范德蒙行列式的推广及应用论文2

1、襄樊学院本科毕业论文论文题目：范德蒙行列式的推广和应用姓名：李小兵学号：2009109157专业：数学与应用数学班级：应用数学0911班指导老师：冯倩倩 材 料 清 单一、毕业设计二、毕业设计任务书三、毕业设计开题申请表四、毕业设计开题报告正文声 明本人李小兵，学号2009109157，系湖北文理学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业0911班学生。所做论文内容主体均为原创，无任何抄袭、剽窃他人劳动成果的行为。如有发现此类行为，本人愿意为此承担一切道义及法律责任，特此声明。学生签名： 年 月 日范德蒙行列式的推广和应用摘要：范德蒙行列式是线性代数中著名的行列式，它构造独特、形式优美，更由于

2、它有广泛的应用，因而成为一个著名的行列式。它的证明过程是典型行列式定理及数学归纳法的综合应用。本文将通过对n阶范德蒙行列式的计算, 讨论它的各种位置变化规律, 介绍了如何构造范德蒙行列式进行行列式计算，以及探讨了范德蒙行列式在向量空间理论、线性变换理论以及微积分中的应用。关键词：行列式；范德蒙行列式；向量空间理论；线性变换理论；微积分；等差数列拆项Application and Popularization of Vandermonde determinantAbstract：Vandermonde determinant is the determinant of well-known in

3、 linear algebra, which constructs a unique form of beauty, but the more because it has a wide range of applications, and thus become a well-known determinant. It's proof process is typical determinant theorem and comprehensive application of mathematical induction. This article will through the

4、n-order Vandermonde Determinant of calculation and discussing the variation of its various locations,describes how to construct a Vandermonde determinant of the determinant calculation, as well as to explore the Vandermonde determinant of applications in the theory of vector spaces, linear transform

5、ation theory and infinitesimal calculus.Key words: linear algebra；Vandermonde determinant；theory of vector spaces；linear transformation theory；infinitesimal calculus目 录1引言12.范德蒙行列式的基本性质22.2 范德蒙行列式的证明22.3 范德蒙行列式的性质33 范德蒙行列式的推广53.1 跳行范德蒙行列式53.2 合流范德蒙行列式63.3 范德蒙行列式的在推广74 范德蒙行列式的应用134.1 范德蒙行列式在行列式计算中德应用

6、134.2 范德蒙行列式在微积分中德应用144.3 范德蒙行列式在向量空间理论中的应用154.4 范德蒙行列式在线性变换理论中的应用154.5 范德蒙行列式在数列拆项中的应用174.6 范德蒙行列式在奥数中德应用195 范德蒙行列式与行列的组合计算22结 论25主要参考文献26致 谢271引言行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。其定义域为n×n的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式

7、理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。作为一种特殊的行列式范德蒙行列式，是一类很重要的行列式。范德蒙行列式作为一种重要的行列式，在计算的过程中可以将一些特殊的或者近似于范德蒙行列式的行列式转化为范德蒙行列式，从而能够简化计算，有利于行列式的计算。范德蒙行列式的应用也比较广泛，不仅应用于一些行列式的计算当中，而且它可以应用于证明行列式的问题和一些关于多项式方面以及某些特征向量线性无关等问题上。2.范德蒙行列式的基本性质我们首先来介绍范德蒙行列式的定义及其计算方法.形如行列式 (1)称为 阶的范德蒙（）行列式.我们来证明，对任意的, 阶范德蒙行列

8、式的结果为2.2 范德蒙行列式的证明1.2.1 用数学归纳法证明范德蒙德行列式我们对作归纳法.（1）当时， 结果是对的.（2）假设对于级的范德蒙行列式结论成立，现在来看级的情况.在中，第行减去第行的倍，第行减去第行的倍，也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的倍，有1后面这行列式是一个级的范德蒙德行列式，根据归纳法假设，它等于所有可能差；而包含的差全在前面出现了.因之，结论对级范德蒙德行列式也成立.根据数学归纳法，完成了证明. 用连乘号，这个结果可以简写为由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充分必要条件是这个数中至少有两个相等.2.3 范德蒙行列式的性质利用行列式的性质容易推得：01、若

