电工学第三章暂态分析

1、第三章电路的暂态分析第三章 电路的暂态分析（电路的过渡过程）3.1 概述3.2 储能元件和换路定则3.3 电路的响应3.4一阶电路过渡过程的分析3.5微分电路与积分电路3. 电路的响应3.1 概述概述一、一、 电阻电路电阻电路根据根据 欧姆定律欧姆定律 iRu RuiRiup/22 uiR 瞬时功率瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积瞬时电压与瞬时电流的乘积小写小写小写小写二二.电感电路电感电路 ui（单位：（单位：H, mH, H）电感电感 L:单位电流产生的磁通单位电流产生的磁通iNL线圈线圈匝数匝数磁通磁通lSNL2线圈线圈面积面积线圈线圈长度长度导磁率导磁率 电感和结构参数的关系电感

2、和结构参数的关系线性电感线性电感:L=Const (如如:空心电感空心电感 不变不变)非线性电感非线性电感 :L = Const (如如:铁心电感铁心电感 不为常数不为常数)uei电感中电流、电压的基本关系电感中电流、电压的基本关系tiLtNeddddtiLeudd当当 Ii (直流直流) 时时,0ddti0u所以，在直流电路中电感相当于短路。所以，在直流电路中电感相当于短路。uei电感是一种储能元件电感是一种储能元件, 储存的磁场能量为：储存的磁场能量为： 电感的储能电感的储能20021ddiLiLituiWitL）（tiLudd三三.电容电路电容电路 电容电容 CuqC 单位电压下存储的电

3、荷单位电压下存储的电荷（单位：（单位：F, F, pF）i+ +- - - -+q-qu电容符号电容符号有极性有极性 无极性无极性+_电解电容电解电容dSC极板极板面积面积板间板间距离距离介电介电常数常数 电容和结构参数的关系电容和结构参数的关系线性电容线性电容:C=Const ( 不变不变)非线性电容非线性电容:C = Const ( 不为常数不为常数)uiCtuCtqidddd 电容上电流、电压的基本关系电容上电流、电压的基本关系uqC 当当 Uu (直流直流) 时时,0ddtu0i所以，在直流电路中电容相当于断路。所以，在直流电路中电容相当于断路。uiC20021dduCuCutuiWu

4、tC 电容的储能电容的储能电容是一种储能元件电容是一种储能元件, 储存的电场能量为：储存的电场能量为：）（tuCtqiddddtECu稳态稳态暂态暂态旧稳态旧稳态 新稳态新稳态 过渡过程过渡过程 :C电路处于旧稳态电路处于旧稳态KRE+_Cu开关开关K闭闭合合电路处于新稳态电路处于新稳态RE+_Cu“稳态”与 “暂态”的概念: 产生过渡过程的电路及原因? 无过渡过程无过渡过程I电阻电路电阻电路t = 0ER+_IK电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，不存在过渡过程。不存在过渡过程。EtCu 电容为储能元件，它储存的能量为电场能量电容为储能元件，它储存

5、的能量为电场能量 ，其，其大小为：大小为： 电容电路电容电路2021dCuti uWtC储能元件储能元件 因为能量的存储和释放需要一个过程，所以因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电有电容的电路存在过渡过程。容的电路存在过渡过程。EKR+_CuCtLi储能元件储能元件电感电路电感电路 电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，其大小为：其大小为：2021dLituiWtL 因为能量的存储和释放需要一个过程，所以因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电有电感的电路存在过渡过程。感的电路存在过渡过程。KRE+_t=0iL结论结论 有储能元件（有储能元件（

6、L、C）的电路在电路状态发生的电路在电路状态发生变化时（如：电路接入电源、从电源断开、电路变化时（如：电路接入电源、从电源断开、电路参数改变等）存在过渡过程；参数改变等）存在过渡过程； 纯电阻（纯电阻（R）电路，不存在过渡过程。电路，不存在过渡过程。 电路中的电路中的 u、i在过渡过程期间，从在过渡过程期间，从“旧稳态旧稳态”进进入入“新稳态新稳态”，此时，此时u、i 都处于暂时的不稳定状态，都处于暂时的不稳定状态，所以所以过渡过程过渡过程又称为电路的又称为电路的暂态过程。暂态过程。 讲课重点：讲课重点：直流电路、交流电路都存在过渡过程。直流电路、交流电路都存在过渡过程。我们讲课的重点是直流电

