第3章 运动学基本知识

1、第一篇第一篇 理论力学理论力学第第3 3章章 运动学基本知识运动学基本知识 第第3章章 运动学基本知识运动学基本知识v本章以点和刚体为研究对象，学习点的运动学本章以点和刚体为研究对象，学习点的运动学和刚体的简单运动，为后续的点的合成运动及和刚体的简单运动，为后续的点的合成运动及刚体的平面运动的学习奠定基础。刚体的平面运动的学习奠定基础。3.1 点的运动学点的运动学3.1.1矢量法矢量法v 在参考体上选一固定点在参考体上选一固定点O作为参考点，由点作为参考点，由点O向动点向动点M作矢径作矢径r，如，如图图3.1（a）所示，当动点）所示，当动点M运动时，矢径运动时，矢径r 大小和方向随时间的变大小

2、和方向随时间的变化而变化，矢径化而变化，矢径r是时间的单值连续函数，即是时间的单值连续函数，即 （3-1） 式（式（3-1）称为动点矢量形式的运动方程。）称为动点矢量形式的运动方程。v 当动点当动点M运动时，矢径运动时，矢径r端点所描出的曲线称动点的运动轨迹或矢端点所描出的曲线称动点的运动轨迹或矢径端迹。径端迹。图图3.1 点运动的矢径和速度的矢量表示点运动的矢径和速度的矢量表示)(trr OrOrv(a)(b)MMMABrrv 点的速度是描述点的运动快慢和方向的物理量。点的速度是描述点的运动快慢和方向的物理量。v 如图如图3.1（b）所示，）所示，t 瞬时动点瞬时动点M位于位于A点，矢径为点

3、，矢径为r，经过时间，经过时间间隔间隔 后的瞬时后的瞬时 ，动点，动点M位于位于B点，矢径为点，矢径为 ，矢径的变化为，矢径的变化为 称为动点称为动点M经过时间间隔经过时间间隔 的位移，动点的位移，动点M经过时间间经过时间间隔隔 的平均速度，用的平均速度，用 表示，即表示，即 平均速度平均速度 与与 同向。同向。 平均速度的极限为点在平均速度的极限为点在t瞬时的速度，即瞬时的速度，即 式（式（3-2）称为动点矢量形式的速度。点的速度等于动点的矢径）称为动点矢量形式的速度。点的速度等于动点的矢径 对对时间的一阶导数。它是矢量，其大小表示动点运动的快慢，方向沿时间的一阶导数。它是矢量，其大小表示动

4、点运动的快慢，方向沿轨迹曲线的切线，并指向前进一侧。速度单位是米轨迹曲线的切线，并指向前进一侧。速度单位是米/秒秒(m/s) 。ttrrrrttvtrvvrt0limdrdt vvv 与点的速度一样，点的加速度是描述点的速度大小和方与点的速度一样，点的加速度是描述点的速度大小和方向变化的物理量。即向变化的物理量。即 （3-3）v 式（式（3-3）中）中 为动点的平均加速度，为动点的平均加速度， 为动点在为动点在t 瞬瞬时的加速度。点的加速度等于动点的速度对时间的一阶时的加速度。点的加速度等于动点的速度对时间的一阶导数，也等于动点的矢径对时间的二阶导数。它是矢量，导数，也等于动点的矢径对时间的二

5、阶导数。它是矢量，其大小表示速度的变化快慢，其方向沿速度矢端迹的切其大小表示速度的变化快慢，其方向沿速度矢端迹的切线，如图线，如图3.2a所示，恒指向轨迹曲线凹的一侧，如图所示，恒指向轨迹曲线凹的一侧，如图3.2b所示。加速度单位为米所示。加速度单位为米/秒秒2 (m/s2) 。220limdtddtdtrvaaaa图图3.2 速度矢端曲线及速度和加速度的关系速度矢端曲线及速度和加速度的关系v 为了方便书写采用简写方法，即一阶导数用字母上方加为了方便书写采用简写方法，即一阶导数用字母上方加“”，二阶导数用字母上方加，二阶导数用字母上方加“”表示，即上面的物理表示，即上面的物理量记为量记为 （3

6、-4）MOv(a)(b)速度矢端曲线运动轨迹vvMMvMarvarv v 在固定点在固定点O建立直角坐标系建立直角坐标系oxyz，则动点则动点M的位置可用其直角坐的位置可用其直角坐标标x、y、z表示，如图表示，如图3.3所示。当动点所示。当动点M运动时坐标运动时坐标x、y、z是是时间时间t的单值连续函数，即有的单值连续函数，即有 (3-5) (3-6) 式式(3-6)称为动点直角坐标形式的运动方程。称为动点直角坐标形式的运动方程。图图3.3 动点的矢径与直角坐标的关系动点的矢径与直角坐标的关系 3.1.2 直角坐标法直角坐标法kjirzyx (t)fz(t)fy(t)fx321MOxyzkji

