2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标II卷)

1、2021 年普通高等学校招生全国统一测试新课标理科数学考前须知:1.做题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和做题卡上,并将准考证号条形码粘贴在做题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每题选出答案后,用黑,写在试题卷、草稿纸和做题卡上的非做题区域均无效.II卷2B 铅笔把做题卡上对应题目的答案标号涂3.非选择题的作答：用签字笔直接答在做题卡上对应的做题区域内.写在试题卷、草稿纸和做题卡上的非做题区域均无效.4.测试结束后,、选择题：此题共合题目要求的.2i2i43.A.i55请将本试题卷和做题卡一并上交o12 小题,每题5 分,共 60 分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符B.3.

2、-i5C.4.-i54.-i5A中元素的个数为, 那么2.集合A3,xZ,Zx, yyC.A.9B.8D.45xx的图像大致为只卷D,b 满足 a|1,a2ab那么4.向量ab1,aC.2A.4B.3D.0名2x2y3.函数 fx7.为计算 S1A.ii1B.11,一99 设计了右侧的程序框图,那么在空白框中应填入C.ii3D.ii4I0丁川申是否100二J-:转束8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜测的研究中取得了世界领先的成果.的偶数可以表示为两个素数的和,如 307其和等于 30 的概率是112_1B.149.A.在长方体ABCDA1BGD1 中,ABBC10.哥德巴赫猜测是每个大于 223

3、.在不超过 30 的素数中,随机选取两个不同的数,_1C.一15D.1181,AA屈,那么异面直线AD1与 DB1所成角的余弦值cosx7t11.A.5012.FI,D.sinx 在 a,a是减函数,那么 a 的最大值是B.D.7t是定义域为的奇函数,满足 f1xf50B.C.2D.5022F2是椭圆 C：-x2-y2ab率为 W3 的直线上,6PF1F2为等腰三角形,0 的左,右焦点,A是 C 的左顶点,点P在过A且斜F1F2P120,那么 C 的离心率为2x5.双曲线aA.yA/2X2yb20,b的离心率为73,那么其渐近线方程为2Ay1B一21D.一43xD.y二、填空题：此题共13.曲

4、线 y2lnx1 在点每题 5 分,共 20 分.0,0 处的切线方程为6.在AABC中,Ccos2AC5,那么ABA,4衣B.30C.2914.假设x,y满足约束条件 xx2y2y550,30,那么 zxy 的最大值为0,第3页共 8 页第 4 页共 8 页15.sinacos31,cosasin30,贝 Usin18.12 分下列图是某地区 2000 年至 2021 年环境根底设施投资额y单位：亿元的折线图.16 .圆锥的顶点为 S,母线 SA,SB 所成角的余弦值为-,SA 与圆锥底面所成角为45,假设4SAB8的面积为 5 匹,那么该圆锥的侧面积为.三、解做题：共 70 分.解容许写出

5、文字说明、证实过程或演算步骤.第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 为选考题,考生根据要求作答.一必考题：共 60 分.17 .12 分记 Sn为等差数列 an的前 n 项和,47,S315.1求 an 的通项公式；2求&,并求&的最小值.为了预测该地区 2021 年的环境根底设施投资额,建立了y与时间变量 t 的两个线性回归模型.根据2000 年至 2021 年的数据时间变量 t 的值依次为 1,2,L,17建立模型：?30.413.5t；根据 2021 年至 2021 年的数据时间变量 t 的值依次为 1,2,L,17建立模型：?9917.5t.