7、路的过渡过程。我们讲课的重点是直流电路的过渡过程。 研究过渡过程的意义：研究过渡过程的意义：过渡过程是一种自然现象，过渡过程是一种自然现象，对它的研究很重要。过渡过程的存在有利有弊：有利对它的研究很重要。过渡过程的存在有利有弊：有利的方面，如电子技术中常用它来产生各种波形；不利的方面，如电子技术中常用它来产生各种波形；不利的方面，如在暂态过程发生的瞬间，可能出现过压或的方面，如在暂态过程发生的瞬间，可能出现过压或过流，致使设备损坏，必须采取防范措施。过流，致使设备损坏，必须采取防范措施。说明：说明：3.2.1 换路定理换路定理换路换路: 电路状态的改变。电路状态的改变。如：如：3.2 换路定理

8、及初始值的确定换路定理及初始值的确定1 . 电路接通、断开电源电路接通、断开电源2 . 电路中电源的升高或降低电路中电源的升高或降低3 . 电路中元件参数的改变电路中元件参数的改变.换路定理换路定理:在换路瞬间，电容上的电压、在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。电感中的电流不能突变。设：设：t=0 时换路时换路00- 换路前瞬间换路前瞬间- 换路后瞬间换路后瞬间)0()0(CCuu)0()0(LLii则：则： 换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变的原因解释如下：变的原因解释如下： 自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或自然界物

9、体所具有的能量不能突变，能量的积累或 释放需要一定的时间。所以释放需要一定的时间。所以*电感电感 L 储存的磁场能量储存的磁场能量）（221LLLiW LW不能突变不能突变Li不能突变不能突变CW不能突变不能突变Cu不能突变不能突变电容电容C存储的电场能量存储的电场能量）（221CCuWc *若若Cu发生突变，发生突变，tuCddi不可能不可能！一般电路一般电路则则所以电容电压所以电容电压不能突变不能突变从电路关系分析从电路关系分析KRE+_CiuCCCCutuRCuiREddK 闭合后，列回路电压方程：闭合后，列回路电压方程：)dd(tuCi 3.2.2 初始值的确定初始值的确定求解要点求解

10、要点：1.)0()0()0()0(LLCCiiuu2.根据电路的基本定律和换路后的等效根据电路的基本定律和换路后的等效电路，确定其它电量的初始值。电路，确定其它电量的初始值。初始值初始值（起始值）：电路中（起始值）：电路中 u、i 在在 t=0+ 时时的大小。的大小。例例1换路时电压方程换路时电压方程 :)0()0(LuRiU不能突变不能突变Li 发生了跳变发生了跳变Lu根据换路定理根据换路定理A 0)0()0(LLii解解:V20020)0(Lu求求 :)0(),0(LLui已知已知: R=1k, L=1H , U=20 V、A 0Li设设 时开关闭合时开关闭合0t开关闭合前开关闭合前iLU

11、Kt=0uLuR仍然满足克氏定律仍然满足克氏定律已知已知:电压表内阻电压表内阻H1k1V20LRU、k500VR设开关设开关 K 在在 t = 0 时打开。时打开。求求: K打开的瞬间打开的瞬间,电压表两端的电压。电压表两端的电压。 解解:换路前换路前mA20100020)0(RUiL（大小，方向都不变）（大小，方向都不变）换路瞬间换路瞬间mA20)0()0(LLii例例2K.ULVRiLt=0+时的等时的等效电路效电路mA20)0()0(LLiiVLVRiu)0 ()0 (V1000010500102033VmA20)0(LSiIVSI注意注意:实际使用中要加保护措施实际使用中要加保护措施K

12、ULVRiL已知已知: K 在在“1”处停留已久，在处停留已久，在t=0时合向时合向“2”求求:LCuuiii、21的初始值，即的初始值，即 t=(0+)时刻的值。时刻的值。例例3 iE1k2k+_RK12R2R11i2iCuLu6V2kmA5 . 1)0()0(11RREiiLV3)0()0(11RiuC解：解：iE1k2k+_RK12R2R11i2iCuLu6V2k换路前的等效电路换路前的等效电路ER1+_RCuR21i）（0Cut=0 + 时的等效电路时的等效电路mA5 . 1)0()0()0(1LLiiimA3)0()0(22RuEiCmA5 . 4)0()0()0(21iiiV3)0

13、()0(11RiEuL)0(LiE1k2k+_R2R1i1i2i3V1.5mA+-Lu计算结果计算结果电量电量iLii 12iCuLu0t0tmA5 . 1mA5 . 4mA5 . 1mA5 . 10mA3V3V3V30iEk2k+_RK12R2R11i2iCuLu6V2k小结小结 1. 换路瞬间，换路瞬间，LCiu 、不能突变。其它电量均可不能突变。其它电量均可能突变，变不变由计算结果决定；能突变，变不变由计算结果决定；0)0 (0IiL3. 换路瞬间，换路瞬间，电感相当于恒流源，电感相当于恒流源，；0I其值等于其值等于0)0 (Li，电感相当于断路。，电感相当于断路。；0U2. 换路瞬间，

