(整理)多元函数微积分练习题

1、练习题多元函数微分学部分练习题11 ，一、1求函数z =,+ 的定义域x y x - y2 已知 f (x y,xy) =x2 + y2 5xy ,求3计算下列极限ln(x ey)(1) lim .-(x，y) U0) x2 y23xy(3) lim(X,y)(0,0) xy 4 _22 22xy x y lim 7(x,y)(2,1) x2 . y24证明极限lim不存在.(x,y)(0,0) x . y. x V 5指出函数f (x, y) = 2的间断点.x -2yf (x, v).x2 y2(2) lim-T-T(x,y)(二二)x ：； y1(4) lim (1 + xy)x(x,y

2、) 乂0,1)'22、sin2(x y )(6)lim (x,y) >(0,0)x2 y26计算下列函数的偏导数=.ln(x2y)= x2f (x, V)=x4 v4 -3xy 2y二 e2x y cos(3x2 y)二 1 x2y2 z27计算下列函数的二阶偏导数4-2(1) z = x +3xy - y(1) z(3) z(5) zz(9) U(2)(4)(6)(8)(10)z =(1 -xy)xxz 二：(xy)z = ln(x2 y2)z =(1 xy)yx2y20 sin tdt(2) z = yln(xy)/ 、xy .(3) z =e sin y2，、(4) z =

3、x f(x,y),_、一2(5) z = f (xy, x )8求下列函数的全微分xy1(1)z=xe(2)z =-2x y(3)z=arcsinxy(4)z = xy +yf(x,y)xy 29 设 f (x,y) = ( sint dt ,求 df . 122_ .二 Z 二 Z10 (1) z=u v -uv ,其中 u = xcosy, v = ysinx,求一, 一：:x；:yjz? ；:yz=f (x, y, z) = arctan(x + y + z),其中 z = cos(xy),求一；:x16求函数u(3)u -v=e ，u =sint,2 dz v =t ,-dt(4)f(

4、-,xy22 zy )，求， ：:x.:zy(5)=f (2x y) + g(x, xy),求 二 x11 (1)+ 2xy ln( x + y) = 0 ,求dydx(2)(3)x y2z2 = 1dx , dzdydz12 求曲线13求曲线14求曲面15求函数z 二t在点t =1的切线及法平面方程.y2=6 ,在点M°(1,-2,1)处的切线与法平面方程z+xy =3在点M (2,1,0)处的切平面和法线方程22=x +(y1)的极值.17求函数u =xy 用sin(x+y +z)dxdydz,其中G是由三个坐标面与平面x十y+z =一所围成的立 - 2z3在曲面x2 +y2 +

5、 z2 3xyz = 0上点P(1,1,1)处，沿曲面在该点朝上的 法线方向的方向导数.22218 设 f(x,y,z)=x +y +z +xyx + y+3z,求 gradf (1,2,3).二多元函数积分学部分练习题1、改变下列二次积分的积分次序1 11 y(1)0 dx L2 f (x, y)dy(2)10dyjh f(x, y)dx2 y423 3) (0dyf2 f (x, y)dx + J2dy R f (x, y)dx 222、计算下列二重积分1 一(1) JJxyd。，其中区域 D是曲线y=, x = 2及y = x所围成的区域.Dx(2) JJ(x+y)d。，其中区域 D是曲

6、线y2 = 4x及y = x所围成的区域. D(3)H(x+y)d。，其中区域 D： x + yW1. D(4) J0cos(x+y)dcr,其中区域 D是曲线y = x, y = 0及x =所围成的区域.D222(5) He T da,其中积分区域 D为中心在原点，半径为 a的圆周所围成的闭区域 D(6) . Jx2 + y2 d。，其中积分区域为 D ： x2 + y2 之 1, x2 + y2W2x, yt0. D23、设函数f (x,y)连续， 且 f (x, y) = xy + JJ f (x, y)dxdy ,其中 D 是由 y = 0 , y = xD和x=1所围成的区域.f(.

7、 x2y2)d:4、设函数f(u)具有连续导数，且f(0) =0,f'(0)=3,求四 x24y2*2 7Tt35计算下列三重积分体;2222 (2)计算Hjzdxdydz,其中G是由曲面z = q2-x -y 以及z = x +y所围成的空 Q 间形体.222(3)计算积分 用xyzdxdydz,其中C是球面x + y +z <4在第一卦PM的部分.6试计算立体 建由曲面z =8x2 y2及z= x2+y2所围成的体积.7 计算 JJJezdxdydz,其中 Q 是球面 x2 + y2 + z2 < 1.8计算下列曲线积分222(1) fLxydS,其中L为圆x +y =

8、a在第一象限内的部分；(2) Jj(x2 + y2 +z2)dS,其中是球面 x2 + y2 + z2 = 9与平面 x + y + z = 0 的交线.(3)L(1+y3)dx(2x + y)dy ,其中 L 是曲线 y3=x2 上从点 O(0,0)到点 A(1,1)的一段 弧；(4)计算 y ydx + xdy,其中L为圆周x = r cos , y = r sin日上由日=0到日=2兀的一 段弧.(5)在过点O(0,0)和A(n,0)的曲线族y = asin x(a > 0)中求一条直线L ,使沿该曲线到点。到点A的积分(1 + y3)dx +(2x + y)dy的值最小.(6)计

9、算(-dS ,其中工为球面x2 + y2 +z2 =4被平面z = 1截出的上半部分 三z(7)计算口(x2 + y2 +z2)dS ,其中工为锥面z2 = x2 + y2介于平面z = 0与z = 1之间的 £部分.z(8)计算z=1和z=2之间部H e dxdy ,其中工是锥面 三 x2 y2分的外侧.(9)计算 I 二1x3dydz + y3dzdx + z3dxdy,其中工为以点 A(1,0,0) , B(0,1,0) , C(0,0,1)为顶点的三角形的上侧.12、 2z9求曲线：x=a,y = at,z= at(0Wt41,a a 0)的质量，设其线密度为p =?一10

10、(1)设L为取正向的圆周 x2+y2 =9,计算曲线积分qL(2xy 2y)dx + (x2 4x)dy 的值.(2 )利用 Stokes公式计算曲线积分I =匚(ydx + zdy + xdz ,其中L是球面2222 , 一一 x +y +z =a与平面x + y+z = 0的交线，由z轴的正向看去，圆周沿逆时针万向.2(3)计算对坐标的曲线积分Jxy+ x)dx + x-dy ,其中L为x2 + y2 = R2的第一象限由(0,R)到(R,0)的一段弧.(4)已知邛(冗)=1 ,试确定 巴x),使曲线积分sin xP(x)、dx+q'(x)dy Ax与路径无关，并求当 A, B分别为(1,0), 5,兀)时线积分的值(5)计算I