电路(第七章二阶电路)

1、电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回第七章第七章 二阶电路二阶电路7-1 LC电路中的正弦振荡电路中的正弦振荡7-2 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应7-3 RLC串联电路的全响应串联电路的全响应7-4 GCL并联电路的分析并联电路的分析电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回本章教学要求本章教学要求v1、了解二阶电路的基本概念； v2、了解二阶电路的一般分析方法。重点重点 RLC串联二阶电路的全响应难点 微分方程求解电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回二阶电路：二阶电路：包含一个电容和一个电感，或两个电容，或两个电包

2、含一个电容和一个电感，或两个电容，或两个电感的动态电路。感的动态电路。 这类电路可以用这类电路可以用一个二阶微分一个二阶微分方程来描述。方程来描述。 二阶电路的问题是求解二阶微分方程的问题。二阶电路的问题是求解二阶微分方程的问题。 有固定的步骤可以遵循，并不困难。有固定的步骤可以遵循，并不困难。分析二阶电路的方法：分析二阶电路的方法：首先建立描述电路的二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电首先建立描述电路的二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电路的响应。所以，必要的数学基础是必不可少的。路的响应。所以，必要的数学基础是必不可少的。注意：注意： 等效变换后，只含有一个电容（电感）的电路不属于二阶

3、电路。等效变换后，只含有一个电容（电感）的电路不属于二阶电路。关于二阶电路关于二阶电路电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回7-1 LC电路中的正弦振荡电路中的正弦振荡LC+- - U0i（1）在初始时刻，能量全部储于电容）在初始时刻，能量全部储于电容中，电感中没有储能。中，电感中没有储能。最最大大。，但但tiLuiLdd0电流电流i开始增大，电容电压下降，原来存储于电容中能量逐渐开始增大，电容电压下降，原来存储于电容中能量逐渐转移到电感的磁场中。转移到电感的磁场中。（2）当）当uc下降到零的瞬间，下降到零的瞬间，uL也为零，也为零，i的的变化率变化率也为零，也为零，i达达

4、到最大值到最大值I，储能全部转入到电感中。，储能全部转入到电感中。（3）uc=0时，但它的变化率不为零，时，但它的变化率不为零，i将从将从I逐渐减小，逐渐减小，C又被又被充电，但充电的方向与以前相反。充电，但充电的方向与以前相反。储能又从电感的磁场中转移到电容的电场中。储能又从电感的磁场中转移到电容的电场中。电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回（4）当）当i下降到零瞬间，能量又再度下降到零瞬间，能量又再度全部储于电容中，电容电压又达到全部储于电容中，电容电压又达到U0，只是极性相反而已，只是极性相反而已。（5）电容又开始放电，只是放电方向与）电容又开始放电，只是放电方向与

5、上一次电容放电的方向相反。上一次电容放电的方向相反。当电容电压再次下降到零瞬间，能量当电容电压再次下降到零瞬间，能量又全部储于电感中，电流又达到了最又全部储于电感中，电流又达到了最大值。大值。（6）电容又在电流的作用下充电，当电流为零瞬间，能量又）电容又在电流的作用下充电，当电流为零瞬间，能量又全部返回到电容中，电容电压的大小和极性又和初始时刻一样。全部返回到电容中，电容电压的大小和极性又和初始时刻一样。上述过程将不断地重复进行。上述过程将不断地重复进行。电路中的电流和电压将不断地改变大小和极性，形成周而复始电路中的电流和电压将不断地改变大小和极性，形成周而复始的振荡，且幅值不变，称为的振荡，

6、且幅值不变，称为等幅振荡等幅振荡。LC- -+ + UciLC- -+ + U0i电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回LC+- - uCiL 设设LC回路的回路的L=1H、C=1F，uC(0)=1V、iL(0)=0。tuCiCCddtuiCLddtiuLCdd 初始条件：初始条件：uC(0)=1V，iL(0)=0。 猜想方程的解为：猜想方程的解为：uC(t)=costiL(t)=sintLiiCiCLuuC)(sind)(dtitttuLC)(cosd)(dtutttiCL表明表明LC回路中的等幅振荡是按正弦规律随时间变化的。回路中的等幅振荡是按正弦规律随时间变化的。电路