7、rxyz 由式由式(3-2)得动点的速度，其中得动点的速度，其中 i、j 、k是直角坐标轴的单位常矢是直角坐标轴的单位常矢量，则有量，则有 (3-7) 速度的解析形式为速度的解析形式为 (3-8) 比较式比较式(3-7)和式和式(3-8)得速度在直角坐标轴上的投影为得速度在直角坐标轴上的投影为 (3-9) 因此，速度在直角坐标轴上的投影等于动点所对应的坐标对时间的因此，速度在直角坐标轴上的投影等于动点所对应的坐标对时间的一阶导数。一阶导数。kjiv(t)z(t)y(t)xkjivzyxvvv(t)zdtdz=v(t)ydtdy=v(t)xdtdx=vzyx 若已知速度投影，则速度的大小和方向为

8、若已知速度投影，则速度的大小和方向为 (3-10) 同理，由式同理，由式(3-3)得动点的加速度为得动点的加速度为 (3-11) 加速度的解析形式加速度的解析形式 (3-12) 则加速度在直角坐标轴上的投影为则加速度在直角坐标轴上的投影为 (3-13)222zyxvvvv+=vv)cos(vv)cos(vv)cos(zyxkv,jv,iv,kjivazyxvvvdtdkjiazyxaaa(t)zvdtdva(t)yvdtdva(t)xvdtdvazzzyyyxxx v 加速度在直角坐标轴上的投影等于速度在同一坐标轴上加速度在直角坐标轴上的投影等于速度在同一坐标轴上的投影对时间一阶导数，也等于动

9、点所对应的坐标对时的投影对时间一阶导数，也等于动点所对应的坐标对时间二阶导数。间二阶导数。v 若已知加速度投影，则加速度的大小和方向为若已知加速度投影，则加速度的大小和方向为 (3-14)v 求解点的运动学问题大体可分为两类：第一类是已知动求解点的运动学问题大体可分为两类：第一类是已知动点的运动，求动点的速度和加速度，它是求导的过程；点的运动，求动点的速度和加速度，它是求导的过程；第二类是已知动点的速度或加速度，求动点的运动，它第二类是已知动点的速度或加速度，求动点的运动，它是求解微分方程的过程。是求解微分方程的过程。222zyxaaaaaa)cos(aa)cos(aa)cos(zyxka,j

10、a,ia,v 例题例题3-1 曲柄连杆机构如图曲柄连杆机构如图3.4所示，设曲柄所示，设曲柄OA长为长为r，绕，绕O轴匀轴匀速转动，曲柄与速转动，曲柄与x轴的夹角为轴的夹角为 ，t为时间（秒为时间（秒s），连杆），连杆AB长为长为l，滑块，滑块B在水平的滑道上运动，试求滑块在水平的滑道上运动，试求滑块B的运动方程，速度的运动方程，速度和加速度。和加速度。图图3.4 tAxBOrlyv 解：建立直角坐标系解：建立直角坐标系oxy，滑块，滑块B的运动方程为的运动方程为 （1） 其中由几何关系得其中由几何关系得 则有则有 （2） 式（式（2）代入式（）代入式（1）得滑块）得滑块B的运动方程的运动方程

11、 （3） 对式（对式（2）求导得滑块）求导得滑块B的速度和加速度，即的速度和加速度，即22122)tsinlr(ltsinrtsinrxv2322222222)(1 42)(1 24tsinlrltsinlrtsinlrtcosrtcosrva21)sinlr(lcosrx2211)sinlr(sincossinlsinrcoslcosrxv 例题例题3-2如图如图3.5所示为液压减震器简图，当液压减震器工作时，所示为液压减震器简图，当液压减震器工作时，其活塞其活塞M在套筒内作直线的往复运动，设活塞在套筒内作直线的往复运动，设活塞M的加速度为的加速度为 ， v为活塞为活塞M的速度，的速度， k

12、为常数，初速度为为常数，初速度为 ，试求活塞，试求活塞M的速度和的速度和运动方程。运动方程。kvaovxMO图图3.53.5xv 解：因活塞解：因活塞M作直线的往复运动，因此建立作直线的往复运动，因此建立x轴表示活塞轴表示活塞M的运动的运动规律，如图规律，如图3.5所示。活塞所示。活塞M的速度、加速度与的速度、加速度与x坐标的关系为坐标的关系为 代入已知条件，则有代入已知条件，则有 （1） 将式（将式（1）进行变量分离，并积分）进行变量分离，并积分 得得v 活塞活塞M的速度为的速度为 （2） 再对式（再对式（2）进行变量分离，）进行变量分离， 积分积分 得活塞得活塞M的运动方的运动方 程程 （

13、3）(t)xv=a dtdvkv tvvovdvdtk0ovvlnkt ktoevvdtevdxktodtevdxtktoxxo0)1 (ktooekvxx3.1.3自然法自然法v 实际工程中，例如运行的列车是在已知的轨道上行驶，而列车的运实际工程中，例如运行的列车是在已知的轨道上行驶，而列车的运行状况也是沿其运行的轨迹路线来确定的。这种沿已知轨迹路线来行状况也是沿其运行的轨迹路线来确定的。这种沿已知轨迹路线来确定动点的位置及运动状态的方法通常称为确定动点的位置及运动状态的方法通常称为自然法自然法。如图。如图3.6所示所示确定动点的位置应在已知的轨迹曲线上选择一个点确定动点的位置应在已知的轨迹