14、换路瞬间，0)0(0UuC电容相当于恒压电容相当于恒压源，其值等于源，其值等于，0)0(Cu电容相当于短电容相当于短路；路；提示：先画出提示：先画出 t=0 - 时的等效电路时的等效电路)0()0()0()0(LCLCiuiu、画出画出 t =0 +时的等效电路（注意时的等效电路（注意)0()0(LCiu、的作用）的作用）求求t=0+各电压值。各电压值。8ViKiCiLKR1R2R3UCULiRKRE+_CCui电压方程电压方程CCCutuRCuRiEdd 根据电路规律列写电压、电流的微分方程，若微分方程根据电路规律列写电压、电流的微分方程，若微分方程是一阶的，则该电路为一阶电路（一阶电路中一

15、般仅含一个是一阶的，则该电路为一阶电路（一阶电路中一般仅含一个储能元件。）如：储能元件。）如：3.3 一阶电路过渡过程的分析一阶电路的概念一阶电路的概念:3.3.1 一阶电路过渡过程的求解方法一阶电路过渡过程的求解方法(一一) 经典法经典法: 用数学方法求解微分方程；用数学方法求解微分方程；(二二) 三要素法三要素法: 求求初始值初始值稳态值稳态值时间常数时间常数一、一、 经典法经典法EutuRCCCdd一阶常系数一阶常系数线性微分方程线性微分方程由数学分析知此种微分方程的解由两部分组成：由数学分析知此种微分方程的解由两部分组成：方程的特解方程的特解Cu对应齐次方程的通解（补函数）对应齐次方程

16、的通解（补函数）Cu即：即：CCCuutu)(KRE+_CCuiEutuCC)()(EKtKRCddEK （常数）。代入方程，得：（常数）。代入方程，得：KuCCu 和外加激励信号具有相同的形式。和外加激励信号具有相同的形式。在该在该电电路中，令路中，令)(Cu作特解，故此特解也称为作特解，故此特解也称为稳态分量稳态分量或或强强 在电路中，通常取换路后的新稳态值在电路中，通常取换路后的新稳态值 记做：记做：制分量制分量。所以该电路的特解为：。所以该电路的特解为： 1. 求特解求特解 CuCu2. 求齐次方程的通解求齐次方程的通解 0ddCCutuRC通解即：通解即： 的解。的解。Cu随时间变化

17、，故通常称为随时间变化，故通常称为自由分量自由分量或或暂态分量暂态分量。其形式为指数。设：其形式为指数。设：ptCAeuA为积分常数为积分常数P为特征方程式的根为特征方程式的根其中其中:求求P值值: 求求A: RCtRCtCCCCAeEAeuuutu)()(得特征方程：得特征方程：01 RCPptCAeu将将代入齐次方程代入齐次方程:RCP1故：故：0ddCCutuRC0)()0(00AeEAeuuCCRCtRCtCCCCAeEAeuuutu)()(EuuA)()0(所以所以代入该电路的起始条件代入该电路的起始条件0)0()0(CCuu得得:RCtRCtCCPtCEeeuuAetu)()0()

18、(故齐次方程的通解故齐次方程的通解为为 ： RCP1EuuA)()0(3. 微分方程的全部解微分方程的全部解 CCCuutu)(EutuCC)()(RCtRCtCCPtCEeeuuAetu)()0()(KRE+_CCuiRCtRCtCCCCCCEeEeuuuuutu)()0()()( 称为时间常数称为时间常数定义：定义：RCP1单位单位R: 欧姆欧姆C：法拉法拉 ：秒秒当当 t=5 时，过渡过程基本结束，时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值达到稳态值。tCEeEtu)(002 .63)( Eut当当 时时:CutE )(u次切距次切距t023456Cu00.632E 0.865E 0.950E

19、 0.982E 0.993E 0.998E关于时间常数的讨论关于时间常数的讨论RCtRCtCEeEEeEtu)(的物理意义的物理意义: 决定电路过渡过程变化的快慢。决定电路过渡过程变化的快慢。 tCuKRE+_CCuitE0.632E123 越越大，过渡过程曲线变化越慢，大，过渡过程曲线变化越慢，uC达到达到 稳态所需要的时间越长。稳态所需要的时间越长。结论：结论：tCEeEtu)(123321二、三要素法二、三要素法RCtCCCCCCeuuuuutu)()0()()(根据经典法推导的结果：根据经典法推导的结果：teffftf)()0()()(可得可得一阶电路微分方程解的通用表达式：一阶电路微