7、分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回LCLC振荡波形振荡波形CL+ +_ _uLiLuC+ +_ _已知 uC(0) = U0iL(0) = 0t1t1t2t2t3t3t4t4t5t5t6t6t7t7t8t8t9t9t10t10t11t11t12t124T4T2T2T4T34T3TTuC(t)iL(t)U0U0ooImImttt1t1t2t2t3t3t4t4t5t5t6t6t7t7t8t8t9t9t10t10t11t11t12t12 LC LC电路中的正弦振荡电路中的正弦振荡电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回LC振荡回路的能量振荡回路的能量) J (2

8、1)cos(sin21)(21)(21)(2222tttCutLitw LC回路的总瞬时储能 结论：结论：无损耗无损耗LC回路所储存的能量，将以磁场和电场的形式回路所储存的能量，将以磁场和电场的形式在电感和电容之间相互交换，永不消失。在电感和电容之间相互交换，永不消失。LCLC振荡回路振荡回路) J (21210)0(21)0(21)0(22CuLiw LC回路的初始储能若电路中存在电阻，振幅逐渐减小，最终趋于零。若电路中存在电阻，振幅逐渐减小，最终趋于零。储能终将被电阻消耗完储能终将被电阻消耗完 。称为。称为阻尼振荡或衰减振荡阻尼振荡或衰减振荡。电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一

9、页返返 回回7-2 7-2 RLCRLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应LC含源电含源电阻网络阻网络+- -+ uR- - uOCR+ uC- -+ uL - -ituCiCddtuRCRiuCRdd22ddddtuLCtiLuCLOCLCRuuuu列列KVLKVL方程方程OCCCCuutuRCtuLCdddd22电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回OCCCCuutuRCtuLCdddd220dddd22CCCutuRCtuLC01dddd22CCCuLCtuLRtu 特征方程是：特征方程是：012LCsLRs这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。这是一个常系数非

10、齐次线性二阶微分方程。求解该方程必须有条件：求解该方程必须有条件：为了得到电路的为了得到电路的零输入响应零输入响应，令，令uOC=0，得二阶齐次微分方程，得二阶齐次微分方程 0Cu0ddtuC CiCti00根据一阶微分方程的求解根据一阶微分方程的求解经验可假定齐次方程的解经验可假定齐次方程的解 stCKeut电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 特征方程的两个根称为特征方程的两个根称为特征根特征根，又称，又称固有频率。固有频率。LCLRLRs12222, 1时时，时时，即即）当当（CLRLCLR21212时时，时时，即即）当当（CLRLCLR21222s s1 1、s

11、s2 2为不相等的负实数。为不相等的负实数。过阻尼过阻尼 s1 s1、s2s2为相等的负实数。为相等的负实数。临界临界时时，时时，即即）当当（CLRLCLR21232 s1 s1、s2s2为共轭复数，为共轭复数，欠阻尼欠阻尼电电路路的的阻阻尼尼电电阻阻。称称为为RLCCLRd2特征根决定电路的响应特点，其特征根决定电路的响应特点，其实部决定电路能量衰减的快慢，实部决定电路能量衰减的快慢，虚部决定电路振荡的频率。虚部决定电路振荡的频率。方程的解是方程的解是：tstsCKKtu21ee)(21方程的解是方程的解是：tstsCtKKtu21ee)(21电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页

12、返返 回回 例例 1 1 已 知已 知R R= 3= 3 , ,L L= 0 . 5 H , = 0 . 5 H , C C= 0 . 2 5 F , = 0 . 2 5 F , u uC C(0(0+ +)=2V,)=2V,i iL L(0(0+ +)=1A)=1A，求，求u uC C( (t t) )和和i iL L( (t t) )的零输入响应。的零输入响应。 42138331222221LCLRLRs，)0(ee)(4221CtKKtutt则有：则有：由由R,L,CR,L,C的值，计算出特征根的值，计算出特征根83. 22CLRd?解：解：dRR属于过阻尼情况属于过阻尼情况利用初始值利

