(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明

1、正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法sinA=2R'sinB=1. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.主要考查有关定理的应用、三角包等变换的能力、运算能力及转化的数学思想.解三角形常常作为解题工具用丁立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现.1. 正弦定理(1) 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.其中R是三角形外接圆的半径.(2) 正弦定理的其他形式：a=2RsinA,b=,csinO；a:b：c

2、=2. 余弦定理(1) 余弦定理：三角形中任何一边的平方等王彦文宵铜峡一中丁其他两边的平方的和减去这两边与它们的火角的余弦的积的两倍.即a2=,b2=,c?=.若令C=90°,WJc2=,即为勾股定理.(2) 余弦定理的变形：cosA=,cosB=,cosC.若C为锐角，则cosC>0,即a2+b2;若C为钝角，贝UcosC<0,即a2+b2.故由a2+b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角.(3) 正、余弦定理的一个重要作用是实现边角,余弦定理亦可以写成sin2A=sin2B+sin2C2sinBsinCcosA，类似地，sin2B=;sin2C=_S意式

3、中隐含条件A+B+C=tt.3. 解斜三角形的类型(1) 已知三角形的任意两个角与一边，用理.只有一解.(2) 已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用定理，可能有A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinA<a<ba为a>b解的个数(3)已知三边，用理.有解时，只有一解.(4)已知两边及火角，用理,必有一解.L如在ABC中，已知a,b和A时，解的情况如表：4. 三角形中的常用公式或变式三角形面积公式&=:其中R,r分别为三角形外接圆、内切圆半径.(2) A+B+C=兀，WJA=,A5=,从而sinA=tan(B+C)co岩si号«ctan2ta

4、nAtanBtanC(3)a+csinA+sinCcosA=,tanA=<(3) 互化sin(1)b*12+c22bccosAc2+a22cacosBa2+b22abcosCa2+b2b2+c2a2c2+a2b2a2+b2c2(2)2bc2ca2abC+sin2A2sinCsinAcosBsin2A+sin2B2sinAsinBcosC3. (1)正弦(2)正弦一解、两解或无解一解二解一解一解余弦余弦111abc14. (1)2absinC2bcsinA2acsinB4R2(a+b+c)r在ABC中，A>B是sinA>sinB的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.

5、 充要条件D. 既不充分也不必要条件解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件.故选C.兀B+C(2)代(B+Q2Fsin(B+C)cos(B+C)在ABC中，已知b=6,c=10,B=30°,则解此三角形的结果有（）A.无解B.一解C.两解D.一解或两解解：由正弦定理知sinC=半=5,乂由b6c>b>csinB知，C有两解.也可依已知条件，画出ABC,由图知有两解.故选C.（2012陕西）在ABC中，角A,B,C所对的边一Tti一，分力U为a,b,c.右a=2,B=c=2寸3,贝Ub=.解：由余弦定理知b2=a2+c22accoSB=2

6、2+（23）22X2X/3Xc%=4,b=2.故填2.（2013陕西）®AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则ABC的形状为（）A. 锐角三角形B.直角三角形C. 钝角三角形D.不确定解：由已知和正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,即sin（B+Q=sinAsinA,亦即sinA=sinAsinA.因为0<A<tt,所以sinA=1,所以A=2.所以三角形为直角三角形.故选B.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=寸2,b=2,sinB+cosB=寸2,则角A解：sinB+

7、cosB=2,寸2sinB+4=寸2,即sinB+4=1._兀兀_兀乂.B（0,冗）.B+；=；,B=.424abasinB根据正弦正理、皿=sinB，可侍sinA=b12'.a<b,.AvB.A=g.故填&类型一正弦定理的应用ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知AC=90,a+c=寸2b,求C.解：由a+c=寸2b及正弦定理可得sinA+sinO2sinB乂由丁AC=90,B=180(A+C),故cosC+sinC=sinA+sinC=戒sin(A+Q=戒sin(90+2Q=匝sin2(45+Q.,哀sin(45+C)=2戒sin(45+C)cos(45+