20、分方程解的通用表达式：KRE+_CCui其中三要素为其中三要素为: 初始值初始值 -)(f稳态值稳态值 -时间常数时间常数-)0(f teffftf)()0()()()(tf代表一阶过渡过程电路中任一电压、电流代表一阶过渡过程电路中任一电压、电流随时间变化的函数。随时间变化的函数。式中式中 利用求三要素的方法求解过渡过程，称为三要素利用求三要素的方法求解过渡过程，称为三要素法。只要是一阶电路，就可以用三要素法。法。只要是一阶电路，就可以用三要素法。三要素法求解过渡过程要点：三要素法求解过渡过程要点：)0()(632. 0ff终点终点)(f起点起点)0 (ft分别求初始值、稳态值、时间常数；分别

21、求初始值、稳态值、时间常数；.将以上结果代入过渡过程通用表达式；将以上结果代入过渡过程通用表达式； 画出过渡过程曲线（画出过渡过程曲线（由初始值由初始值稳态值稳态值）（电压、电流随时间变化的关系）电压、电流随时间变化的关系）。“三要素三要素”的计算（之一的计算（之一)初始值初始值)0 (f的计算的计算:步骤步骤: (1)求换路前的求换路前的)0()0(LCiu、(2)根据换路定理得出：根据换路定理得出：)0()0()0()0(LLCCiiuu)0(i(3)根据换路后的等效电路，求未知的根据换路后的等效电路，求未知的)0(u或或 。步骤步骤: (1) 画出换路后的等效电路画出换路后的等效电路 （

22、注意（注意:在直流激励在直流激励 的情况下的情况下,令令C开路开路, L短路短路）；）； (2) 根据电路的解题规律，根据电路的解题规律， 求换路后所求未知求换路后所求未知 数的稳态值。数的稳态值。注注: 在交流电源激励的情况下，要用相量法来求解。在交流电源激励的情况下，要用相量法来求解。稳态值稳态值)(f 的计算的计算:“三要素三要素”的计算（之二的计算（之二)V6104/433)(CumA23334)(Li求稳态值举例求稳态值举例+-t=0C10V4 k3k4kuct =0L2 3 3 4mALi原则原则:要由换路后的电路结构和参数计算。要由换路后的电路结构和参数计算。(同一电路中同一电路

23、中 是一样的是一样的)时间常数时间常数 的计算的计算:“三要素三要素”的计算（之三的计算（之三)RC对于对于较较复杂的一阶复杂的一阶RC电路，将电路，将C以外的电以外的电 路，视为有源二端网络，然后求其等效内路，视为有源二端网络，然后求其等效内阻阻 R。则则:步骤步骤:RC (1) 对于只含一个对于只含一个R和和C的简单电路，的简单电路， ；RCEd+-21/RRR CRC 电路电路 的计算举例的计算举例E+-t=0CR1R2E+_RKt =0LRuLiLuEuuRLERitiLLLddRL（2） 对于只含一个对于只含一个 L 的电路，将的电路，将 L 以外的电路以外的电路,视视 为有源二端网

24、络，然后求其等效内阻为有源二端网络，然后求其等效内阻 R。则则:R、L 电路电路 的求解的求解ERitiLLLdd0ddRitiLLL齐次微分方程：齐次微分方程：0RLP特征方程：特征方程：LRP设其通解为设其通解为:ptLAei代入上式得代入上式得RLP1则：则：RRL2RR LREd+-R、L 电路电路 的计算举例的计算举例t=0ISRLR1R2“三要素法三要素法”例题例题求求: 电感电压电感电压)(tuL例例1已知：已知：K 在在t=0时闭合，换路前电路处于稳态。时闭合，换路前电路处于稳态。t=03ALLuKR2R1R3IS2 2 1 1H第一步第一步:求起始值求起始值)0 (LuA23

25、212)0()0(LLii0)0 (Lu？t=03ALLuKR2R1R3IS2 2 1 1Ht =0时等效电路时等效电路3ALLi212V4/)0()0(321RRRiuLLt=0+时等效电路时等效电路2ALuR1R2R3t=03ALLuKR2R1R3IS2 2 1 1H第二步第二步:求稳态值求稳态值)(Lut= 时等效电路时等效电路V0)(LuLuR1R2R3t=03ALLuKR2R1R3IS2 2 1 1H第三步第三步:求时间常数求时间常数s)(5 . 021RL 321|RRRRLR2R3R1LRt=03ALLuKR2R1R3IS2 2 1 1H第四步第四步: 将三要素代入通用表达式得过