14、曲线上选择一个点O作为参考点，作为参考点，设定运动的正负方向，由所选取参考点设定运动的正负方向，由所选取参考点O量得量得OM的弧长的弧长s ，弧长，弧长s称为称为弧坐标弧坐标。当动点运动时，弧坐标。当动点运动时，弧坐标s随时间而发生变化，即弧坐随时间而发生变化，即弧坐标标s是时间是时间t的单值连续函数，即的单值连续函数，即 (3-14) 式式(3-14)称为弧坐标形式的运动方程。称为弧坐标形式的运动方程。图图3.6 动点的弧坐标动点的弧坐标f(t)s (-)(+)MOsv 为了学习速度和加速度，先学习随动点运动的动坐标系为了学习速度和加速度，先学习随动点运动的动坐标系自然轴自然轴系，如图系，如

15、图3.7所示。所示。图图3.7 动点运动曲线切线的矢量关系动点运动曲线切线的矢量关系 设在设在t瞬时动点在轨迹曲线上的瞬时动点在轨迹曲线上的M点，并在点，并在M点作其切线，沿其前进的方向点作其切线，沿其前进的方向给出单位矢量给出单位矢量，下一个瞬时，下一个瞬时 动点在动点在 点处，并沿其前进的方向给出单点处，并沿其前进的方向给出单位矢量位矢量 ，为描述曲线，为描述曲线M处的弯曲程度，引入曲率的概念，即单位矢量处的弯曲程度，引入曲率的概念，即单位矢量与与 夹角夹角 对弧长对弧长s的变化率，的变化率，k表示表示 M处的曲率半径为处的曲率半径为 (3-15)MdsdMtMsdd1 v 如图如图3.8

16、所示，在所示，在M点处作单位矢量点处作单位矢量 的平行线的平行线MA，单位矢量，单位矢量与与MA构成一个平面构成一个平面P，当时间间隔，当时间间隔 趋于零时，趋于零时，MA靠近单位矢靠近单位矢量量， 趋于趋于M点，平面点，平面P趋于极限平面趋于极限平面P0，此平面称为密切平面，此平面称为密切平面，过过M点作密切平面的垂直平面点作密切平面的垂直平面N，N称为称为M点的法平面。在密切平点的法平面。在密切平面与法平面的交线，取其单位矢量面与法平面的交线，取其单位矢量n，并恒指向轨迹曲线的曲率中，并恒指向轨迹曲线的曲率中心一侧，心一侧，n称为称为M点的主法线。按右手系生成点的主法线。按右手系生成M点处

17、的次法线点处的次法线b，使得使得 ，从而得到由，从而得到由b、 、n构成的自然轴系。由于动点在构成的自然轴系。由于动点在运动，运动，b、 、n的方向随动点的运动而变化，故的方向随动点的运动而变化，故b、 、n为动坐标为动坐标系。系。图图3.8 自然坐标自然坐标tMnbMNbAn法平面密切平面P0PM 由矢量法可知动点的速度大小为由矢量法可知动点的速度大小为 (3-16) 如图如图3.9所示，其中所示，其中 ， ， 定义为速度代数量，当动定义为速度代数量，当动 点沿轨迹曲线的正向运动时，即点沿轨迹曲线的正向运动时，即 0， 0，反之，反之 0， 0。 动点速度方向沿轨迹曲线切线，并指向前进一侧，

18、即点的速度的矢动点速度方向沿轨迹曲线切线，并指向前进一侧，即点的速度的矢量量 (3-17) 沿轨迹曲线切线的单位矢量，恒指向沿轨迹曲线切线的单位矢量，恒指向 0的方向。的方向。图图3.9 弧坐标与矢径的关系弧坐标与矢径的关系vtslimslimtsslimtlimdtdtstt0000rrrrv10Slimsrvtslimt0vvvssvvsrsMMvrrv 由矢量法可知动点的加速度为由矢量法可知动点的加速度为 (3-18)v 由由(3-18)式加速度应分两项，一项表示速度大小对时间变化率，式加速度应分两项，一项表示速度大小对时间变化率，用用 表示称为表示称为切向加速度切向加速度，其方向沿轨迹

19、曲线切线，当，其方向沿轨迹曲线切线，当 与与 同同号时动点作加速运动，反之作减速运动；另一项表示速度方向对时号时动点作加速运动，反之作减速运动；另一项表示速度方向对时间变化率，用间变化率，用 表示称为表示称为法向加速度法向加速度。 （1） 的大小的大小 （2） 的方向的方向 的方向如图的方向如图3.7所示，沿轨迹曲线的主法线，恒指向曲率中心所示，沿轨迹曲线的主法线，恒指向曲率中心一侧。一侧。dtdvdtdv)v(dtddtdva+=aavnadtdvtslimslimsinlimtsinlimtlimdtdtstt0000022212dtddtdv 则上面的式则上面的式(3-18)成为成为 (

20、3-19) 其中，其中， ， 。v 若将动点的全加速度若将动点的全加速度 向自然坐标系向自然坐标系 、n、b上投影，则有上投影，则有 (3-20) 其中其中 为次法向加速度。为次法向加速度。v 若已知动点的切向加速度若已知动点的切向加速度 和法向速度和法向速度 ，则动点的全加速度大，则动点的全加速度大小小 （3-21a ）anana+a)sv(dtsddtdva 或22van20222bnavadtsddtdvabaana22naaav 全加速度与法线间的夹角如图全加速度与法线间的夹角如图3.10所示。为所示。为（3-21b ）图图3.10 切向加速度与法向加速度切向加速度与法向加速度Mnaa