8、C),*一1即cos(45+C)=2.乂.。玄Cv90°,.45+C=60°,C=15°.【评析】利用正弦定理将边边关系转化为角角关系，这是解此题的关键.(2012江西)在左ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A=bsin奇+Ccsin；+B=a.r、一_一兀(1) 求证：BC=2；若a=艘，求ABC的面积.-一、一，兀.一兀._解：(1)证明：对bsin4+Ccsin+B=、一兀-一一一兀_a应用正弦正理得sinBsin4+CsinCsin4+B=sinA,即sinB乎sinC+乎cosC一sinC乎sinB+cosB=g2,整理得sinBcosC

9、-sinCcosB=1,即sin(BC)=1.t-一3_Tt由丁B,CC0,4,BC=-.一-3兀(2) LB+C=A=才，乂由(1)知B-C=项2，B=8，O8.a=<2,A=艾，由正弦定理知b=asjnB，4sinA5asinC项=2sin8'c=sinA=2sin8.SzABb2bcsinA=：x2s釐x2si#><2w_：_5兀-兀k兀-兀12.兀1=sinsq=2co专sm§=云sin.=.类型二余弦定理的应用在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且cosBbcosCT2a+c.cosC=a2+b2一苗2ab，将上式代入求B的大小；若b=

10、辰,a+c=4,求ABC的面积.、.a2+c2-b2解：（1）由余弦定理知，cosB=舔一,2accosBb/口=得cosC2a+ca2+c2-b22abb-=2aca2+b2c22a+c整理得a2+c2b2=ac._a2+c2b2ac1.cosB=2ac=20c=2.2-B为二角形的内角，-B=3tt.2将b=而，a+c=4,B=a兀代入b2=32a2+c?2accosB，得13=422ac2acco我兀,3解得ac=3.1.3,3.SzABb2acsinB=4.【评析】根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方

11、程思想在解题过程中的运用.若ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2c2=4,且C=60°,则ab的值为()B. 8-4,3C.1解：由余弦定理得c2=a2+b22abcosC=a2+b2ab,代入(a+b)2c2=4中得(a+b)24(a+b?ab)=4,即3ab=4,-ab=3.故选A.类型三正、余弦定理的综合应用（2013全国新课标n）ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.求B;若b=2,求ABC面积的最大值.解：（1）由已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinB.乂A=兀一（B+Q,故sinA=sin（

12、B+Q=sinBcosC+cosBsinC.由,和CC（0,兀得sinB=cosB.一一.、.it乂B（0,兀）所以B=.12（2）AABC的面积S=ZacsinB=ac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2acco等一cc-4乂a2+c2>ac,故ac一寸2,当且仅当a=c时，等号成立.因此ABC面积的最大值为寸2+1.【评析】（1）化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧；已知边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可以用余弦定理化边后用不等式求最值.试判断三角形ABC的形状.解法一：由正弦定理，得tanAsin2AtanBsin2B

13、，sinAcosBsin2A口口a2sin2AsnBsin2A=sin2B.所以诙未=sn§，即所以2A=2B,或2A+2B=兀，因此A=BTt.一一一，一或A+B=2,从而ABC是等腰二角形成直角三角形.a2sin2A解法二：由正弦正理，得snB，所以tanAsin2AcosBsinA+工十人鼻肺=snB，所以诙=繇，再由正、余弦正a2+c2b22ac理，侍h2ip22E，化间侍(ab)(ab十cab2bc(2013山东)®AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=.9(1)求a,c的值；求sin(AB)的值.解：(1)由余弦定理b

14、2=a2+c22accosB,得b2=(a+c)22ac(1+cosB),乂a+c=6,b=2,cosB=g,所以ac=9,解得a=3,c=3.9b2）=0,即a2=b2或c2=a2+b2.从而ABC是等腰三角形或直角三角形.【评析】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该包等式的边都化为角，然后进行三角函数式的包等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数包等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握.(2)在左ABC中，sinB=寸1cos2B=半,9asinB2.2由正弦正理得sinA=-V=3-因为a=c,所以A为锐角，所以cosA=.1sin2A=耳3