9、将范德蒙行列式逆时针旋转,可得2、若将范德蒙行列顺时针旋转，可得3、若将范德蒙行列式旋转，可得3 范德蒙行列式的推广3.1 跳行范德蒙行列式 跳行范德蒙行列式为如下形式：为了计算该行列式，构造多项式如下：=， （1）该行列式中第行、第列元素的代数余子式为，由（1）式可得的系数为，其中是中个数的一个排列，表示所有阶排列的和。比较的系数可得；特别的，当、1并取时，即可得范德蒙行列式。3.2 合流范德蒙行列式给定个互异的数和正整数，记，称如下形式的阶行列式 （2）为合流范德蒙行列式，当时，是通常的范德蒙行列式。定理1：阶合流范德蒙行列式。证明:设维向量满足比较上式2边的系数，可知,且或有 （3）构造

10、阶矩阵,其中是第个分量为1、其余分量为0的维列向量，则是下三角矩阵。由（3）式可得,其中,于是，有0。利用上述递推公式，可得。即可得出结论。3.3 范德蒙行列式的在推广 给出范德蒙行列式的一个推广，即定理 2推论 设0其中的整数，则当互异时，。否则为零。称定理和推论中德行列式为推广的范德蒙行列式，行列式的前列是按范德蒙行列式的规律写出的，其余各列则是按某一列求阶“导数”或某几列分别求阶“导数”写出的。定理对某一列求“导数”型的推广的范德蒙行列式给出了计算方法；推论对某几列分别求“导数”型的推广的范德蒙行列式进行了讨论，但未给出计算方法，故推论的应用具有一定的局限性。行列式某两列乃至多列求“导数

11、”型的推广的范德蒙行列式应该如何讨论。现在先讨论行列式中某两列求“导数”型推广的范德蒙行列式，在讨论多列“求导”型推广的范德蒙行列式。定理 3其中;分别表示关所在的列元素求各阶导数的系数。证明： 为了证明简捷，令，使行列式中关于列的“导数”列写在第列之和，关于列的“导数”列写在第列之后。否则，可以通过关于和列的“导数”列施以列交换来实现。（1） 取多项式0具有如下性质：1） 的展开式共有项，最高次数为次。2） .3） 。4） 因的常数项，一次项系数，次项的系数分别乘以的第行，第行，第行后，全部加到第行上去，第行成为：令再用的常数项，一次项系数，次项系数乘以的第1行，第2行，第行后，全部加到第行

12、上去，使第行成为 下面，再依次用按项的指数逐次降幂直至为1构造的多项式的展开式的关于各次幂的系数乘以0的相应行后，加到相应的下一行去，则可以化成如下形式：(2) 取多项式具有如下的性质：1） 的展开式共有项，最高次数为次。2） 。3） 仿上，用的常数项，一次项系数，次项系数分别乘以的第1行，第2，第行全部加到第行上去，第行成为0。再依次用的展开式的关于各次幂的系数分别乘以相应行后，再加到相应的下一行上去，将化成如下形式：0即推论其中的整数；分别表示关于所在的列元素各阶导数的系数。 04 范德蒙行列式的应用4.1 范德蒙行列式在行列式计算中德应用 若第行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻

13、两行（列）均含相同分行（列）；且中含有由个分行（列）组成的范德蒙行列式，那么将的第行（列）乘以-1加到第行（列），消除一些分行（列），即可化成范德蒙行列式。例 1 计算解：将的第1行乘以-1加到第2行得：再将上式得第三行减去第二行得：再将上式的第四行减去第三行得：即为范德蒙行列式。0所以4.2 范德蒙行列式在微积分中德应用例 2设 至少有阶导数，且对某个实数有试证： 其中表示证明：由已知条件，要证明，只需要将写成的线性组合即可.利用泰勒公式， (1)其中,这是关于,的线性方程组，其系数行列式为后一行列式为范德蒙行列式，其值为，故，于是可从方程组（1）把写成与的线性组合，我们只要证明即可.事实上

14、，设，于是,0在此式中分别令和令,则得,4.3 范德蒙行列式在向量空间理论中的应用 在向量空间理论中，我们会经常遇到需要用范德蒙行列式转化的问题，通过转化，我们很容易就能得到需要的结论.例3 设是数域上的维向量空间，任给正整数，则在中存个向量，其中任取个向量都线性无关.证明：因为所以只须在中考虑就行了,取令,是范德蒙行列式，且所以线性无关4.4 范德蒙行列式在线性变换理论中的应用在高等代数的学习中，线性变换一直是一个重点，也是难点，题目的变化也比较多，在有些题目中，我们可以巧妙的运用范德蒙行列式来解决这类题目。例4 设数域上的维向量的线性变换有个互异的特征值，则（1） 与可交换的的线性变换都是