21、naaaanMvv(a)(b)naatanv 例题例题3-3飞轮边缘上的点按飞轮边缘上的点按 的规律运动，飞轮的半径的规律运动，飞轮的半径 。试求时间。试求时间 该点的速度和加速度。该点的速度和加速度。v 解：当时间解：当时间 时，飞轮边缘上点的速度为时，飞轮边缘上点的速度为 方向沿轨迹曲线的切线。方向沿轨迹曲线的切线。 飞轮边缘上点的切向加速度为飞轮边缘上点的切向加速度为 法向加速度为法向加速度为 飞轮边缘上点的全加速度大小和方向为飞轮边缘上点的全加速度大小和方向为 全加速度与法线间的夹角全加速度与法线间的夹角 tsins44cm20rst10st10cm/s1134.tcosdtdsv22

22、cm/s38044.tsindtdva222cm/s364820113.van222cm/s448.aaan00780.aatanno.450v 例题例题3-4已知动点的运动方程为已知动点的运动方程为 式中式中x 、y 以以m计，计， t以以s计，试求计，试求 时动点的曲率半径时动点的曲率半径 。v 解：动点的速度和加速度在直角坐标解：动点的速度和加速度在直角坐标x、y、z上的投影为上的投影为v 动点的速度和全加速度的大小为动点的速度和全加速度的大小为tx201052 ty0t(m/s)20 xvx(m/s)10tyvy0 xxva)10(m/s2yyva2222410100400ttvvvy

23、x)10(m/s222yxaaa 在在 时，动点的切向加速度为时，动点的切向加速度为 法向加速度为法向加速度为 全加速度的大小为全加速度的大小为 时动点的曲率半径为时动点的曲率半径为0t04102ttvavan4002nnyxaaaaaa22220tm4010400400a3.2 刚体的基本运动刚体的基本运动v 在上一节的基础上本节的研究对象是刚体，学习的内容在上一节的基础上本节的研究对象是刚体，学习的内容是刚体的平行移动和定轴转动，它构成刚体的两个基本是刚体的平行移动和定轴转动，它构成刚体的两个基本运动，也是研究刚体平面运动的基础。运动，也是研究刚体平面运动的基础。v 3.2.1刚体的平行移

24、动刚体的平行移动v 工程实际中，如气缸内活塞的运动，打桩机上桩锤的运工程实际中，如气缸内活塞的运动，打桩机上桩锤的运动等等，其共同的运动体点是在运动过程中，刚体上任动等等，其共同的运动体点是在运动过程中，刚体上任意直线段始终与它初始位置相平行，刚体的这种运动称意直线段始终与它初始位置相平行，刚体的这种运动称为平行移动，简称平移。如图为平行移动，简称平移。如图3.11所示车轮的平行推所示车轮的平行推杆杆AB在运动过程中始终与它初始位置相平行，因此推在运动过程中始终与它初始位置相平行，因此推杆杆AB作平移。作平移。 图图3.11 刚体平移图刚体平移图 3.12 平移刚体上点的轨迹平移刚体上点的轨迹

25、v 确定平移刚体的位置和运动状况，只需研究刚体上任意直线段确定平移刚体的位置和运动状况，只需研究刚体上任意直线段AB，A、B两点的矢径为两点的矢径为 和和 ，A、B两点间的有向线段两点间的有向线段 之间的关之间的关系为系为 （3-22） 由平动定义知由平动定义知 为恒矢量，为恒矢量，A、B两点的轨迹只相差两点的轨迹只相差 的恒矢量，的恒矢量，即即A、B两点的轨迹形状相同。两点的轨迹形状相同。 式（式（3-22）对时间求导，得）对时间求导，得 （3-23） （3-24）1OAB2OOxyzABvABABAB1A2A2B1BrvaaABrrArBrABrABBArrrABrABrBAvvBAaav

26、 结论：结论：v （1）平移刚体上各点的轨迹形状相同；）平移刚体上各点的轨迹形状相同；v （2）在同一瞬时平移刚体上各点的速度相等，各点的）在同一瞬时平移刚体上各点的速度相等，各点的加速度相等。加速度相等。v 因此，刚体的平行移动可以转化一点的运动来研究，即因此，刚体的平行移动可以转化一点的运动来研究，即可按点的运动学问题来研究。可按点的运动学问题来研究。3.2.2刚体的定轴转动刚体的定轴转动v 工程实际中绕固定转动的物体很多，如飞论、电动机的转子、卷扬工程实际中绕固定转动的物体很多，如飞论、电动机的转子、卷扬机的鼓轮、齿轮等均绕定轴转动。这些刚体的运动特点是：在运动机的鼓轮、齿轮等均绕定轴转

