概念

1、 目录 上页 下页 返回 结束第三章第三章 微分方程组微分方程组 前面几章研究了只含一个未知函数的一阶前面几章研究了只含一个未知函数的一阶或高阶方程，但在许多实际的问题和一些理论或高阶方程，但在许多实际的问题和一些理论问题中，往往要涉及到若干个未知函数以及它问题中，往往要涉及到若干个未知函数以及它们导数的方程所组成的方程组，即微分方程组，们导数的方程所组成的方程组，即微分方程组，本章将介绍一阶微分方程组的一般解法，重点本章将介绍一阶微分方程组的一般解法，重点仍在线性方程组的基本理论和常系数线性方程仍在线性方程组的基本理论和常系数线性方程的解法上的解法上. . 目录 上页 下页 返回 结束一、微

2、分方程组的实例及有关概念一、微分方程组的实例及有关概念 多回路的电路问题多回路的电路问题 是电源电压，是电源电压， 是电感，是电感， 是电容器电容是电容器电容, , ( )E tLC 是电阻，是电阻， 是通过是通过 的电流，的电流， 是通过是通过12,R RL2i的电流，由基尔霍夫定律可建立以下方程组的电流，由基尔霍夫定律可建立以下方程组. . C3.13.1 微分方程组的概念微分方程组的概念LC2R1R)(tE考虑多个回路的电路，考虑多个回路的电路，1i 目录 上页 下页 返回 结束11121212 220()( )1()( )0tdiLR iiE tdtR iiR ii s dscLC2R

3、1R)(tE 目录 上页 下页 返回 结束解得解得 上面方程组第二式两边对上面方程组第二式两边对t t求导得求导得1112212122()( )1()0diLR iiE tdtdididiRRidtdtdtc).()()()(),(12112212112121221111tELRRRiLcRRLcRiLRRRdtditELiLRiLRdtdi(1) 目录 上页 下页 返回 结束Volterra 捕食捕食-被捕食模型被捕食模型设有捕食种群和食饵种群生活在同一小环境中设有捕食种群和食饵种群生活在同一小环境中,建立微分方程组来研究两种群个体数量随时间的建立微分方程组来研究两种群个体数量随时间的变化趋

4、势变化趋势.设设 t 时刻食饵和捕食者的数量或密度分别为时刻食饵和捕食者的数量或密度分别为),(),(tytx假设个体不区分大小假设个体不区分大小, 而且没有个体向环境输入或而且没有个体向环境输入或从环境输出从环境输出, 当环境中不存在捕食者时当环境中不存在捕食者时, 食饵种群的食饵种群的增长规律用下述增长规律用下述Logistic方程来描述方程来描述 目录 上页 下页 返回 结束上式左端表示被捕食者的相对增长率上式左端表示被捕食者的相对增长率; 右端的常数右端的常数1r称为称为内禀增长率内禀增长率,1k为为环境的容纳量环境的容纳量, 由由 (2) 可以看出可以看出,.),(111kraaxr

5、xdtdx.),1 (111111dbrkxrdtdxx(2)因此因此当当1kx 时时,种群规模增长种群规模增长, 1kx 时时, 种群规模减小种群规模减小.1k反映了环境能保证食饵个体数量变化时最反映了环境能保证食饵个体数量变化时最合适的容量合适的容量, 把把(2) 改写形式改写形式是其出生率是其出生率 减去死亡率减去死亡率1b,1d(3) 目录 上页 下页 返回 结束其中项其中项ax反映了以下事实反映了以下事实: 即在容纳量即在容纳量ark11一定的条件下一定的条件下,x的增大的增大, 将使每一个体平均的将使每一个体平均的生活条件降低生活条件降低, 从而影响种群的相对增长率从而影响种群的相

