(整理)matlab实例教程-比较实用.

1、实验一特殊函数与图形一、问题背景与实验目的二、相关函数(命令)及简介三、实验内容四、自己动手一、问题背景与实验目的著名的Riemann函数大家都很熟悉了，但是关于它的图像你是否清楚呢除了最上面那几点，其他都很难画吧你想不想看看下面那些“挤在一起”的点是怎样分布的呢还有几何中的马鞍面、单叶双曲面等是怎样由直线生成的，是不是也想目睹一下呢这些，都离不开绘图.实际上绘图一直是数学中的一种重要手段，借助图形，往往可以化繁为简，使抽象的对象得到明白直观的体现.比如函数的基本性质，一个图形常可以使之一目了然，非常有效.它虽不能代替严格的分析与证明，但在问题的研究过程中，可以帮助研究人员节约相当一部分精力.

2、此外，它还可以使计算、证明、建模等的结果得到更明白易懂的表现，有时，这比科学论证更有说服力.同时，数学的教学与学习过程也离不开绘图.借助直观的图形，常可以使初学者更容易接受新知识.如数学分析中有不少函数，其解析式着实让人望而生畏，即使对其性质作了详尽的分析，还是感到难明就里；但如果能看到它的图形，再配合理论分析，则问题可以迎刃而解.又如在几何的学习中，会遇到大量的曲线与曲面，也离不开图形的配合.传统的手工作图，往往费力耗时，效果也不尽理想计算机恰恰弥补了这个不足，使你可以方便地指定各种视角、比例、明暗，从各个角度进行观察.本实验通过对函数的图形表示和几个曲面(线)图形的介绍，一方面展示它们的特

3、点，另一方面，也将就Matlab软件的作图功能作一个简单介绍.大家将会看到，Matlab的作图功能非常强大.CEEED二、相关函数(命令)及简介1. 平面作图函数：plot,其基本调用形式：plot(x,y,s)以X作为横坐标，y作为纵坐标.s是图形显示属性的设置选项.例如：x=-pi：pi/10：pi；y=sin(x)；plot(x,y,'rh','linewidth',2,rmarkeredgecolorrrmarkerfacecolorg')在使用函数plot时，应当注意到当两个输入量同为向量时，向量x与y必须维数相同，而且必须同是行向量或者同是列

4、向量绘图时，可以制定标记的颜色和大小，也可以用图形属性制定其他线条特征,这些属性包括：指定线条的粗细.指定标记的边缘色指定标记表面的颜色指定标记的大小.linewidthmarkeredgecolormarkerfacecolormarkersize若在一个坐标系中画几个函数，则plot的调用格式如下：plot(xl,yl,si,x2,y2,s2,)2. 空间曲线作图函数：plot3,它与plot相比，只是多了一个维数而已.其调用格式如下：plot3(x,y,z,s).例如：x=0：pi/30：20*pi；y=sin(x):z=cos(x)；plot3(x,y,z)得到三维螺旋线：图23. 空

5、间曲面作图函数：(1) mesh函数.绘制彩色网格面图形.调用格式：mesh(z),mesh(x,y,z)和mesh(x,y,z,c).其中，mesh(x,y,z,c)画出颜色由c指定的三维网格图.若x、y均为向量，则length(x)=n,length(y)=m,Im,n=size(z).(2) surf在矩形区域内显示三维带阴影曲面图.调用格式与mesh类似.(3) ezmesh用符号函数作三维曲面网格图.调用格式：ezmesh(x,y,z)其中X=x(s,t),y=y(s,t),z=z(s,t).画图区域默认为：-2*pi<s<2*pi且-2*pi<t<2*pi.