26、渡过程方程将三要素代入通用表达式得过渡过程方程V4)0(Lu0)(Lus5 . 0 V4)04(0)()0()()(22tttLLLLeeeuuutu第五步第五步: 画过渡过程曲线（由初始值画过渡过程曲线（由初始值稳态值）稳态值）V4)04(0)()0()()(22tttLLLLeeeuuutu起始值起始值-4VtLu稳态值稳态值0V 求：求： 已知：开关已知：开关 K 原在原在“3”位置，电容未充电。位置，电容未充电。 当当 t 0 时，时，K合向合向“1” t 20 ms 时，时，K再再 从从“1”合向合向“2” tituC 、例例23+_E13VK1R1R21k2kC3Cui+_E25V

27、1k2R3解解：第一阶段第一阶段 （t = 0 20 ms，K：31） V000CCuu mA301REiR1+_E13VR2iCu初始值初始值K+_E13V1R1R21k2kC3Cui3稳态值稳态值第一阶段（第一阶段（K：31） V21212ERRRuC mA1211RREiK+_E13V1R1R21k2kC3Cui3R1+_E13VR2iCu时间常数时间常数k32/21RRRdms2CRd第一阶段（第一阶段（K：31） +_E13V1R1R21k2kC3Cui3R1+_E13VR2iCuteffftf)()0()()()V(000CCuu )V(21212ERRRuC)(ms2CRd V

28、22)(002. 0tcetu第一阶段（第一阶段（t = 0 20 ms）电压过渡过程方程：）电压过渡过程方程：teffftf)()0()()(mA301REimA1211RREims2CRd 第一阶段第一阶段（t = 0 20 ms）电流过渡过程方程：电流过渡过程方程： mA21002.0teti第一阶段波形图第一阶段波形图20mst2)V(Cu下一阶段下一阶段的起点的起点3t）（mAi20ms1说明：说明： 2 ms, 5 10 ms 20 ms 10 ms , t=20 ms 时，时，可以认为电路可以认为电路 已基本达到稳态。已基本达到稳态。 起始值起始值V2)ms20()ms20(CC

29、uu第二阶段第二阶段: 20ms mA5.1)ms20()ms20(312RRuEic（K由由 12）+_E2R1R3R2Cui+_t=20 + ms 时等效电路时等效电路KE1R1+_+_E23V5V1k12R3R21k2kC3 Cui稳态值稳态值第二阶段第二阶段:(K:12)mA25. 1)(3212RRREiV5 . 2)(23212ERRRRucKE1R1+_+_E23V5V1k12R3R21k2kC3 CuiCu+_E2R1R3R2i时间常数时间常数k1/)(231RRRRdms3CRd 第二阶段第二阶段:(K:12)_CuC+E2R1R3R2iKE1R1+_+_E23V5V1k12

30、R3R21k2kC3 Cui第二阶段第二阶段（ 20ms ）电压过渡过程方程电压过渡过程方程V 5 . 05 . 2)20(320tCetums3CRd V2)ms20(CuV5 . 2)(Cu第二阶段第二阶段（20ms ）电流过渡过程方程电流过渡过程方程mA 25. 025. 1)20(320tetimA5.1)ms20(imA25.1)(ims3CRd 第二阶段小结：第二阶段小结：mA 25.025.1)20(V 5 .05 .2)20(320320ttcetietumA 21)(V 22)(22ttcetietu第一阶段小结：第一阶段小结： 总波形总波形 始终是连续的始终是连续的不能突变

31、不能突变Cu 是是可以可以突变的突变的i31.5t1.25i1(mA)20mst22.5Cu(V)tU(v)20ms350开关的动作相当于在电路中加了如下的信号，这开关的动作相当于在电路中加了如下的信号，这样的信号我们称为阶跃函数。样的信号我们称为阶跃函数。3.3.2 RC电路的响应电路的响应零状态、非零状态零状态、非零状态 换路前电路中的储能元件均未贮存能量，换路前电路中的储能元件均未贮存能量，称为零状态称为零状态 ；反之为非零状态。；反之为非零状态。电电路路状状态态零输入、非零输入零输入、非零输入电路中无电源激励（即输入信号为零）电路中无电源激励（即输入信号为零）时，为零输入；反之为非零输入。时，为零输入；反之为非零输入。 电路的响应电路的响应零状态响应：零状态响应： 在零状态的条件下，由激励信号产生的响应在零状态的条件下，