6、对增长率, 因此因此 ax或或2ax称为称为密度制约项密度制约项.由于捕食者的存在由于捕食者的存在, 将使食饵的增长率减少将使食饵的增长率减少, 设单位设单位总量成正比总量成正比, 注意到注意到 t 时刻有时刻有y(t) 个捕食者个捕食者, 它们在它们在时间内每个捕食者吃掉的食饵数量与该时刻食饵的时间内每个捕食者吃掉的食饵数量与该时刻食饵的单位时间内吃掉食饵的总数量应为单位时间内吃掉食饵的总数量应为0,bbxy为常数为常数, 目录 上页 下页 返回 结束).(1byaxrxdtdx对于捕食种群对于捕食种群, 当不存在食饵种群时当不存在食饵种群时, 仍用仍用Logistic).(2dyrydtd

7、y于是于是(3) 变为变为方程来描述增长规律方程来描述增长规律, 即即当存在食饵种群时当存在食饵种群时, 被捕食者吃掉的食饵将转化为被捕食者吃掉的食饵将转化为能量去生育后代能量去生育后代, 设转化系数为设转化系数为, k则捕食种群的则捕食种群的增长规律为增长规律为 目录 上页 下页 返回 结束).(2dycxrydtdy其中其中, 0, 0, 02kbcrd式中项式中项yr2反映了反映了捕食者仅以食饵捕食者仅以食饵 x为生为生.这样我们得到一个这样我们得到一个Volterra 捕食捕食-食饵系统食饵系统)()(21dycxrydtdybyaxrxdtdx(4) 目录 上页 下页 返回 结束质点

8、的空间运动质点的空间运动已知在空间运动的质点已知在空间运动的质点),(zyxp的速度与时间的速度与时间 t及点的坐标及点的坐标),(zyx的关系为的关系为),(),(),(321zyxtfvzyxtfvzyxtfvzyx且质点在时刻且质点在时刻),(000zyx0t经过点经过点求该质点的求该质点的运动轨迹运动轨迹. 目录 上页 下页 返回 结束这个问题其实就是求微分方程组这个问题其实就是求微分方程组),(),(),(321zyxtfdtdzzyxtfdtdyzyxtfdtdx满足初始条件满足初始条件000000)(,)(,)(ztzytyxtx的解的解).(),(),(tztytx 目录 上页

9、 下页 返回 结束事实上事实上, 在第在第3 章中的高阶微分方程章中的高阶微分方程).,()1()(nnyyyxfy,1)1(21 nnyyyyyy令令则上式可以化为方程组则上式可以化为方程组).,(,11211nnyyxfdxdyydxdyydxdy 目录 上页 下页 返回 结束上面方程组中的未知函数的导数都是一阶的上面方程组中的未知函数的导数都是一阶的,因此因此, 它们都是它们都是一阶微分方程组一阶微分方程组. 若出现的方程组中未知若出现的方程组中未知函数的导数是二阶或二阶以上函数的导数是二阶或二阶以上, 统称为统称为高阶微分高阶微分方程组方程组.注注: 所有的高阶微分方程组都可以通过变量

10、代换所有的高阶微分方程组都可以通过变量代换化为一阶微分方程组化为一阶微分方程组, 所以今后我们只研究所以今后我们只研究一阶微分方程组一阶微分方程组. 目录 上页 下页 返回 结束111212( ,),( ,),nnnndxf t x xxdtdxf t x xxdt的一般形式为的一般形式为 含有含有n个未知函数个未知函数1,nxx的一阶微分方程组的一阶微分方程组(5) 目录 上页 下页 返回 结束对所有未知函数都是对所有未知函数都是一次的，称此方程组为一次的，称此方程组为线性微分方程组线性微分方程组. 线性微分方程组及非线性微分方程组线性微分方程组及非线性微分方程组: : 如果微分方程组如果微

11、分方程组(5)(5)中的每一个中的每一个),(21nixxxtf例如例如: 方程组方程组(1) 是线性微分方程组是线性微分方程组, 方程组方程组 (5) 是非线性微分方程组是非线性微分方程组.否则否则, 称为称为非线性微分方程组非线性微分方程组. 目录 上页 下页 返回 结束微分方程组的解微分方程组的解设设 在在 上可微，并有恒等式上可微，并有恒等式 1( ),( )nxtxt( , )a b1( )( ,( ),( ),(1.2)iindx tf t x tx tindt则称则称 为微分方程组为微分方程组(5)(5)在区间在区间 1( ),( )nxtxt( , )a b的一个的一个解解.