6、或者用格式：ezmesh(x,y,z,smin,smax,tmin,tmax)(4) ezsurf用符号函数作三维曲面图.调用格式与ezmesh类似.(5) sphere画球体命令.4. meshgrid,调用格式：x,y=meshgrid(m,n),这里的m,n为给定的向量，可以定义网格划分区域和划分方法.矩阵x和矩阵y是网格划分后的数据矩阵.5. 图像的修饰与其他函数：(1) axisequal控制各个坐标轴的分度，使其相等；(2) colormap设置绘图颜色.调用格式：colormap(rgb)其中r,g,b都是0-1之间的数.或者用格式：y=find(条件)例如:输入：a=45781

7、21b=find(a>7)输=346466522541；出：7回colormap(s)s为颜色映像.下面举几个常用的例子:颜色映像相应的颜色系颜色映像相应的颜色系autumn红黄色系hsv色调饱和色系gray线性灰色系hot黑红黄白色系cool青和洋红色系pink柔和色系(3) grid网格函数gridon添加网格.gridoff取消网格(4) find找出符合条件的元素在数组中的位置.调用格式：三、实验内容数学分析中，特别是积分部分，我们接触了不少有趣的函数，由于其中有的不是一一对应的，用上面的方法无法画出它们的图像，这时就只能用参数了.此外还有些图形只能用参数来画，比如空间曲线，在计

8、算机上不接受“两个曲面的交线''这种表示，所以也只能用参数来实现.用参数方式作图的关键在于找出合适的参数表示，尤其是不能有奇点，最好也不要用到开方.所以要找的参数最好是有几何意义的.当然这也不可一概而论,需要多积累经验.1. 利用函数plot在一个坐标系中画以下几个函数图像，要求采用不同颜色、不同线形、不同的符号标记.函数为：”皿(£危=8氾),之二迥(2£),£以0,2力.程序如下：t=0：pi/20：2*pi；x=sin(t)；y=cos(t)；z=sin(2*t)；plot(t,x,'k*',t,y,1-rs*,t,z,1：b

9、o*)图像如下：图32.绘制类似田螺线的一条三维螺线(方程自己设计).程序如下：t=0：1:30；x=2*(cos(t)+t.*sin(t);y=2*(sin(t)t.*cos(t)；z=*t；plot3(x,y,-z)%取-z主要是为了画图看起来更清楚axisequal图像如下：一_sin+、23. 利用函数也顼,绘制一个墨西哥帽子的图形.程序如下：a,b=meshgrid(-8：.5:8)；%先生成一个网格c=sqrt(a.2+b."2)+eps；z=sin(c)./c；mesh(a,b,z)axissquare图像如下：图5思考：这里的eps是什么其作用是什么224. 利用su

10、rf绘制马鞍面图形(函数为:一94).程序如下：xTy=meshgrid(-25：1:25,-25：1:25)；z=x.“2/9-y.”2/4；surf(x,y,z)title。马鞍面)gridoff图像如下：马转354040图6尝试将两个圆环面放在一个图5. 分别用ezmesh和ezsurf各绘制一个圆环面，形界面内，观察它们有什么不同之处.提示：圆环面的方程为(R+尸_&)2+了2=己尺=6,厂二2，而圆环面的参数方程为：x=(R+rcosu)cosv<y=(R+rcosw)sinvz=rsintx,程序参见附录1.图像如下：I=(5+2Gos(u)CQ3W.y°(

11、5t2COtfti)>wM.zx2sin(u)i=G05M.y=co$(u)sinM.s=2w(u)图76. 绘制黎曼函数图形，加深对黎曼函数的理解.说明：黎曼函数的定义为1,当p必正整数，巳为既约分数,Z月£(0,1)y=QQQ|o,当x=Q说无理点，X日M程序参见附录2.图像如下：0.9Q.80.70.60.50.40.30.2图8（一游回一】四、自己动手1. 作出下图所示的三维图形：图9提示：图形为圆环面和球面的组合.2. 作出下图所示的墨西哥帽子及其.剪裁图形:图103. 画出球面、椭球面、双叶双曲面、单叶双曲面.4. 若要求田螺线的一条轴截面的曲边是一条抛物线：二&#