13、用初始值uC(0+)=2V和和iL(0+)=1A，得，得 ：2)0( 21CKKu4)0(42d)(dL210CCiKKttutLCR+ uC- -+ uL - -i+ uR- -电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回解得解得:K1=6和和K2=-4最后得到电路的零输入响应为最后得到电路的零输入响应为 )0( V)e4e6()(42Cttutt)0(Ae4e3dd)()(42CCLttuCtititt过阻尼响应曲线（波形图）过阻尼响应曲线（波形图）uC20tiL10t 在在t0以后，电感电流减少，电感放出它储存的磁以后，电感电流减少，电感放出它储存的磁场能量，一部分为电阻消

14、耗，另一部分转变为电场场能量，一部分为电阻消耗，另一部分转变为电场能，使电容电压增加。能，使电容电压增加。到电感电流变为零时，电容到电感电流变为零时，电容电压达到最大值电压达到最大值，此时电感放出全部磁场能。，此时电感放出全部磁场能。 以后，电容放出电场能量，一部分为电阻消耗，以后，电容放出电场能量，一部分为电阻消耗，另一部分转变为磁场能。另一部分转变为磁场能。 到电感电流达到负的最大值后，电感和电容均放到电感电流达到负的最大值后，电感和电容均放出能量供给电阻消耗，直到电阻将电容和电感的初出能量供给电阻消耗，直到电阻将电容和电感的初始储能全部消耗完为止。始储能全部消耗完为止。 LCR+ uC-

15、 -+ uL - -i+ uR- -电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 例例2 2 已知已知R R=1=1 , ,L L=0.25H,=0.25H,C C=1F, =1F, u uC C(0(0+ +)=-1V,)=-1V,i iL L(0(0+ +)=0)=0，求电容电压和电感电流。求电容电压和电感电流。 22024221222221LCLRLRs，)0(ee)(2221CttKKtutt利用初始值利用初始值u uC C(0(0+ +)=-1V,)=-1V,i iL L(0(0+ +)=0)=0，得，得则有：则有：0)0(2d)(d1)0( L210C1CCiKKtt

16、uKut先求特征根先求特征根12CLRd?解：解：dRR属于临界阻尼情况属于临界阻尼情况LCR+ uC- -i+ uR- -电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数K1=-1和和K2=-2。)0(V)e2e()(22Ctttutt电感的电流为：电感的电流为： )0(Ae4 )e4e2e2(dd)()(2222CCLttttuCtititttt电容的电压为：电容的电压为：临界阻尼响临界阻尼响应曲线应曲线iL0t物理过程：物理过程：电感初始储能为电感初始储能为0，电容放电，一部分能量变成磁，电容放电，一部分能量变成磁场能量，另一部分

17、被电阻消耗；电感储能达到最大值后，电容场能量，另一部分被电阻消耗；电感储能达到最大值后，电容、电感都释放能量，这些能量全部消耗到电阻上，直至耗尽。、电感都释放能量，这些能量全部消耗到电阻上，直至耗尽。uC-10t电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回欠阻尼响应欠阻尼响应条件条件 特征根特征根s1,s2为两个共轭复数根，即：为两个共轭复数根，即： CLR2 d20 jj1222221 LCLRLRs，其中其中 02LRLC10220d衰减系数衰减系数谐振角频率谐振角频率衰减谐振角频率衰减谐振角频率电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回齐次微分方程的解为：齐

18、次微分方程的解为：(用欧拉公式用欧拉公式) )cos(e)sincos(e)(dd2d1CtKtKtKtutt式中式中 122221KKarctgKKK 由初始条件由初始条件iL(0+)和和uC(0+)确定常数确定常数K1,K2后，可以后，可以得到电容电压的表达式，再利用得到电容电压的表达式，再利用KCL和和VCR方程，方程，可以得到电感电流的表达式。可以得到电感电流的表达式。 电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回例例3 3 已知已知R=6R=6,L=1H, C=0.04F, u,L=1H, C=0.04F, uC C(0+)=3V, i(0+)=3V, iL L(0+)