12、. 目录 上页 下页 返回 结束通解及通积分通解及通积分 含有含有n n个任意常数个任意常数 的解的解 1,ncc1111( ,)( ,)nnnnxt ccxt cc为方程组的通解为方程组的通解 .这里这里相互独立相互独立.nccc,21 目录 上页 下页 返回 结束如果通解满足方程组如果通解满足方程组. 0),;,(, 0),;,(, 0),;,(21212121221211nnnnnnncccxxxtcccxxxtcccxxxt(6)则称则称(6) 为方程组为方程组 (5) 的的通积分通积分. 目录 上页 下页 返回 结束方程组方程组 (5) 的的初始条件初始条件为为.)(,)(,)(00

13、2020101nnnxtxxtxxtx如果已知如果已知(5) 的通解或通积分的通解或通积分, 而要求满足上述而要求满足上述初始条件初始条件 的解的解, 将将(6) 代入通解或通积分代入通解或通积分,得到关于得到关于1,ncc的的n 个方程个方程, 如能从中解得如能从中解得1,ncc再代回通解或通积分之中再代回通解或通积分之中, 就得到所求的解就得到所求的解. 目录 上页 下页 返回 结束二、二、函数向量与函数矩阵函数向量与函数矩阵（1 1）函数向量和函数矩阵）函数向量和函数矩阵或者或者 1( )( ),( )Tnxtx tx t为为 上的函数上的函数. .( )ix tI,)()()()(21

14、txtxtxtxnn维函数向量维函数向量其中其中)(tx定义为定义为 目录 上页 下页 返回 结束是定义在是定义在I I上的函数。上的函数。阶函数矩阵阶函数矩阵n n)(,taji)(tA定义为定义为其中其中注：注：关于向量或矩阵的代数运算关于向量或矩阵的代数运算, 如相加、相乘如相加、相乘成立。成立。与纯量相乘等性质对于以函数作为元素的矩阵同样与纯量相乘等性质对于以函数作为元素的矩阵同样,)()()()()()()()()()(2121222111211tatatatatatatatatatAnnnnn 目录 上页 下页 返回 结束关于函数向量与函数矩阵的连续、微分、积分的关于函数向量与函数

15、矩阵的连续、微分、积分的 定义如下：定义如下：如果函数向量如果函数向量或函数矩阵或函数矩阵)(tx)(tA是区间是区间 I 上的连续函数，则称上的连续函数，则称的每个元素分别的每个元素分别)(tx或或)(tA在在I 上连续上连续。如果函数向量如果函数向量或函数矩阵或函数矩阵)(tx)(tA是区间是区间 I 上的可微函数，则称上的可微函数，则称的每个元素分别的每个元素分别)(tx或或)(tA在在I 上可微上可微，则定义它们的导数分别为：则定义它们的导数分别为： 目录 上页 下页 返回 结束,)()()()(21txtxtxtxn,)()()()()()()()()()(2121222111211

16、tatatatatatatatatatAnnnnn如果函数向量如果函数向量或函数矩阵或函数矩阵)(tx)(tA是区间是区间 I 上的可积函数，则称上的可积函数，则称的每个元素分别的每个元素分别)(tx或或)(tA在在I 上可积上可积，则定义它们的积分分别为：则定义它们的积分分别为： 目录 上页 下页 返回 结束,)()()()(000021dssxdssxdssxdssxttntttttt.)()()()()()()()()()(0000000000212222111211ttnnttnttnttnttttttnttttttdssadssadssadssadssadssadssadssadss

17、adssA关于函数向量与函数矩阵的微分、积分运算和普通关于函数向量与函数矩阵的微分、积分运算和普通数值函数类似。数值函数类似。 目录 上页 下页 返回 结束（2 2）矩阵及向量的范数）矩阵及向量的范数 对对n n维列向量维列向量1,Tnxxx及及 阶矩阵阶矩阵 ()ijn nAa定义定义它们的范数为它们的范数为 1niixx1nijijAann 目录 上页 下页 返回 结束性质：性质：1. 0 x 且且 00ixx且且00ijAa2. ,xxAA3. ,xyxyABAB0A对任意常数对任意常数,有有);, 2 , 1(ni);, 2 , 1,(nji 目录 上页 下页 返回 结束3. ,.Ax