27、动。这些刚体的运动特点是：在运动过程中，刚体上存在一条不动的直线段，刚体的这种运动称为刚体过程中，刚体上存在一条不动的直线段，刚体的这种运动称为刚体的绕定轴转动，简称转动，转动刚体的不动的直线段称为刚体的转的绕定轴转动，简称转动，转动刚体的不动的直线段称为刚体的转轴。轴。v 1.转动刚体的运动方程转动刚体的运动方程 v 如图如图3.13所示，选定参考坐标系所示，选定参考坐标系，设，设z 轴与刚体的转轴重合，轴与刚体的转轴重合，过过z轴作一个不动的平面轴作一个不动的平面 （称为静平面），再作一个与刚体一起转（称为静平面），再作一个与刚体一起转动的平面动的平面 （称为动平面），令静平面（称为动平面

28、），令静平面 位于位于 面上，初始瞬时这面上，初始瞬时这两个平面重合，当刚体转动到两个平面重合，当刚体转动到 t 瞬时，两个平面间的夹角为瞬时，两个平面间的夹角为 ， 称为刚体的转角，用来描述转动刚体的代数量。按照右手螺旋法称为刚体的转角，用来描述转动刚体的代数量。按照右手螺旋法则规定转角则规定转角 的符号，其单位为弧度（的符号，其单位为弧度（ ）。）。oxyz0P0PoxzradPv 刚体定轴转动时的运动方程刚体定轴转动时的运动方程 （3-25） 是时间是时间 t 的单值连续函数。的单值连续函数。图图3.13 刚体定轴转动刚体定轴转动f(t)f(t)zPP0 xyO v 角速度是描述刚体转动

29、快慢的物理量，用角速度是描述刚体转动快慢的物理量，用 表示，即转表示，即转角角 对时间对时间 的导数，的导数， （3-26）v 单位为弧度单位为弧度/秒（秒（ ），它是代数量。当），它是代数量。当 0， 0； 0， 0。v 角加速度是角速度角加速度是角速度 对时间对时间 的导数，用的导数，用 表示表示 （3-27）v 单位为弧度单位为弧度/秒秒2（ ），它是代数量。当），它是代数量。当 与与 同号时，同号时，刚体作加速转动；当刚体作加速转动；当 与与 异号时，刚体作减速转动。式异号时，刚体作减速转动。式（3-25）、（）、（3-26）、（）、（3-27）都是描述定轴转动刚体整都是描述定轴转动刚

30、体整体运动的。体运动的。t）或(dtdrad/st）（或 dtddtd222rad/sv 工程中常用转速表示转动刚体的转动快慢，即每分钟转工程中常用转速表示转动刚体的转动快慢，即每分钟转过的圈数，用过的圈数，用 表示，单位为转表示，单位为转/分（分（ ），角速度与），角速度与转速的关系是转速的关系是 （ ） （3-28）v 注意：转动刚体的运动微分关系与点的运动微分关系有注意：转动刚体的运动微分关系与点的运动微分关系有着相似之处，望初学者加以比较。着相似之处，望初学者加以比较。nr/min30602nnrad/sv 2.转动刚体上各点的速度转动刚体上各点的速度v 当刚体作定轴转动时，刚体上各点

31、均作圆周运动，故在刚体上任选当刚体作定轴转动时，刚体上各点均作圆周运动，故在刚体上任选一点一点 M，设它到转轴的距离为，设它到转轴的距离为R ，如图，如图3.14所示，当刚体转过所示，当刚体转过 角时，点角时，点 M的弧坐标为的弧坐标为 （3-29） 图图3.14 转动刚体上各点的弧坐标与转角的关系转动刚体上各点的弧坐标与转角的关系 图图3.15 转动刚体的速度分布图转动刚体的速度分布图v 式（式（3-29）对时间）对时间 t求导得点求导得点M的速度为的速度为 （3-30） 其速度分布如图其速度分布如图3.15所示。所示。Rs OMSM0(+)(-)vRvsRvsRvsRvsRvssvRv 3

32、.转动刚体上各点的加速度转动刚体上各点的加速度v 式（式（3-30）对时间）对时间 t 求导得点求导得点M的切向加速度为的切向加速度为 （3-31）v 点点M的法向加速度为的法向加速度为 （3-32） 则点则点M的全向加速度的大小和方向为的全向加速度的大小和方向为 （3-33） （3-34） 其加速度分布如图其加速度分布如图3.16所示。所示。Rsa 222RR)R(Rvan4222222R)R()R(aaan2aatann 图图3.16 转动刚体的加速度分布图转动刚体的加速度分布图v 结论：结论：v （1）在同一瞬时，转动刚体上各点的速度）在同一瞬时，转动刚体上各点的速度 和加速度和加速度

33、的大小均的大小均与到转轴的垂直距离与到转轴的垂直距离 成正比；成正比；v （2）在同一瞬时，各点速度）在同一瞬时，各点速度 的方向垂直与到转轴的距离的方向垂直与到转轴的距离 ，各点加速度各点加速度 的方向与到转轴的垂直距离的方向与到转轴的垂直距离 的夹角的夹角 都相等。都相等。avvaaRRR v 例题例题3-5如图如图3.17所示，曲柄所示，曲柄OA绕绕O轴转动轴转动 ，其转动方程为，其转动方程为 (rad)，BC杆绕杆绕C轴转动，且杆轴转动，且杆OA与杆与杆BC平行等长，平行等长，OA=BC=0.5m，试求当，试求当 时，直角杆时，直角杆ABD上上D点的速度和点的速度和加速度。加速度。图图