12、176;时子=5z.试重新设计田螺线的参数方程，并画出该田螺线.5. 作出下图所示的马鞍面（颜色为灰色，并有一个标题：“马鞍面"）：马赫面图116. 绘制图8所示的黎曼函数图形，要求分母的最大值月的数值由键盘输入（提示：使用input语句）.（3ED回目录实验二定积分的近似计算一、问题背景与实验目的二、相关函数(命令)及简介三、实验内容1. 矩形法2. 梯形法3. 抛物线法4. 直接应用Matlab命令计算结果四、自己动手一、问题背景与实验目的利用牛顿一莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形.如果这点办不到或者不容易办到，这就

13、有必要考虑近似计算的方法.在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分.本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法.对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用.CZED二、相关函数(命令)及简介1. sum(a):求数组a的和.2. formatlong：长格式，即屏幕显示15位有效数字.(注：由于本实验要比较近似解法和精确求解间的误差，需要更高的精度).3. double()：若输入的是字符则转化为相应的ASCII码；若输入的是整型数值则转化为相应的实型数值.4

14、. quad():抛物线法求数值积分.格式：quad(fun,a,b)，注意此处的fun是函数，并且为数值形式的，所以使用*、/、"等运算时要在其前加上小数点，即.*、./、.”等.例：Q=quad('1./(x.*32*x5)*,0,2);5. trapz():梯形法求数值积分.格式：trapz(x,y)其中x为带有步长的积分区间；y为数值形式的运算(相当于上面介绍的函数fun)Lsin(i)d了x=0:pi/100：pi；y=sin(x)；trapz(x,y)6. dblquadO:抛物线法求二重数值积分.格式：dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,yma

15、x),fun可以用inline定义，也可以通过某个函数文件的句柄传递.例1:QI=dblquad(iniine('y*sin(x)'),pi,2*pi,0,pi)顺便计算下面的Q2,通过计算，比较Q1与Q2结果(或加上手工验算)，找出积分变量x、y的上下限的函数代入方法.Q2=dblquad(iniine('y*sin(x)'),0,pi,pi,2*pi)例2：Q3=dblquad(integrnd,pi,2*pi,0,pi)这时必须存在一个函数文件：functionz=integrnd(x,y)z=y*sin(x)；7. fprintf(文件地址，格式，写入的

16、变量)：把数据写入指定文件.例：x=0：.1：1；y=x；exp(x)；fid=fopenC','w')；%打开文件fprintf(fid,'%n',y):%写入fclose(fid)%关闭文件8. syms变量1变量2：定义变量为符号.9. sym(r表达式')：将表达式定义为符号.解释：Matlab中的符号运算事实上是借用了Maple的软件包，所以当在Matlab中要对符号进行运算时，必须先把要用到的变量定义为符号.10. int(f,v,a,b)：求f关于v积分，积分区间由a到b.11. subs(f,'x',a)：将a的值

17、赋给符号表达式f中的x,并计算出值.若简单地使用subs(f),则将f的所有符号变量用可能的数值代入，并计算出值.C3ED三、实验内容1. 矩形法根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即(罚血=2了怎)2-1在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法.不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度.r1d=针对不同幻的取法，计算结果会有不同，我们以为例(取月=100),(1) 左点法：对等分区间b-a.,x0=<xL<-<Xj=3<=D在区间E.15】上取左端点，即取身二工1di_汗理论

18、值J°W"4,此时计算的相对误差«0.0031780.787S9399673078-TT/4（2）右点法：同（1）中划分区间，在区间上取右端点，即取=两,r1dr»1。村舀火）"1di_汗理论值J°W"4,此时计算的相对误差0.0031880.78289399673078-tt/4_无-1+无（3）中点法：同（1）中划分区间，在区间E1以上取中点，即取厂rld*»。2刊y,r1di_汗理论值JoW"4,此时计算的相对误差0.78540024673078-yr/4宓2.653x1/如果在分割的每个小区间上采