6、1分别利用这两个模型,求该地区 2021 年的环境根底设施投资额的预测值;2你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.第 5 页(共 8 页)第 6 页(共 8 页)19.(12 分)设抛物线 C:y24x 的焦点为F,过F且斜率为 kk0 的直线 l 与 C 交于A,B两点,|AB|8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A,B 且与 C 的准线相切的圆的方程.20.12 分如图,在三棱锥 PABC 中,ABBC2/2,PAPBPCAC4,.为 AC 的中占I八、(1)证实：PO 平面 ABC;(2)假设点M在BC 上,且二面角 MPAC 为 30,求 PC 与平面PAM所成角的正弦值

7、.第 7 页共 8 页第8页共 8 页二选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.22.选彳 4-4:坐标系与参数方程10 分23.选彳 4-5:不等式选讲10 分设函数 fx5|xa|x2.1当 a1 时,求不等式fx.的解集;2假设 fx1,求 a 的取值范围.x221.12 分函数 fxeax.1假设 a1,证实：当 x0 时,fx1;2假设 fx 在 0,只有一个零点,求 a.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为x2cos0,y4sin00 为参数,直线 l 的参数方程为x1tcosa,y2tsinat 为参数1求 C

8、 和 l 的直角坐标方程;2假设曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为1,2,求 l 的斜率.第 1 页共 8 页第2页共 8 页2021 年普通高等学校招生全国统一测试新课标 II 卷理科数学答案一、选择题：此题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1 .【答案】D.2解析Q12iY_i,应选D.12i552 .【答案】A【解析】由 S11L二得程序框图先对奇数项累加,偶数项累加,最后再相减.因23499100此在空白框中应填入ii2,选B.8.【答案】C【解析】不超过 30 的素数有 2,3,5,7,11,13,17,19,

9、23,29,共 10 个,随机选取两个不同的数,共有 C2045 种方法,由于7+23=11+19=13+17=30,所以随机选取两个不同的数,其和等于31.30 的有 3 种万法,故概率为一一,应选 C.45159.【答案】C【解析】以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1为 x,uur_uur 一那么 D0,0,0,A1,0,0,BI1,1/3,DI0,0,V3,AD11,0,V3,DB11,13,当x1时,y3.【答案】B2【斛析】Qa2ab2aab2a由于渐近线方程为 ybx,所以渐近线方程为 yT2x,应选 A.a6.【答案】A当x1时,y1,0,1；当 x0 时,y1,0,1；uuu

10、ruuuiQcosuuuruuurAD1DB1uuuruuuAD1DBI二 3 交,异面直线ADI与DBI所成角的余弦值为2.55,应选 C.5xxee2xfx,fx 为奇函数,舍去 A,【解析】由于 fxcosxsinx2cosx 一4Qf1ee10,舍去 D;xx2xxeexee2x4x所以由 02k因此 a,ax4兀 3兀,4432k,kZ 得一 2kx2k,kZ44兀 3 兀aa,a 一,a 一,44x2,fx0,所以舍去 C;应选 B.4.【答案】B0a,从而 a 的最大值为-,应选 A.4411.【答案】C【解析】由于 fx 是定义域为的奇函数,且 f1xf1x,5.【答案】A【解

11、析】Qec33,a2b_a因此 f1f2f3Lf5012f1312,【解析】QcosC2C2cos122一25一 1512.【答案】D【解析】由于PF1F2为等腰三角形,F1F2P120,所以 PF2F1F22c,222c2a2b22abcosC125215332,c4s/2,应选 A.57.【答案】B由AP斜率为得,tanPAF2,66sin1PAF2-j=,cos13PAF2y,z 轴建立空间直角坐标系,【解析】Qx2y23,x1,0,1,10.【答案】A1213,应选 B.第3页共 8 页第 4 页共 8 页11由正弦定理得,PF2sinPAF2,2c幽折 2AF2sinAPF2acsi

12、n-PAF231L532,13213a4c,e1,应选D.4二、填空题：此题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分.13.【答案】y2x22【解析】Qy,k2,y2x.x10114.【答案】922(2)由(1)得 Snn8n(n4)16,当n4时,Sn取得最小值,最小值为16.18.【答案】1利用模型预测值为的预测值更可靠.【解析】 作可行域,那么直线zxy过点 A5,4 时 z 取最大值 9.226.1,利用模型预测值为256.5；2利用模型得到【解析】1利用模型,该地区 2021 年的环境根底设施投资额的预测值为?30.413.519226.1亿元.利用模型,该地区 2021 年的环境根