18、A xABAB5. ()()bbaax s d sx sd s( )( )bbaaA s dsA sds 目录 上页 下页 返回 结束向量序列和矩阵序列的收敛向量序列和矩阵序列的收敛称为称为收敛的收敛的，如果，如果 Tnkkkkkxxxxx),(,21向量序列向量序列对每一个对每一个 ), 2 , 1(nii数列数列ikx都是收敛的。都是收敛的。上上收敛的（一致收敛的），收敛的（一致收敛的），Tnkkkkkxxxtxtx),()(,)(21函数向量序列函数向量序列如果对每一个如果对每一个 ), 2 , 1(nii函数列函数列)(txik上都是收敛的（一致收敛的）。上都是收敛的（一致收敛的）。称

19、为在称为在在区间在区间bta在区间在区间bta 目录 上页 下页 返回 结束是函数向量级数是函数向量级数, ,如果其部分和所作如果其部分和所作 成的函数向量序列在区间成的函数向量序列在区间I I上收敛上收敛 ( (一致一致收敛收敛), 则称则称 在在I I上是收敛的上是收敛的( (一致收敛的一致收敛的).).1)(kktx设设1)(kktx由上面的定义，对函数向量序列和函数向量级数可由上面的定义，对函数向量序列和函数向量级数可得到与数学分析中关于函数序列和函数级数相类似得到与数学分析中关于函数序列和函数级数相类似的结论。例如：判别通常的函数级数的一致收敛性的结论。例如：判别通常的函数级数的一致

20、收敛性的维尔斯特拉斯判别法对于函数向量级数也是成立的维尔斯特拉斯判别法对于函数向量级数也是成立的。的。 目录 上页 下页 返回 结束即，如果即，如果,)(btaMtxkk而级数而级数1kkM是收敛的，则函数向量级数是收敛的，则函数向量级数1)(kktx在区间在区间bta上是一致收敛的。上是一致收敛的。积分号下取极限的定理对于函数向量也成立，积分号下取极限的定理对于函数向量也成立， 这这就就是说，如果连续函数向量序列是说，如果连续函数向量序列)(txk在在,ba上是一致上是一致收敛的，收敛的， 则则.)(lim)(limdttxdttxbakkbakk 目录 上页 下页 返回 结束下面再介绍矩阵

21、序列的有关定义和结果下面再介绍矩阵序列的有关定义和结果. .设设kA是是nn矩阵序列矩阵序列, 其中其中,)()(,nnkjikaA如果对一切如果对一切, 2 , 1,nji数列数列)(,kjia都收敛都收敛,则称则称 是收敛的是收敛的.kA是矩阵级数是矩阵级数, ,如果其部分和所作如果其部分和所作成的矩阵成的矩阵序列是收敛的序列是收敛的, 则称则称 是收敛的是收敛的. .设设1kkA1kkA 目录 上页 下页 返回 结束如果对于每一个正数如果对于每一个正数 k, 都有都有,kkMA而数项级数而数项级数1kkM是收敛的是收敛的, 则则1kkA也收敛也收敛, 此时称级数此时称级数1kkA是绝对收

22、敛的是绝对收敛的.由定义显然可知，由定义显然可知， 矩阵级数矩阵级数1kkA收敛的充分必要收敛的充分必要条件是：对所有的条件是：对所有的, 2 , 1,nji级数级数1)(,kkjia均收敛。均收敛。 目录 上页 下页 返回 结束（3）微分方程组的向量表示）微分方程组的向量表示).()()()(),()()()(),()()()(2211222221212112121111tfxtaxtaxtadtdxtfxtaxtaxtadtdxtfxtaxtaxtadtdxnnnnnnnnnnn线性微分方程组线性微分方程组（8) 目录 上页 下页 返回 结束( )( )dxA t xF tdt1( )(

