第09讲-密度函数及其性质、均匀分布

1、CHAP2 CHAP2 随机变量及其分布随机变量及其分布第第0909讲讲 密度函数及其性质、均匀分布密度函数及其性质、均匀分布.,)(,d)()(, )(简简称称概概率率密密度度密密度度函函数数的的概概率率称称为为其其中中为为连连续续型型随随机机变变量量则则称称有有使使对对于于任任意意实实数数非非负负函函数数存存在在的的分分布布函函数数如如果果对对于于随随机机变变量量XxfXttfxFxxFXx 2.3.1 密度函数及其性质密度函数及其性质定义定义2.4并称并称X 的分布为连续型分布的分布为连续型分布. .性质性质;0)()1( xf;1d)()2( xxf)()()3(1221xFxFxXx

2、P ;d)(21xxfxx ).()(,)()4(xfxFxxf 则则有有处处连连续续在在点点若若)(aFaXP ,d)(xxfa 1aXPaXP )(1aF .d)(xxfa 同时得以下计算公式同时得以下计算公式注意注意 对于任意可能值对于任意可能值 a ,连续型随机变量取连续型随机变量取 a 的概的概率等于零率等于零.即即. 0 aXP证明证明aXP . 0 由此可得由此可得xxfxaaxd)(lim0 连续型随机变量取值落在某一连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关区间的概率与区间的开闭无关bXaP bXaP bXaP .bXaP .0 aXP若若X是连续型随机变量，是连续

3、型随机变量， X=a 是不是不可能事件，则有可能事件，则有, 0 aXP若若是是不不可可能能事事件件aX . 0 aXP若若 X 为离散型随机变量为离散型随机变量, 连连续续型型离离散散型型是是不不可可能能事事件件则则不不能能确确定定aX 例例1111 设随机变量设随机变量X 的密度函数为的密度函数为(1)(1)确定常数确定常数a;(2);(2)求求PX0.1(3)(3)求求X的分布函数的分布函数F(x)3000,( ),xaexf xx30( )ddxf xxaex33000,;( ),.xexf xx解解 (1)(1)由归一性，我们有由归一性，我们有解得解得a3，于是，于是X得密度函数为得

4、密度函数为303xae13a（3）有密度函数的定义知当）有密度函数的定义知当x0时时，F(x)=0;33031( )( )ddxxxxF xf ttexe31000,;( ),.xexF xx 0 120 1.( ) . ( )dP Xf xx30 13.dxex0 7408 .当当x0 0时时所以所以.)3(;2)2(;,)1(:., 1,arcsin, 0)(的的概概率率密密度度随随机机变变量量的的值值系系数数求求的的分分布布函函数数为为设设连连续续型型随随机机变变量量XaXaPBAaxaxaaxBAaxxFX 例例1212),(lim)(xFaFax 故有故有解解 (1) 因为因为 X

5、是连续型随机变量是连续型随机变量,)(lim)(xFaFax ,)(连连续续所所以以xF aaBAarcsin aaBAarcsin即即BA2 ,0 BA2 ,1 .1 B ., 1,arcsin121,0)(axaxaaxaxxF所所以以,21 A解解之之得得)2(aF 0)2arcsin(121 aa6121 2)2(aXaP )( aF .32 )()(xFxf 的的概概率率密密度度为为随随机机变变量量 X)3( .,0,122其其它它axaxa2.3.2 2.3.2 常见连续型随机变量的分布常见连续型随机变量的分布1,( )0,( , ),( , ).Xaxbf xbaXa bXU a

6、 b设连续型随机变量具有概率密度其它则称在区间区间上服从均匀分布记为1. 均匀分布均匀分布xo)(xf a b概率密度概率密度函数图形函数图形定义定义2.5均匀分布的意义均匀分布的意义,),(Xba变变量量上上服服从从均均匀匀分分布布的的随随机机在在区区间间.),(性性是是相相同同的的内内的的可可能能中中任任意意等等长长度度的的子子区区间间落落在在区区间间baxo)(xf a bab 1 lablp l ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF分布函数分布函数xo)(xF a b 1例例13 设随机变量设随机变量X 服从服从(1,6)上的均匀分布，求一元二上的均匀分布，求一元二次方程次方程

7、t2+Xt+1=0有实根的概率有实根的概率. 解解: :.01,0422有有实实根根时时因因为为当当 XttX故所求概率为故所求概率为: )04(2XP)22( XXP或或而而X的密度函数为的密度函数为 : ,0;61,51)(其其他他xxf,0)2(,54)()2(62 XPdttfXP且且因此所求概率因此所求概率 .54)04(2 XP例例14 设随机变量设随机变量 X 在在 2, 5 上服从均匀分布上服从均匀分布, 现对现对 X 进进行三次独立观测行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值大于试求至少有两次观测值大于3 的概率的概率. X 的分布密度函数为的分布密度函数为 ., 0, 52,31)(其其他他xxf设设 A 表示表示“对对 X 的观测值大于的观测值大于 3 的次数的次数”,解解即即 A