13、底设施投资额的预测值为?9917.59256.5亿元.2利用模型得到的预测值更可靠.理由如下：1从折线图可以看出,2000 年至 2021 年的数据对应的点没有随机散布在直线y30.413.5t 上下,这说明利用 2000 年至 2021 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境根底设施投资额的变化趋势.2021 年相对 2021 年的环境根底设施投资额有明显增加,2021 年至 2021115.【答案】2【解析】Qsincos1,221sincos1,因止匕 sinsincos16.【答案】40 后兀cossin0,11sin,cos-,11212cossin一cos-1sin2241,11

14、一1一一442年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从 2021 年开始环境根底设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用 2021 年至 2021 年的数据建立的线性模型?9917.5t 可以较好地描述 2021 年以后的环境根底设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠.2从计算结果看,相对于 2021 年的环境根底设施投资额 220 亿元,由模型得到的预测值2261亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比拟合理.说明利用模型得到的预测值更可靠.19.【答案】(1)yx-1；(2)x3_222y216 或 x11y6144.(1)由题意得 F1,0,l的方程为 ykx

15、1k0,设 Ax1,y1,Bx2,y2,【解析】由于母线SA,SB所成角的余弦值为-8由于ASAB的面积为 5强,设母线长为l,所以因SA与圆锥底面所成角为45,所以底面半径为,所以母线SA,SB所成角的正弦值为,812.15-2一 l5d15,l80,28,2_lcosl,42,ykx1,n2222由2,得k2x22k24xk20,y4x16k2160,故XIx22k24k2R、L因此圆锥的侧面积为 rll24042.2三、解做题：共 70 分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.第 1721 题为必考题,每个所以|AB|AF|BF|XI12由题设知4kJg,解得kk因此l的方程为 yx

16、1.试题考生都必须作答.第 22、23 为选考题,考生根据要求作答.一必考题：共 60 分.217.【答案】(1)an2n9；(2)Snn-8n,最小值为 T6.【解析】1设 an的公差为 d,由题意得 3al3d15,由 a17 得d2.所以an的通项公式为 an2n9.4k24X212,k1(舍去),k1.2由1得 AB 的中点坐标为 3,2,所以 AB 的垂直平分线方程为 y2x3,即 yx5,设所求圆的圆心坐标为 X0,y0,VoX0那么2(x1)25,(y.x1)22,解得16x035X011或y02y06第 5 页共 8 页第6页共 8 页一.、一2因此所求圆的方程为 x32,、2

17、2y216 或 x11y6144.当x1时,gx0,所以 gx 在 0,单调递减,20.【答案】1见解析；2)4【解析】1由于APCPAC4,O为AC的中点,所以OPAC,且 OP2J3,1ax2ex,fx 在 0,只有一个零点当且仅当 hx 在0,只有一个零点.连结OB.由于 ABBCAC,所以AABC为等腰直角三角形,20时,hx 没有零点;且OBAC,OB1AC2,由 OP2OB2PB2知POOB,20时,ax由 OPOB,OPAC 知PO平面ABC.0,2 时,h2,时,hx02如图,以 O 为坐标原点,uurOB 的方向为 x x 轴正方向,建立空间直角坐标系xyzhx 在 0,2单

18、调递减,在2,单 调 递增.由得 O0,0,0,B2,0,0取平面uuuPAC的法向量 OB设平面PAM的法向量为 n得2yax23z4acosuuuOB,n23a23a42所以0,2,0,PA0,2,0,C_uuu0,0,26,AP0,2,2j3,假设假设假设0,的 最 小值.2,0,0,设 Ma,2x,y,za,0uuiT2,那么 AMa,4由10,0,0,即知,当xuuu由 APn4,3a,0,uuurAMn综上,23a42.3a423a2a243a2a2由得cosuuurOB,n4舍去,8.34.343,3,3uuu,又QPC0,2,所以uiucosPC,n3PC与平面PAM所成角的正弦值为41见解析；2当a1时,f(x)1 等价于x21