23、),( ,)Tijn nnA ta txxx1( )( ),( )TnF tftft则初始条件可记为则初始条件可记为 00( )x tx则则(8)的矩阵形式为的矩阵形式为若记若记若方程若方程(8) 的初始条件是的初始条件是.)(,)(,)(002020101nnnxtxxtxxtx记记,),(002010Tnxxxx 目录 上页 下页 返回 结束类似地类似地, 方程方程(5) 也可以写成向量形式也可以写成向量形式, 只要记只要记,),(),(),(),(21212211nnnnxxxtfxxxtfxxxtfxtF则有则有).,( xtFdtdx 目录 上页 下页 返回 结束例例1: 1: 将初

24、值问题将初值问题 28, (0) 1, (0)4txxx e xx化为用矩阵表示的方程组形式化为用矩阵表示的方程组形式. .解解: : 则有则有 12( ),( )x tx x tx2212828ttxxxxexxe 即有即有 1221282txxxxxe设设 目录 上页 下页 返回 结束令令 12( )( )( )x tx tx t0( )tF te则有则有 ( )( ) ( )( )x tA t x tF t初始条件为初始条件为 2810)(tA.41)0(x 目录 上页 下页 返回 结束三、微分方程组解的存在唯一性定理三、微分方程组解的存在唯一性定理定理定理3.13.1 设设 和和 在在

25、 上连续上连续, , ( )A t( )F t , a b则初值问题则初值问题 000( )( )( ), , dxA t xF tdtx tx ta b（9）在在 内存在惟一解内存在惟一解 . .( )xx t),(ba（10） 目录 上页 下页 返回 结束证明证明: : （1 1）设设 为为(9)的满足初始条件的满足初始条件( )x t的解的解. . （2 2）构造）构造PicardPicard迭代向量函数序列迭代向量函数序列 取取 , ,令令 00( )x tx( )x t的解的解, 则则 是积分方程是积分方程00)(xtxttdssFsxsAxtx0)()()()(0 目录 上页 下页

26、 返回 结束ttnnttttdssFsxsAxtxdssFsxsAxtxdssFsxsAxtx000)()()()(,)()()()(,)()()()(10102001为区间为区间 上的连续函数列上的连续函数列.（3）序列序列 在在 上是一致收敛的上是一致收敛的 ( )nx t , a b构造构造 011( ) ( )( ),iiix tx txtatb , a b(11) (11) 目录 上页 下页 返回 结束由于级数的部分和为由于级数的部分和为niniitxtxtxtx110).()()()(因此要证明序列一致收敛因此要证明序列一致收敛, 只需证明级数只需证明级数(11)一致收敛一致收敛.

27、 因为因为)(tA)(tF和和都在闭区间都在闭区间连续连续, 所以所以)(tA和和)(tF都在都在即存在正数即存在正数 和和 , 使得使得.,)(,)(btaKtFLtAKL , a b上有界上有界, , a b 目录 上页 下页 返回 结束取取.0KxLM下面证明下面证明)(txk在在 上一致收敛上一致收敛.首先首先, 因为因为).()()()()()(00010ttMdssFsxsAtxtxttdssxsxsAtxtxtt0)()()()()(0112.)(! 2)(2000ttMLdsssLMtt , a b).(0btt 目录 上页 下页 返回 结束.,)(!)()(0011bttttmMLtxtxmmmm由数学归纳法知由数学归纳法知由于由于,000tbtt且级数且级数101)(!immttmML收敛收敛, 由由Weiestrass 判别法知判别法知, 级数级数(11) 在在,0bt上一致收敛上一致收敛, 因而向量函数序列因而向量函数序列)(txn在在,0bt,0ta上一致收敛上一致收敛, 同理得向量函数序列在同理得向量函数序列在上也一致收敛上也一致收敛. 从而在从而在,ba上一致收敛上一致收敛. 目录 上页 下页 返回 结束令令 lim( )( )nxx tx t（4） 是积分方程