19、=0.28A(0+)=0.28A，求电容电压和电感电流的零输入响应。求电容电压和电感电流的零输入响应。j4353312222221LCLRLRs，于是有于是有 )0()4sin4cos(e)(213CttKtKtut利用初始值利用初始值uC(0+)=3V和和iL(0+)=0.28A得得: 解：先求特征根解：先求特征根7)0(43d)(d3)0( L210C1CCiKKttuKut解得解得 K1=3和和K2=4。)4sin44cos3(e)(3Ctttut电容电压和电感电流的表达式分别为：电容电压和电感电流的表达式分别为： )0( V)1 .534cos(e53ttto电路分析基础电路分析基础上

20、一页上一页下一页下一页返返 回回)0( V)1 .534cos(e5)(3Ctttuto电容电压和电感电流的表达式分别为：电容电压和电感电流的表达式分别为： )4sin244cos7(e04. 0dd)(3CLtttuCtit)0( A )74.734cos(e3tttoR=6R=6R=1R=1电阻越小，单位时间消电阻越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减耗能量越少，曲线衰减越慢。越慢。02LR电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 例例4 4 已知已知R = 0, L=1H, C=0.04F, uR = 0, L=1H, C=0.04F, uC C(0(0+ +)=3V,

21、)=3V, i iL L(0(0+ +)=0.28A)=0.28A，求电容电压和电感电流的零输入响应。，求电容电压和电感电流的零输入响应。j551222221 LCLRLRs，则：则： )0()5sin5cos()(21CttKtKtu利用初始条件得：利用初始条件得： 3)0(1CKu解：先求特征根：解：先求特征根： 7)0(5d)(dL20CCiKttut解得：解得：K K1 1=3=3和和K K2 2=1.4=1.4，得电容电压和电感电流的零输入响应得电容电压和电感电流的零输入响应 )0(V)255cos(31. 3)5sin4 . 15cos3()(Ctttttuo)0(A)655cos

22、(66. 0)5cos75sin15(04. 0dd)(CLtttttvCtio电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回波形图波形图 物理过程物理过程 当电阻为当电阻为0时，由于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总时，由于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量不会减少，形成能量不会减少，形成等振幅振荡等振幅振荡。电容电压和电感电流的电容电压和电感电流的相位差为相位差为90 ，当电容电压为零时，电场储能为，当电容电压为零时，电场储能为零，此时电感电流达到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零时零，此时电感电流达到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电

23、流为零时，磁场储能为零，此时电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。，磁场储能为零，此时电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回RLC二阶电路的零输入响应一揽二阶电路的零输入响应一揽电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回1.过阻尼情况，过阻尼情况，s1和和s2是不相等的是不相等的负实数负实数，响应按指数规律衰减。，响应按指数规律衰减。2.临界阻尼情况，临界阻尼情况，s1=s2是相等的是相等的负实数负实数，响应按指数规律衰减。，响应按指数规律衰减。3.欠阻尼情况，欠阻尼情况，s1和和s2是共轭复数，响应是振幅随时间

24、衰减的正弦振荡，是共轭复数，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其其振幅随时间按指数规律衰减振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数衰减系数 越大，衰减越快越大，衰减越快。衰减振荡的角频率衰减振荡的角频率 d 越大，振荡周期越小，振荡越快越大，振荡周期越小，振荡越快。图中按。图中按Ke- t画出画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范围。的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范围。4.无阻尼情况，无阻尼情况，s1和和s2是共轭虚数，是共轭虚数， =0，振幅不再衰减，形成角频率为，振幅不再衰减，形成角频率为 0的等幅振荡。的等幅振荡。可以推断，当特征根的可以推断，当特征根的实部为正时，响应的振实部为正时，

25、响应的振幅将随时间增加，电路幅将随时间增加，电路是不稳定的。也就是说是不稳定的。也就是说，只有当特征根具有负只有当特征根具有负实部时，电路才是稳定实部时，电路才是稳定的。的。 RLC二阶电路的零输入响应说明二阶电路的零输入响应说明非非振振荡荡响响应应tstseKeK2121临临界界响响应应）（steKKt21衰衰减减振振荡荡、d21js)sincos(21tKtKeddt等等幅幅振振荡荡、jstKtKR2121sincos0 电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回7-3 RLC串联电路的全响应串联电路的全响应LC+- -+ uR- - uOCR+ uC- -+ uL - -