19、用一次或二次多项式来近似代替被积函数，那么可以期望得到比矩形法效果好得多的近似计算公式.下面介绍的梯形法和抛物线法就是这一指导思想的产物.CSEED2. 梯形法等分区间b-a.,土b-ax0=iJ<xL<<xi=«+1<-<=oAx=相应函数值为曲线=/w±相应的点为%，二，月（4=（诳，乂”=）将曲线的每一段弧再用过点当】，喜的弦再/（线性函数）来代替，这使得每个【否.1/上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为21=12/9于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，J：J（g«立叫顼"x房=等立g+M）iJZi.lrj

20、女«土号+巧+-+四_1+专）称此式为梯形公式.r1di仍用Joi+7的近似计算为例，取火二io。，L1dzb-awH+?nr1di_汗理论值J°W"4,此时计算的相对误差宓5.305x10、0.78539399673078形4很显然，这个误差要比简单的矩形左点法和右点法的计算误差小得多.CJ3. 抛物线法由梯形法求近似值，当=了（1）为凹曲线时，它就偏小；当E6为凸曲线时，它就偏大.若每段改用与它凸性相接近的抛物线来近似时，就可减少上述缺点，这就是抛物线法.将积分区间S，如作2今等分，分点依次为b-a.,&b-axQ=a<xi=a+i<-&l

21、t;x2?z=oAx=2«，家，对应函数值为凡，入，.>以（M=/（吗）J=0，L，2v）,曲线上相应点为%，*，禹R（片=（耳少）】=。，1，.，2月）.现把区间【如气】上的曲线段y=用通过三点玲冷。），*（知/）,g，&的抛物线来近似代替，然后求函数力&）从到勺的定积分：|*；丹（对故二j：（技+&+"二号（"_温）+§（无!2_濯）+心2Fo）码°（或+A0+*）+（:；+禺+X）+a（凡+冲尸+2烦。+®）+4x6_冲+花由于2,代入上式整理后得&二_（必专+廖°+/）+（S；+

22、座2+/）+4（阪+廓"/）心一瓦/.、ba,.、=一;一（此+4乃+方=Qo+4乃+必2）66«xi同样也有r勺/x<b-a,一、J知=2n-2+42«-1+/2»）Mi6n将这"个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值：AXX2%LJ3）d件ZJ；月dx=Z-7S-2+4%一1+心）Li-16刀，即r对7|1+/2*+431+乃.+乃3）+202+八+.+/淑-2）这就是抛物线法公式，也称为辛卜生（Simpson）公式.r1di仍用"1十了的近似计算为例，取方二100,：T舟f片+/2«+401+尤+巧1）+2。

23、2+耳+乃1）J°1+x6«一91di_汗理论值Joi+?4,此时计算的相对误差二四竺竺竺*型点.827妇"珂4厂议回一?4.直接应用Matlab命令计算结果r1dx(1) 数值计算（符号求积分）（抛物线法求数值积分）方法1：int('1/(l+x"2)','x',0,1)方法2：quadC1./(1+x.*2)',0,1)方法3：x=0：:1:y=l./(1+x.”2)；trapz(x,y)(梯形法求数值积分)数值计算厂虬2钮方法1：int(int('x+y'2','y',

24、-1,1),'x',0,2)(符号求积分)方法2：dblquad(inline('x+y"2'),0,2,-1,1)(抛物线法二重数值积分)U取回r四、自己动手r1di1. 实现实验内容中的例子，即分别采用矩形法、梯形法、抛物线法计算取«=253,并比较三种方法的精确程度.r2dx2. 分别用梯形法与抛物线法，计算J】；，取活=120.并尝试直接使用函数trapz()xquad。进行计算求解，比较结果的差异.f+8sinx<dx圣爪h丹上你刀-°才(注意：可以运用trapz().quad。或附录程序求解吗为什么)r1&

25、1. 将J的近似计算结果与Matlab中各命令的计算结果相比较，试猜测Matlab中的数值积分命令最可能采用了哪一种近似计算方法并找出其他例子支持你的观点.5. 通过整个实验内容及练习，你能否作出一些理论上的小结，即针对什么类型的函数(具有某种单调特性或凹凸特性)，用某种近似计算方法所得结果更接近于实际值6. 学习的程序设计方法，尝试用函数sum改写附录1和附录3的程序，避免for循环.(EED上一页回目录下一页实验三求代数方程的近似根(解)一、问题背景和实验目的二、相关函数(命令)及简介三、实验内容四、自己动手一、问题背景和实验目的求代数方程/W=o的根是最常见的数学问题之一(这里称为代数方