15、0的线性组合，这里的为恒等变换(2) 线性无关的重要条件为这里证明： 设是与可交换的线性变换，且则是的不变子空间,令且,则由以下方程组 (1)因为方程组(1)的系数行列式是范德蒙行列式，且所以方程组(1)有唯一解，故是的线性组合。（2）充分性因为所以并且0所以 是可逆矩阵，又因为是的一组基，线性无关.必要性 设是分别属于的特征向量，则构成的一个基，因而有。若,则是的属于的特征向量，故结论成立 若存在，使,不妨设全不为零，而，因而有则利用范德蒙行列式可知有一个阶子式不为零，所以，从而,又因为 线性无关，所以线性无关，矛盾，从而这里。4.5 范德蒙行列式在数列拆项中的应用设等差数列，公差，则当时，

16、有将此拆项公式推广之后，我们会发现拆项公式与范德蒙行列式有着密切的关系。设是等差数列中任意,公差，因为0则其中是关于的阶范德蒙行列式，分别是关于的2阶范德蒙行列式，一般的，因为所以故我们猜想上式拆成项和时，也与阶范德蒙行列式和阶范德蒙行列式产生关联。定理5：设是等差数列中任意,公差，则0即时结论也成立；故由归纳原理知，结论对任意正整数都成立。 4.6 范德蒙行列式在奥数中德应用在数学竞赛中，部分考题的编拟与范德蒙行列式密切相关，不少中学数学竞赛题是将高等数学改造成初等形式，因此，从高观点下看初等数学，探究高等数学与初等数学的关系，有利于提高我们对高等数学的应用能力，同时，大学数学竞赛也注重学生

17、对高等数学的创新和应用能力的考察。例5：试证若是不同的整数，而是非负整数，则是整数0 上述问题是关于复数域内三元幂和式的问题,由于,对于,且互不相等,复数域内元幂和式满足递推关系式 （1）其中为的个初等对称多项式，例题中德满足递推关系由于是不同的整数，且,所以例题中的恒为整数。 将原问题推广为复数域内元幂和式的情形，发现与范德蒙行列式有密切的联系。 定理 6 若在复数域内互不相同，且它们的个初等对称多项式全为整数，则 (2)恒为整数，其中 证明 根据以上讨论，只要证明恒为整数即可。设 同分后的分母为，则,恰好等于范德蒙行列式的值，令 则同分后，由于与有个符号相异的公因子，则 其中,所以的分子为

18、,由于恰好等于范德蒙行列式的值，且恰为行列式的元素的余子式，由行列式的展开拉普拉斯定理得，恰为把中德替换为后的行列式的按列展开，所以0因为当时，由于中均存在两列的对应元素相等，则都有,所以。而当时，有，所以。从而由（1）式得恒为整数。0 5 范德蒙行列式与行列的组合计算从范德蒙行列式和行列式的乘法探索一类行列式的计算范德蒙行列式 (1)行列式乘法：设， 则其中是的第行元素分别与的第列的对应元素乘积之和：,利用范德蒙行列式和行列式乘积，我们可以作出一类有一定规律的行列式；反之，对这一类行列式我们可以分解成一个范德蒙行列式和另一个行列式的乘积，分解后两个行列式比较容易计算，原行列式的值就可以算出。

19、 例如，我们把中的元素具体取值，令那么与得乘积为：0 行列式是有规律的行列式，如果要计算行列式的值，那么可把分解成与的乘积，行列式的值很容易计算的，范德蒙行列式的值可由（1）计算。于是的值可以求得： 什么样的行列式能够分解成为一个行列式与范德蒙行列式的乘积呢？我们不妨分析一下行列式的特点： 第1行的元素可以分别看作多项式取的值。 第2行的元素可以分别看作多项式取的值。 第行的元素可以分别看作多项式取的值 第行的元素可以分别看作多项式取的值 上述第个多项式的系数正好是行列式第行的元素，一般地设有阶行列式0多项式作行列式那么，这里是阶范德蒙行列式。0结 论 行列式在数学的各个领域及其其他学科中都有

20、着广泛的应用,但是行列式却有着悠久的历史。自1545年，卡当给出了两个一次方程组的解法，到1683年日本数学家关 孝和首次引进了行列式的概念开始，再到1771年，范德蒙德不仅把行列式应用于解线性方程组，而且对行列式理论本身进行了开创性研究，人们逐渐对行列式进行更深的 研究，第一个给出行列式系统理论的是伟大数学家柯西。而范德蒙行列式是一类特殊的行列式，它有着独特的形式及其简明的计算结果，所以范德蒙行列式不仅在数学领域中占据着重要地位，而且在各个领域中也有着广泛的应用，范德蒙行列式不仅在行列式理论中有着重要的应用，而且在向量空间理论、线性变换理论以及微积分中都有 广泛的应用。 本文先介绍了行列式的