34、 3.17v 解：由于解：由于OA与与BC平行等长，则直角杆平行等长，则直角杆ABD作平移，因此由平移作平移，因此由平移的定义知：计算的定义知：计算D点的速度和加速度，只需计算点的速度和加速度，只需计算A点的速度和加速点的速度和加速度即可。度即可。24tst1ODCBA v 曲柄曲柄OA的角速度由式（的角速度由式（3-26）得）得 （rad/s）v 当当 时：时：v （1）直角杆）直角杆ABD上上D点的速度点的速度 由式（由式（3-30）得）得 （m/s） 方向垂直方向垂直OA指向角速度方向。指向角速度方向。v （2）直角杆）直角杆ABD上上D点的加速度点的加速度 （m/s2） （m/s2）

35、（m/s2）v 其中其中 tdtd8st14850.OAR=v4850.OAR=a32850222.OAR=an32850222.OAR=an12508822.=aa=tanno.137v 例题例题3-6鼓轮鼓轮O轴转动，其半径为轴转动，其半径为 ，转动方程为，转动方程为 (rad)，如图，如图3-18所示。绳索缠绕在鼓轮上，绳索的另一端悬挂所示。绳索缠绕在鼓轮上，绳索的另一端悬挂重物重物A，试求当，试求当 时，轮缘上的点时，轮缘上的点M和重物和重物A的速度和加速度。的速度和加速度。图图 3.18v 解：鼓轮解：鼓轮O轴转动的角速度由式（轴转动的角速度由式（3-26）得）得（rad/s）v 鼓

36、轮鼓轮O轴转动的角加速度由式（轴转动的角加速度由式（3-27）得）得 （rad/s2）0.2mR 24tt 1tsOMRavd24dtt d2dt v 当当 时：时：v （1）点）点M的速度和加速度的速度和加速度 由式（由式（3-30）得）得（m/s） 方向垂直方向垂直 R指向角速度方向。指向角速度方向。v 切向加速度由式（切向加速度由式（3-31）得）得 （m/s2）v 法向加速度由式（法向加速度由式（3-32）得）得 （m/s2）v 全向加速度由式（全向加速度由式（3-33）得：）得： （m/s2）v 全向加速度与法线间的夹角由式（全向加速度与法线间的夹角由式（3-34）得）得v 其中其中

37、 。1ts=0.2 20.4MvRa=0.2 ( 2)0.4MR 22na=0.2 20.8MR2222=+=0.40.80.8944MMnMaaa222tan=0.52naa26.57ov （2）重物）重物A的速度和加速度的速度和加速度v 重物重物A的速度为的速度为 （m/s） 方向铅锤向下。方向铅锤向下。v 重物重物A的加速度为的加速度为 （m/s2） 与速度方向相反，作减速运动。与速度方向相反，作减速运动。= 0.4AMvva= 0.4AMa 图图 3.19v 例题例题3-7变速箱由四个齿轮构成，如图变速箱由四个齿轮构成，如图3.19所示。齿轮所示。齿轮和和安安装在用一轴上，与轴一起运动

38、，各齿轮的齿数分别为装在用一轴上，与轴一起运动，各齿轮的齿数分别为 、 、 和和 ，如主动轴，如主动轴的转数的转数 (r/min)试求从动轮试求从动轮的转数的转数 。v 解：在机械中常用齿轮作为传动部件，例如本题中变速箱，是由多解：在机械中常用齿轮作为传动部件，例如本题中变速箱，是由多组齿轮构成的，起到增速和减速的作用。在齿轮相互啮合处其速度组齿轮构成的，起到增速和减速的作用。在齿轮相互啮合处其速度应相等。如本例中的主动轮应相等。如本例中的主动轮和从动轮和从动轮，设其角速度分别为，设其角速度分别为 、 ，齿轮的半径分别为，齿轮的半径分别为 和和 ，即，即 （1）IIIIVIIIn1136z 2

39、112z 332z 4128z 11450n 121r1 122rr2rv 定义齿轮的传动比定义齿轮的传动比 等于主动轮的角速度与从动轮角速度的比。等于主动轮的角速度与从动轮角速度的比。v 由式（由式（1）有）有 （2）v 由于齿轮啮合时齿距必须相等，而齿距等于齿轮节圆周长与齿轮齿由于齿轮啮合时齿距必须相等，而齿距等于齿轮节圆周长与齿轮齿数的比。若设齿轮齿数分别为数的比。若设齿轮齿数分别为 、 ，则有，则有 （3）v 从而由式（从而由式（2）和由式（）和由式（3）得）得v 即齿轮传递时，两个齿轮角速度的比等于两个齿轮半径的反比，或即齿轮传递时，两个齿轮角速度的比等于两个齿轮半径的反比，或等于两