26、程，主要是想和后面的微分方程区别开.为简明起见，在本实验的以下叙述中，把代数方程简称为方程),当/(消是一次多项式时，称/8)二°为线性方程，否则称之为非线性方程.当/W=0是非线性方程时，由于了(K)的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求.本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法，要求在使用这些方法前先确定求根区间或给出某根的近似值在实际问题抽象出的数学模型中，夫。可以根据物理背景确定；也可根据y=/(、)的草图等方法确定，还可用对分法、迭代法以及牛顿切线法大致确定根的分布情况.通过本实

27、验希望你能：1. 了解对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程；2. 求代数方程(组)的解.OBED二、相关函数(命令)及简介1. abs():求绝对值函数2. diff(f)：对独立变量求微分，f为符号表达式.diff(f,W'):对变量a求微分，f为符号表达式.diff(f,'a',n):对变量a求n次微分，f为符号表达式.例如：symsxtdiff(sin(x2)*t't',6)ans=720*sin(x"2)3. roots(c(l),c(2),，c(n+l)：求解多项式勺丫+W+5的所有根.例如：求解：?-6?-72x-27=

28、0.p=1-6-72-27；r=roots(p)4. solve。表达式')：求表达式的解.solve(F2*sin(x)=11)ans=l/6*pi5. 1insolve(A,b):求线性方程组A*x=b的解.例如：A=90；-18；b=l；2;1insolve(Arb)ans=1/919/726. fzero(fun,xO):在xO附近求fun的解.其中fun为一个定义的函数,用“函数名"方式进行调用.例如：fzero(sint3)ans=7. subs(f,'xa)：将a的值赋给符号表达式f中的x,并计算出值.例如：subs('x"2'

29、,'x',2)ans=4J区回】三、实验内容、首先，我们介绍几种与求根有关的方法：1.对分法对分法思想：将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段对分，依此类推，直到满足精度为止.对分法适用于求有根区间内的单实根或奇重实根.设，(对在"上连续，即加0,/©0或加0,则根据连续函数的介值定理，在(。日)内至少存在一点使/(G=o.下面的方法可以求出该根：(1) 令,计算/(%);(2) 若/(%)二°,则是/W=°的根，停止计算，输出结果xf若/。)/(扃)0,则令的=,灯=%,若/0)/(气)。,则令/二而，a+&口；瓦.，有、

30、兔以及相应的我=2.(3) 若顷&)(8为预先给定的精度要求)，退出计算，输出结果x_+如反之，返回,重复(1),(2),(3).以上方法可得到每次缩小一半的区间序列【印择，在(印k)中含有方程的根.x_+版当区间长九-气很小时，取其中点*一2为根的近似值，显然有区-，|弓悠_%）冷（焰_%）二.二+（8_"）以上公式可用于估计对分次数分析以上过程不难知道，对分法的收敛速度与公比为分的等比级数相同.由于2心=1024,可知大约对分10次，近似根的精度可提高三位小数.对分法的收敛速度较慢，它常用来试探实根的分布区间，或求根的近似值.2. 迭代法1）迭代法的基本思想：由方程/W=

31、o构造一个等价方程x=。（工）从某个近似根沔出发，令砍舟=。（久#）,先=0J2可得序列若矽只要。S）连续,即这种方法称为迭代法.收敛，即litn=/可知，虹）的极限工是工=怜的根，也就是=o的根.当然，若和发散，迭代法就失败.以下给出迭代过程5=临收敛的一些判别方法：定义：如果根/的某个邻域阡舟京中，使对任意的沔，迭代过程Eg,*二°，L2收敛，则称迭代过程在/附近局部收敛.定理1：设？,在疽的某个邻域G内伊（町连续，并且I，W|-<1,agG,则对任何海eC,由迭代决定的序列和）收敛于f.定理2：条件同定理1,则云工；g而|】一。；£二I标1-与|1一4定理3：已