21、性质及其在计算中的应用，进而给出了范德蒙行列式的证明过程、性质、以及在行列式计算的应用，比如在我们运用范德蒙行列式进行计算或者变换时，有些行列式经过简单变形后便可应用范德蒙行列式，但是有些行列式则需要经过增加一行一列才可以应用范德蒙行列式的相关性质进行计算， 我们还 介绍了范德蒙行列式在多项式理论、解线性方程组中的应用。范德蒙德行列式的结论计算并不复杂,难的是如何将给定的行列式化成范式的标准形式。最后介绍了范德蒙行列式的两种推广形式，让我们进一步了解范德蒙行列式，方便我们将行列式化为标准的范德蒙行列式。这就需要我们在学习中不断总结，不断探索关于范德蒙行列式的规律，只有熟能生巧，才能更好的掌握范

22、德蒙行列式的相关知识。1主要参考文献1张贤科，许甫华，高等代数【M】，清华大学出版社，19982卢刚，冯翠莲，线性代数【M】，北京大学出版社，2006,63宴林，范德蒙行列式的应用【J】，文山师范高等专科学报，2001,13（2），55-574刘建中，范德蒙行列式的一个性质的证明及其应用【J】，河北大学学报（自然科学版）2000,20（1），84-855吴良森，毛羽辉，宋国栋，魏木生，数学分析习题精解【M】,北京科学出版社，2002，360-3616易大义，陈道琦，数值分析引论【M】，杭州、浙江大学出版社，1993,180-1817裴礼文，数学分析中的经典问题与方法【M】北京:高等教育出版社，

23、1998,17-188郭丽妮，地球概论课程教学改革探讨 福建教育学院学报【J】2003(12)9毛纲源，线性代数解题方法技巧归纳【M】，武汉：华中科技大学出版社，2000.310北京大学数学力学系编，高等代数【M】。北京：高等教育出版社，1991.7980 949611李建武、杨辉三角与数列拆项【J】.中学数学教学参考，2002（11）12张在明、几个涉及指数函数的不等式【J】.中学数学教学参考书、2002（17）13庞金彪，鹿琳。范德蒙行列式的推广及其在教学中的应用【J】。数学通报，1992（11）：3942.14单墫。因式分解技巧【M】。上海：华东师范大学出版社，2005:19415杨利民

24、。n的m重阶乘n（！）m及应用【J】，大理师专学报：社会科学版，1997（1）：1316.16T.Y.LiJ.Yorke.Amer Amath Monthy 82(1975)1 致 谢 历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了。尤其要强烈感谢我的论文指导老师冯倩倩老师，她对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进。另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助。在此向帮助和指导过我的各位老师表示最中心的感谢！感谢这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献，如果没

25、有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我了很多你问素材，还在论文的撰写和排版灯过程中提供热情的帮助。由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！0湖湖北文理学院毕业论文（设计）任务书毕业论文（设计）题目 范德蒙行列式的推广及应用学生姓名 ： 李小兵 专业 数学与应用数学 班级 0911 指导老师 冯倩倩一、 毕业论文（设计）的主要内容： 本文主要介绍了范德蒙行列式的性质及一些意义，并运用范德蒙行列式的性质解决一些在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中）的问题，运用范德蒙行列式

26、的计算公式，把一些近似于范德蒙行列式的行列式经过转化之后能够变成范德蒙行列式，从而使的计算变得简单。或者在计算行列式的时候，使行列式与范德蒙行列式经过变换，从而让它变成一些简单的行列式，然后运用逆变换，使计算变得简单明了。 二、 毕业论文（设计）应收集的资料和主要参考文献：1张贤科，许甫华，高等代数【M】，清华大学出版社，19982卢刚，冯翠莲，线性代数【M】，北京大学出版社，2006,63宴林，范德蒙行列式的应用【J】，文山师范高等专科学报，2001,13（2），55-574刘建中，范德蒙行列式的一个性质的证明及其应用【J】，河北大学学报（自然科学版）2000,20（1），84-855吴良森