26、iOCCCCuutuRCtuLCdddd22USsCCCUutuRCtuLCdddd22非齐次方程的解答由两部分组成：非齐次方程的解答由两部分组成： 对应的齐次方程的解答对应的齐次方程的解答，称为，称为齐次解、补解或齐次方程通解齐次解、补解或齐次方程通解，在技，在技术上称为术上称为固有响应解或瞬态响应解固有响应解或瞬态响应解； 非齐次方程的特解非齐次方程的特解，在技术上称为，在技术上称为强迫响应解或稳态响应解强迫响应解或稳态响应解。齐次解的形式将随特征根的性质而定。齐次解的形式将随特征根的性质而定。)()()(CpChCtututu电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回RL

27、C串联电路的全响应串联电路的全响应电路的特征根为电路的特征根为 LCLRLRs122221 ，（1）当）当s1 s2且为实数时，对应齐次微分方程的通解为且为实数时，对应齐次微分方程的通解为 tstsKKtu21ee)(21Ch特解为特解为 SCp)(Utu全响应为全响应为 利用初始条件，可以得到利用初始条件，可以得到联立求解，得到常数联立求解，得到常数K1和和K2后，就可得到电容电压的全响应，再利后，就可得到电容电压的全响应，再利用用KCL和电容元件和电容元件VCR可以求得电感电流的全响应。可以求得电感电流的全响应。StstsUKKtututu21ee)()()(21CpChCCisKsKtd

28、udUKKuLCSC)0()0()0(221121电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回RLC串联电路的全响应串联电路的全响应电路的特征根为电路的特征根为 LCLRLRs122221 ，（2）当）当s1=s2时，全响应为时，全响应为 StstsCUteKeKtu1121)(CiKsKtdudUKuLCSC)0()0()0(2111求两个待定系数的方法也类似：求两个待定系数的方法也类似： 电容电压确定。再根据元件的电容电压确定。再根据元件的VCR或或KVL，计算其它响应。，计算其它响应。 电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回RLC串联电路的全响应串联电路

29、的全响应电路的特征根为电路的特征根为 LCLRLRs122221 ，（3）当特征根为共轭复根时，全响应为）当特征根为共轭复根时，全响应为 SddtCUtKtKetusincos)(21CiKKtdudUKuLdCSC)0()0()0(211求两个待定系数的方法也类似：求两个待定系数的方法也类似： 类似地，可根据元件的类似地，可根据元件的VCR或或KVL计算其它响应。计算其它响应。 电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回0t解：解：如图电路中，当 时的微分方程为 122SCCCUtudttduRCdttudLC方程的强制分量（即稳态值）为 SCUtu因为CLR2，即 电路为过

30、阻尼情况。CRLuC+-iLUS例例: : 如图所示的电路中如图所示的电路中，,1HL ，求 tituC,时的,100,6,VuRCFC810tVUiSL24, 00电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回所以相应齐次方程的通解（即暂态分量）形式为 tstsCeKeKtu2121 其中1312222, 1LCLRLRs即4221ss式(1)的全解，即电压响应为 202121teKeKUtutstsSC电流响应为 30212211tesCKesCKdttduCtitstsC电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回将初始条件0000,1000LLCSiiiVuU

31、代入(2)(3)两式得： 51041021121221SSUsssKUsssK将K1和K2代入式(2)和式(3)得全响应 60102112teeLssUtitstsS电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 tsStsSSCeUssseUsssUtu211010211122 7010211212tesesssUUtstsSS代入数据后得 070214244242tAeetitVeetuttttC电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回7-4 GCL并联电路的分析并联电路的分析 iSCGLC含源电含源电阻网络阻网络iLOCCCCuutuRCtuLCdddd22SCLLLiitiGLtiCLdddd22电电路路的的阻阻尼尼电电阻阻。称称为为RLCCLRd2电电路路的的阻阻尼尼电电导导。