32、知方程I"且（1）对任意的矛日。*,有犹工）日小句.（2）对任意的般的切，有伊（划亦1,则对任意的知日“四，迭代-/<优一无J生成的序列（。）收敛于的根工'，且1一。.以上给出的收敛定理中的条件要严格验证都较困难，实用时常用以下不严格的标准：当根区间名句较小，且对某一而日名切，威胡明显小于1时，则迭代收敛（参见附录3）.2）迭代法的加速：a）松弛法：若始）与双同是/的近似值，则队二（1-吨）4+%穴位）是两个近似值的加权平均，其中气称为权重，现通过确定叫看能否得到加速.迭代方程是:A<N*）其中二（1一3）人+0。（工），令a3）=i0+/#（q=o,试确定111

33、-吠（政当。'昌时，有1-伊（对，即当1-矿（成，1-矿（矽时，可望获得较好的加速效果，于是有松弛法：无膈二（1-咬）4+牝穴位）,1务=1-心）松弛法的加速效果是明显的（见附录4）,甚至不收敛的迭代函数经加速后也能获得收敛.b）Aitken方法：松弛法要先计算夺3,在使用中有时不方便，为此发展出以下的Aitken公式：=敏3，：是它的根，沔是其近似根.设工1=0（%）,&=少（工1）,因为X*=X2+x-X2=X2+（/）-=X2+）（/-X!）,互一芍-做瓦）一例而）用差商气一ZL"X0近似代替矿怂），有解出得_E一工11A7勺x2-2xx4-x0由此得出公式泉&

34、quot;二4怎）；ft过）-2x?）+x兑k=0,1,2,这就是Aitken公式，它的加速效果也是十分明显的，它同样可使不收敛的迭代格式获得收敛（见附录5）.3. 牛顿（Newton）法（牛顿切线法）1）牛顿法的基本思想：/w=o是非线性方程，一般较难解决，多采用线性化方法./W=g+/S）3F+号。-寸记：跆）=/）+/3）。-%）日（力是一次多项式，用FW=0作为了（#二°的近似方程.户=/（%）+/W%）=°的解为-必。）'0g（广（琅部）记为沔，一般地，记队=川一广叫）SQ12即为牛顿法公式.2）牛顿法的收敛速度：对牛顿法，迭代形式为:x=x-心1/

35、71;'-/W广3)卑/_7_Z一/W2/W2注意分子上的，（？）=°,所以当时，赦（f）=o,牛顿法至少是二阶收敛的，而在重根附近，牛顿法是线性收敛的.牛顿法的缺点是：（。对重根收敛很慢；（2）对初值要求较严，要求人。相当接近真值因此，常用其他方法确定初值，再用牛顿法提高精度.4. 求方程根(解)的其它方法(1) solve(rx3-3*x+l=0r)(2) roots(10-31)(3) fzero('x"33*x+l',-2)(4) fzero('x"3-3*x+l',(5) fzeroCx'3-3*x+l&#

36、39;,(6) linsolve(l,2,3；4,5,6；7,8,0,1,2,3')体会一下，(2)口(5)用了上述1曰3中的哪一种方法以下是本实验中的几个具体的实验，详细的程序清单参见附录.具体实验1:对分法先作图观察方程：寸-孙+1=0的实根的分布区间，再利用对分法在这些区间上分别求出根的近似值.输入以下命令，可得/(对的图象：f='x"3-3*x+l'；g='0F；ezplot(f,-4,4):holdon；ezplot(g,-4,4)；%目的是回出直线y=0,即x轴gridon；axis(-44-55)；holdoff请填写下表:实根的分布区间该区间上根的近似值在某区间上求根的近似值的对分法程序参见附录1.具体实验2：普通迭代法采用迭代过程：工小=残从)求方程W-3x+l=。在附近的根，精确到第4位小数.P+1X构造等价方程：3_才：+1用迭代公式：队L-