27、，毛羽辉，宋国栋，魏木生，数学分析习题精解【M】,北京科学出版社，2002，360-3616易大义，陈道琦，数值分析引论【M】，杭州、浙江大学出版社，1993,180-1817裴礼文，数学分析中的经典问题与方法【M】北京:高等教育出版社，1998,17-188郭丽妮，地球概论课程教学改革探讨 福建教育学院学报【J】2003(12)9毛纲源，线性代数解题方法技巧归纳【M】，武汉：华中科技大学出版社，2000.310北京大学数学力学系编，高等代数【M】。北京：高等教育出版社，1991.7980 949611李建武、杨辉三角与数列拆项【J】.中学数学教学参考，2002（11）12张在明、几个涉及指数

28、函数的不等式【J】.中学数学教学参考书、2002（17）13庞金彪，鹿琳。范德蒙行列式的推广及其在教学中的应用【J】。数学通报，1992（11）：3942.14单墫。因式分解技巧【M】。上海：华东师范大学出版社，2005:19415杨利民。n的m重阶乘n（！）m及应用【J】，大理师专学报：社会科学版，1997（1）：1316.16T.Y.LiJ.Yorke.Amer Amath Monthy 82(1975)襄樊学院毕业论文（设计）开题申请表学生姓名李小兵指导老师冯倩倩系（院）数学系专业数学与应用数学班级0511论文题目范德蒙行列式的推广和应用开题申请根据任务书的要求，已查阅了大量的相关资料。

29、通过对资料的参考和初步整理，对所选课题范德蒙行列式的相关基础知识已比较熟悉；对该课题的研究目的和意义也较明了。范德蒙行列式在高等数学中很重要，在微积分,线性空间,常微分方程里面都有很突出的应用,本文主要研究它在线性空间中,行列式的计算.微积分和向量空间中的应用。准备工作基本就绪，特此提出开题申请。申请人签名：李小兵 年 月 日指导教师意见 。指导教师签名：年 月 日注：1、开题申请应包含申请人根据指导教师下达任务书的要求完成开题报告的基本过程，对所选课题的基本认识及开题申请；2、指导老师意见应包含指导教师对学生开题报告的评价及开题意见；3、学生提交申请表时须同时提交开题报告文本。毕业论文开题报

30、告范德蒙行列式的推广及应用姓名：李小兵 学号：09109157 专业：数学与应用数学一、范德蒙行列式的理论意义和现实意义行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。其定义域为n×n的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。作为一种特殊的行列式范德蒙行列式，是一类很重要的行列式。范德蒙行列式作为一种重要的行

31、列式，在计算的过程中可以将一些特殊的或者近似于范德蒙行列式的行列式转化为范德蒙行列式，从而能够简化计算，有利于行列式的计算。范德蒙行列式的应用也比较广泛，不仅应用于一些行列式的计算当中，而且它可以应用于证明行列式的问题和一些关于多项式方面以及某些特征向量线性无关等问题上。二、研究的方向 范德蒙行列式作为一种特殊的行列式，与有关数学知识的综合应用，将行列式的定理、性质融汇于一体，贯穿于证明及计算行列式之中并加以应用，体现较高的解题技巧解决较为复杂的问题。利用范德蒙行列式的结论计算并不复杂，难的是如何将给定的行列式化成范式的标准形式，并研究范德蒙行列式的推广及在向量空间理论、线性变换理论、多项式理

32、论、行列式计算、微积分中的应用。三、主要的论文内容及提纲范德蒙行列式是一个很重要的行列式，本文将通过对n阶行列式的计算，讨论他的各种位置变化规律，然后主要研究一些与范德蒙行列式有关的例子，从中掌握行列式计算的某些方法和技巧。本文探讨了范德蒙行列式在向量空间理论、线性变换理论、多项式理论中以及行列式的计算中的应用。同时，行列式的一个性质，即n阶准范德蒙行列式的计算方法，并使其能解决一类行列式的计算问题。（1）范德蒙行列式在n阶行列式计算中的应用（2）范德蒙行列式在向量空间理论中的应用在向量空间理论中，会经常遇到需要用范德蒙行列式转化的问题，通过转化很容易就能得到所需结论。  （3）范德蒙行列式在线性变换理论中应用在高等代数的学习中，线性变换一直是重点，也是难点，题目的变化也表较多，在有些题目中，可以巧妙的运用范德蒙行列式来解决这类题目。（4）范德蒙行列式在多项式理论中的应用在多项式理论中，涉及到的求根问题有许多，在分析有些题目时，范德蒙行列式是能够起到关键的作用的，若能够熟练有效的运用范德蒙行列式，则对我们最终