定积分的基本性质

1、2对定积分的对定积分的补充规定补充规定:（1）当当ba 时时，0)( badxxf；（2）当当ba 时时， abbadxxfdxxf)()(.说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小在，且不考虑积分上下限的大小一、基本内容一、基本内容3证证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的

2、情况）性质性质1 14 babadxxfkdxxkf)()( (k为为常常数数).证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性质性质2 2性质性质1 1、2 2统称为统称为线性性，线性性，即即 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)( . 为常数，有，设 5 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba,例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxx

3、f)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则假假设设bca 性质性质3 3（区间可加性）（区间可加性）6dxba 1dxba ab .则则0)( dxxfba. . )(ba 证证, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf性质性质4 4性质性质5 5如果在区间如果在区间,ba上上0)( xf，证证 badxinix 101lim )(lim0ab . ab 7性质性质5

4、 5的推论：的推论：证证),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于于是是 dxxfba )( dxxgba )(.则则dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ， （1）8命题命题 设设上连续、非负上连续、非负证证由连续性和极限的局部保号性由连续性和极限的局部保号性，为区间端点时类似证明（取单侧邻域）为区间端点时类似证明（取单侧邻域）.将将性质性质5加强便得到如下命题：加强便得到如下命题：)(,)(babaxf 在区间且不恒为零，且不恒为零， badxxf.

5、 0)(则),(0)(00baxxf 设, 0 时，使,),(0baxNx .2)()(0 xfxf 有)2)()()(lim(000 xfxfxfxx 0000)()()()(xxbxbaxadxxfdxxfdxxfdxxf 00)(xxdxxf 002)(0 xxdxxf 22)(0 xf. 0 0 x9例例 1 1 比比较较积积分分值值dxex 10和和dxx 10)1(的的大大小小. 解解令令,1)(xexfx .1,0)(上连续在则xf, 01)( xexf于是于是dxex 10.)1(10dxx 如如果果gf ,在在区区间间,ba上上连连续续且且)()(xgxf ， 但不恒等，则但

6、不恒等，则 推论：推论： bababadxxgdxxf)( .)()(0)0()(,1 , 0( fxfx,1,1 , 0 xexx 处取等号，处取等号，且仅在且仅在0 x.1,0)(上上严严格格递递增增在在则则xf10dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 证证, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dxxfba )(.说明：说明：f在在,ba上上可可积积| f在在,ba上上可可积积 性质性质5 5的推论：的推论：（2）但反之不真，如但反之不真，如 .1, 1)(为无理数，为有理数xxxf在在0,1上上不可积不可积.11

7、设设M及及m分分别别是是函函数数证证,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）则则 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性质性质6(6(估值定理估值定理) )12例例 2 2 估估计计积积分分dxx 03sin31的的值值.解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx13例例 3 3 估

8、计积分估计积分dxxx 24sin的值的值.解解,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4 x, 0 )(xf在在2,4 上上严严格格单单调调下下降降, 故故4 x为为最最大大点点，2 x为为最最小小点点, 14证证.)()()()(dxxgMdxxgxfdxxgmbababa 注意到上式三项都是常数，立即得证前一结论注意到上式三项都是常数，立即得证前一结论;性质性质7 7（积分第一中值定理）（积分第一中值定理）).()()()(0)(xMgxgxfxmgxg ，则，则不妨设不妨设.)()()()(,)(.)()()(,)(,)()( bababa

9、badxxgfdxxgxfbabaxfdxxgdxxgxfMmbaxgbaxgxf 使得上连续，则在特别地，若，使得则存在上不变号，在上可积，都在和设由闭区间上连续函数的介值定理可证后一结论由闭区间上连续函数的介值定理可证后一结论.若, 0)( dxxgba则结论成立., 0)( dxxgba若15如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 特殊情况：特殊情况：积分中值公式积分中值公式即即,)(1)( badxxfabf),(上的平均值在baf16积分中值公式的

10、几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab )( f使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积等等于于同同一一底底边边而而高高为为)( f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。17比如：比如： 21)(TTdttv程，表示变速直线运动的路 21.)(112TTdttvTT表示其平均速度说明说明: (1)积分中值公式中的积分中值公式中的 与被积函数和与被积函数和 积分区间有关积分区间有关.(2)可以证明：可以证明：).,(ba 18解解例例4 某商店在某商店在30天的销售过程中，某货架上的天的销售过程中，某货架上的 商品件数由商品件

11、数由300件线性地下降到件线性地下降到60件，试求件，试求 货架上的月平均商品件数。货架上的月平均商品件数。.300 tty天货存件数，是第设,300)0( yty的线性函数，且是由题意知的关系为与于是tyy,60)30( 3003030060)( tty.300,3008 tt 300)3008(301dtty.180 19例例 5 5 设设)(xf可可导导，且且1)(lim xfx， 求求dttfttxxx 2)(3sinlim. 解解由积分中值公式知有由积分中值公式知有,2, xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3

12、sinlim2 f )(3lim2 f . 6 20定积分的性质定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）（注意估值性质、积分中值定理的应用）典型问题典型问题（）估计积分值；（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小（）不计算定积分比较积分大小二、小结二、小结21思考题思考题 定定积积分分性性质质中中指指出出，若若)(),(xgxf在在,ba上上都都可可积积，则则)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上上也也可可积积。这这一一性性质质之之逆逆成成立立吗吗？为为什什么么？22思考题解答思考题解答 由由)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上上可可积积，不不能能断断言言

13、)(),(xgxf在在,ba上上都都可可积积。 为无理数为无理数，为有理数为有理数xxxf0, 1)( 为为无无理理数数，为为有有理理数数xxxg1, 0)(显显然然)()(xgxf 和和)()(xgxf在在1 , 0上上可可积积，但但)(),(xgxf在在1 , 0上上都都不不可可积积。例例23一一、 填填空空题题：1 1、 如如果果积积分分区区间间 ba ,被被点点c分分成成 bcca,与与，则则定定积积分分的的可可加加性性为为 badxxf)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、 如如果果 baxf,)(在在上上的的最最大大值值与与最最小小值值分分别别为为Mm与与，则则 abdxxf)(有有如如下下估估计计式式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、 时时当当ba ，我我们们规规定定 badxxf)(与与 abdxxf)(的的关关系系是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；4 4、 积积分分中中值值公公式式 badxxf)()(,)(baabf 的的几几何何意意义义是是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；练练 习习 题题24一、一、1 1、 bccadxxfdx