40、个齿轮齿数的反比。等于两个齿轮齿数的反比。 （4） 121221rir1z2z121222rrzz12212211rzirzv 由上面公式解本题。设四个轮的转数分别为由上面公式解本题。设四个轮的转数分别为 、 、 、 ，且有，且有v 将两式相乘得将两式相乘得v 解得从动轮解得从动轮的转数的转数 为为 （r/min）1n2n3n4n121221nzinz343443nzinz1241441 3nz zinz z23nn4n1 3412436 321450117112 128z znnz zv 在机械中还有皮带轮传动，如图在机械中还有皮带轮传动，如图3.20所示。如不考虑皮带的厚所示。如不考虑皮带

41、的厚度，并假设皮带与轮无相对滑动，设轮度，并假设皮带与轮无相对滑动，设轮和轮和轮的角速度分别为的角速度分别为 、 ，半径分别为，半径分别为 和和 ，即，即图图3.20 （5）v 皮带轮的传动比皮带轮的传动比 为为 （6）v 即皮带轮的传递时，即皮带轮的传递时，两个皮带轮角速度的比等于两个皮带轮半径的两个皮带轮角速度的比等于两个皮带轮半径的反比。反比。121r2rIIIv2v1r1r2121 122rr12i121221rir3.3 本章小结本章小结 v 1. 点运动的点运动的矢量法矢量法v 动点矢量形式的运动方程：动点矢量形式的运动方程： v 动点的速度：动点的速度： v 动点的加速度：动点的

42、加速度： v 简写形式：简写形式： v 2. 点运动的点运动的直角坐标法直角坐标法v 动点直角坐标形式的的运动方程：动点直角坐标形式的的运动方程： v 动点的速度：动点的速度：v 动点的速度在直角坐标轴上的投影：动点的速度在直角坐标轴上的投影： (t)rrddtrv22dddtdtvra(t)rrvravr(t)fz(t)fy(t)fx321xyzvvvvijkxyzv =x(t)v =(t)v =(t)dxdtdyydtdzzdtv 动点的加速度：动点的加速度： v 动点的加速度在直角坐标轴上的投影：动点的加速度在直角坐标轴上的投影：v 3. 点运动的点运动的自然法自然法v 弧坐标形式的运动

43、方程：弧坐标形式的运动方程： v 自然轴系：由轨迹曲线切线的单位矢量自然轴系：由轨迹曲线切线的单位矢量 、主法线的单位矢量、主法线的单位矢量 和次和次法线的单位矢量法线的单位矢量 构成，满足右手螺旋关系。即构成，满足右手螺旋关系。即v 速度：速度： v 速度的大小：速度的大小： v 加速度：加速度： v 切向加速度：切向加速度： v 法向加速度：法向加速度： v 次法向加速度：次法向加速度： v v v 4常见的几种点的运动常见的几种点的运动v 匀变速曲线运动匀变速曲线运动v 匀速曲线运动匀速曲线运动xyzaaaaijkxxyyzzavx(t)avy(t)avz(t)xyzdvdtdvdtdv

44、dtf(t)s b nvvdsvsdt na+abaanb22dvd sadtdt2nva0ba v 4 4常见的几种点的运动常见的几种点的运动匀变速曲线运动匀变速曲线运动匀速曲线运动匀速曲线运动直线运动直线运动切向加速度切向加速度： =恒量恒量 （1）积分积分： （2）再再积分：积分： （3）（2）、（）、（3）消去）消去时间时间 t 得得 （4）法向加速度：法向加速度：速度速度： 恒量恒量 （5）切向加速度切向加速度： 积分积分： （6）全全加速度：加速度：曲率半径曲率半径： 法向加速度法向加速度： 全加速度：全加速度：22dtsd=dtdv=atavvo2ootatvss21t)ss(a

45、vvoo222+=van2v0atvssoovaan20naaa v 5 5刚体的平行移动（简称平动）刚体的平行移动（简称平动）v 平行移动：在运动过程中，刚体上任意直线段始终与它初始位置相平行移动：在运动过程中，刚体上任意直线段始终与它初始位置相平行。平行。 （1）平移刚体上各点的轨迹形状相同；）平移刚体上各点的轨迹形状相同； （2）在同一瞬时，平移刚体上各点的速度相等，各点的加速度相）在同一瞬时，平移刚体上各点的速度相等，各点的加速度相等。等。 因此，刚体的平行移动可以转化一点的运动来研究，即点的运动因此，刚体的平行移动可以转化一点的运动来研究，即点的运动学。学。v 6 6刚体的定轴转动刚

46、体的定轴转动v 刚体的定轴转动：在运动过程中，刚体上存在一条不动的直线段。刚体的定轴转动：在运动过程中，刚体上存在一条不动的直线段。 v 刚体定轴转动的运动方程：刚体定轴转动的运动方程： （ ）v 角速度：角速度： （ ）v 角加速度：角加速度： （ ）f(t)radradradd(dt 或）22dddtdt（或）v 工程中转速工程中转速 ：单位为转：单位为转/分（分（ ），转速与角速度的关系：），转速与角速度的关系：（ ） v 转动刚体上各点的速度和加速度：转动刚体上各点的速度和加速度：v 速度：速度： v 切向加速度：切向加速度： v 法向加速度：法向加速度： v 全向加速度：全向加速度：

47、 v 全向加速度与法线间的夹角：全向加速度与法线间的夹角： nr/min26030nnrad/s=vRa =R2na =R2224=+= +naaaR2tan=naav 7. 7.转动刚体的运动微分关系与点的运动微分关系的对应关系：转动刚体的运动微分关系与点的运动微分关系的对应关系：运动特征点作曲线运动刚体作定轴转动匀速运动 恒量 恒量匀变速运动一般运动vtv+sso=t+=o22dtsd=dtdv=atavvo2ootatvss21)ss(a+v=voo22222dtd=dtd=t+=o221tt+=oo)(+=o22o2)t(f=ss=vs=a )t(f= 3.4 习习 题题v 3-1 .