15、因此sin(AB)=sinAcosBcosAsinB=10.：227-类型四判断三角形的形状在三角形ABC中，若tanA：tanB=a2:b2,（2012上海ABC中，若sin2A+sin2B<sin2C,则ABC的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C. 钝角三角形D.不能确定解：在ABC中，.sin12EA/900t3+300,故当t=1时，Smin=10寸3，此时v=捋3=A+sin2B<sin2C,由正弦定理知a2+b2<c2.cosC=a2+b2c22ab<0,即ZC为钝角，ABC为钝角三角形.故选C类型五解三角形应用举例某港口。要将一件重要物品用小艇送到一

16、艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位丁港口O北偏西30°且与该港口相距20nmile的A处，并以30nmile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以vnmile/h的航行速度匀速行驶，经过th与轮船相遇.(1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，贝U小艇航行速度的大小应为多少(2) 假设小艇的最高航行速度只能达到30nmile/h，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为Snmile,贝US=寸900t2+400230t20cos(90°30°)/900

17、t2-600t+4006004000<v<30900-+<9003解得t胃.乂t=|时，v=30.故v=30时，t2取得取小值，且取小值等丁.3此时，在OAB中，有OA=OB=AB=20,故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°,航行速度为30nmile/h,小艇能以最短时间与轮船相遇.解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，乂轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向.遇时小艇的航行距离最小.(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2=400+900t2-22030tcos(90-30°),皿2600400故v2=900-f+T.设小艇与轮船在

18、C处相遇.在RAOAC中，OA20cos30=1球，AC=20sin30=10.乂AC=30t,OOvt,由此可得,153v=Csin(9+30)此时，轮船航行时间t=芸=3,v=拜3=3303.即小艇以30寸3nmile/h的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.(2)假设v=30时，小艇能以最短时间与轮船在D处相遇，此时AD=D0=30t.乂ZOAD=60°,所以AD=D0=0A=20,解得t=2.3据此可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°,航行速度的大小为30nmile/h这样，小艇能以最短时间与轮船相遇.证明如下：如图，由(1)得0010寸3,AO10,10+1

19、0x/3tan。1邮30vcosT乂v<30故sin(0+30)专,从而，300徊90°.由丁0=30时，tan0取得最小值，且最小3值为r.3十Ij10+1ftan览丁是，少0=30时，t=m取30_2得最小值，且最小值为2.【评析】这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解.解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用.在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法.近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一.不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充

20、分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为届丁哪类可解的三角形.本题用几何方法求解也较简便.故OC>AC,且对丁线段AC上任意点P,有0P200AC.而小艇的最高航行速度只能达到30nmile/h，故小艇与轮船不可能在A,C之间(包含C)的任意位置相遇.设ZCOE>0(0<*90°),则在RtACOD中，CA10>/3tanO,OD=10用cos(T由丁从出发到相遇，轮船与小艇所需要的10103tan10'3叱时间分别为t=30和t=焉)，所(2012武汉5月模拟)如图，渔船甲位丁岛屿A的南偏西600方向的B处，且与岛屿

21、A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东a的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.1. 已知两边及其中一边的对角解三角形时，要注意解的情况，谨防漏解.2. 在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系(注意应用A+B+C=兀这个结论)或边边关系，再用三角变换或代数式的包等变(1)求渔船甲的速度；求sina的值.解：(1)依题意，/BAO120°,AB=12,AC=10XM20,在ABC中，由余弦定理知BC2=AB2+AC22ABACcosZBAO122+202一2X12X20Xcos12784,BO28.28所以渔船甲的速度为v=y=14(海里/小形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状.3. 要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°若三内角的正弦值成等差数歹0,则三边也成等差数歹U；内