48、如图所示的平面机构中，曲柄如图所示的平面机构中，曲柄OC以角速度以角速度 绕绕O轴转动，图轴转动，图示瞬时与水平线夹角示瞬时与水平线夹角 ，A、B滑块分别在水平滑道和竖直滑滑块分别在水平滑道和竖直滑道内运动，试求道内运动，试求AC中点中点M的运动方程、速度和加速度。的运动方程、速度和加速度。v 3-2.如图所示杆如图所示杆AB长为长为l，以角速度，以角速度 绕点绕点B转动，其转动方程为转动，其转动方程为 。与杆相连的滑块。与杆相连的滑块B按规律按规律 沿水平线作往复的沿水平线作往复的运动，其中运动，其中 、a、b均为常数，试求点均为常数，试求点A的轨迹。的轨迹。 习题习题3-1图图 习题习题3

49、-2图图ttsinsabt题5-21图CBALLL/2L/2MxyO题5-22图ySBxAOv 3-3.如图所示，跨过滑轮如图所示，跨过滑轮C的绳子一端挂有重物的绳子一端挂有重物B，另一端，另一端A被人被人拉着沿水平方向运动，其速度拉着沿水平方向运动，其速度 ，而点，而点A到地面的距离保持到地面的距离保持常量常量 。如滑轮离地面的高度。如滑轮离地面的高度 ，滑轮的半径忽略不，滑轮的半径忽略不计，当运动开始时，重物在地面上的计，当运动开始时，重物在地面上的D处，绳子处，绳子AC段在铅直位置段在铅直位置EC处，试求重物处，试求重物B上升的运动方程和速度，以及重物上升的运动方程和速度，以及重物B到达

50、滑轮处到达滑轮处所需的时间。所需的时间。v 3-4.杆杆AB以等角速度以等角速度 绕点绕点A转动，并带动套在水平杆转动，并带动套在水平杆OC上的小上的小环环M运动，当运动开始时，杆运动，当运动开始时，杆AB在铅直位置，设在铅直位置，设OA=h，试求：，试求： （1）小环）小环M沿杆沿杆OC滑动的速度；滑动的速度； （2）小环）小环M相对于杆相对于杆AB运动的速度。运动的速度。 习题习题3-3图图 习题习题3-4图图1m/sov 1mh 9mH H题5-23图vhEA0DBC题5-24图OAhCBMv 3-5.如图所示，摇杆机构的滑杆如图所示，摇杆机构的滑杆AB以等速度以等速度u向上运动，摇杆向

51、上运动，摇杆OC的长为的长为a，OD=l初始时，摇杆初始时，摇杆OC位于水平位置，试建立摇杆位于水平位置，试建立摇杆OC上点上点C的运动方程，并求当的运动方程，并求当 ，点，点C的速度。的速度。 习题习题3-5图图4题5-25图xyalOUDACBv 3-6.如图所示，偏心凸轮半径为如图所示，偏心凸轮半径为R，绕，绕O轴转动轴转动 ，转角，转角 ， 为常量，偏心距为常量，偏心距 ，凸轮带动顶杆，凸轮带动顶杆AB沿直线作往复运动，试沿直线作往复运动，试求顶杆的运动方程和速度。求顶杆的运动方程和速度。 习题习题3-6图图 习题习题3-9图图tOCe题5-27图ORCABO(-)(+)R2R1BAS

52、图5-30v 3-7.已知点的运动方程，试求动点自然法的运动方程。已知点的运动方程，试求动点自然法的运动方程。 （1） ； （2） v 3-8.列车在半径为列车在半径为 的圆弧轨道作匀减速行驶，设初速度的圆弧轨道作匀减速行驶，设初速度 ，末速度，末速度 ，走过的路程，走过的路程 ，试求列车在，试求列车在这段路程的起点和终点时的加速度，以及列车在这段路程中所经历这段路程的起点和终点时的加速度，以及列车在这段路程中所经历的时间。的时间。v 3-9.动点动点M沿曲线沿曲线OA和和OB两段圆弧运动，其圆弧的半径分别为两段圆弧运动，其圆弧的半径分别为 和和 ，以两段圆弧的连接点为弧坐标的坐标原点，以两段圆弧的连接点为弧坐标的坐标原点O，如图所示。已知动点的运动方程为如图所示。已知动点的运动方程为 ， s以米（以米（m）计、）计、t以秒（以秒（s）计，试求：）计，试求： （1）动点）动点M由由 运动到运动到 所经走的路程；所经走的路程； （2） 时的加速度。时的加速度。24cosxt23sinyt2xt2yt800mr 54km/hov 18km/hv 800ms 11