(完整word版)三角函数知识点归纳

1、三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1.任意角(1)角的概念的推广按旋转方向不同分为正角、负角、零角.正角：按逆时针方向旋转形成的角任意角J负角：按顺时针方向旋转形成的角、零角：不作任何旋转形成的角按终边位置不同分为象限角和轴线角.角口的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称a为第几象限角.第一象限角的集合为(a k 360c <Of <k 360。十90,kw z第二象限角的集合为U k .360，+90噎卜360，+180°,k。第三象限角的集合为 Q k 360C+180S <« <k 360C +270：

2、,k =第四象限角的集合为 Q k 360C+270C <k 360'+3601，kw 2终边在x轴上的角的集合为3口 =k 180',k w/终边在y轴上的角的集合为 何。=k 180，+901k亡刀终边在坐标轴上的角的集合为= k 90，,kwz(2)终边与角“相同的角可写成 叶k 360 (k Z).终边与角c(相同的角的集合为 邛世=k 360+%Y 力(3)弧度制1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度与角度的换算：360° =红弧度；180° =工弧度.半径为r的圆的圆心角豆所对弧白长为1,则角a的弧度数的绝对值是=

3、L r若扇形的圆心角为« (口为弧度制),半径为r ,弧长为1 ,周长为C ,面积为S ,则1 = r 口| , C = 2r +1 ,1 12S= - 1r = a r . 222 .任意角的三角函数定义设a是一个任意角，角 a的终边上任意一点 P(x, y),它与原点的距离为r(r =Jx2 + y2 ), 那么角a的正弦、余弦、 正切分别是：sinhy, cos a= x，tan a= y.(三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三 正切、四余弦)3 .特殊角的三角函数值I、角度 函030456090120135150180270360角a的弧度0兀/6兀/4兀/

4、3兀/22兀/33兀/45兀/6兀3兀/22兀sina01/2V2/2V3/21V3/2V2/21/20-10cosa1V3/2V2/21/20-1/2“2/2“3/2-101tana0V3/31V3-V3-1“3/300、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1 .同角三角函数的基本关系平方关系：sin2升cos2a= 1 ；(在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号)(2)商数关系：10sq = tan a.(3)倒数关系：tanct cotot =12 .诱导公式公式一：sin( a+ 2k 兀4 sin a, cos(a+ 2k 兀) cos_a, tan(a

5、+2kn) = tanot 其中 kCZ.公式二： sin( 击 o) = sin a, cos( d- o)= cos a, tan(# o) = tan o.公式三：sin(右 o) = sin a, cos(广 o) = cos a, tan(n -a )=tanct .公式四:sin( & = sin % cos( o)= cos a, tan (-« 尸-tana .其中的奇、偶是指 万的奇数 兀. .诱导公式可概括为 k 2±a的各三角函数值的化简公式.口诀：奇变偶不变，符号看象限.倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍，则函数名称要变(正弦

6、变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍,则函数名称不变，符号看象限是指：把a看成锐角时，根据kT±a在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结2果符号.B.方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为，奇变偶不变符号看象限:2、四种方法在求一值与化简时，常用方法有；弦切互化法;主要利用公式上an,三.宜化成正一余弦，一cos.Oy(2)和一积转换法一:利 用(sin 一 teos _92一三1空sin 一 (cos 一。的关系进行变形一转化.(sin a +cosa > .sin« -cos久，sina cos« 三一个式壬知二国求二)(3)巧用 1” 的变换：1

7、 = sin2 升 cos = sin - =tan2a sin 工; bcos：(4)齐次式化切法：已知tana=k,则a tan 工二 b ak bmsin ： ncos:mtan.工: n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法(如 y=sinx与y = cosx的周期是n)o3会判断三角函数奇偶性4会求三角函数单调区间5知道三角函数图像的对称中心，对称轴6 知道 y = Asin(6x + 中)，y = Acos(x + 邛)，y = Atan(cox + 平)的简单性质(一) 知识要点梳理1、正弦函数和余弦函

8、数的图象：正弦函数y=sinx和余弦函数y = cosx图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别、，八二3 二一- 为0,一,冗，一,2兀的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。222、正弦函数y=sinx(xWR)、余弦函数y = cosx(x w R)的性质：(1)定义域：都是R。值域：都是1-1,1,3 二对y =sin x ,当x = 2kn + k = Z 时，y取最大值1；当x = 2k + k匚Z 时，y取最小值一1；22对y=cosx,当x = 2kn(kWZ )时，y取最大值1,当x = 2kn +n (k w Z )时，y取最小值一

9、1。(3)周期性：y=sinx, y = cosx的最小正周期都是 2n ；(4)奇偶性与对称性：正弦函数y =sinx(xw R)是奇函数，对称中心是 (knQ'kWZ )，对称轴是直线x = kn+土(kZ);2( n 、余弦函数y =cosx(x w R)是偶函数，对称中心是.内+ ,0 (kZ),对称轴是直线 x= kn (k w Z );(正(余)2弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点)。(5)单调性：y = sin x仕 一一 2k 二，_ 2-2k- k 2Z件单调递增，在j(+2kn,3 + 2kn(kwZ )单调递减;y =

10、cosx在I-H +2k%2kn】(k w Z )上单调递增，在2kn,2kn十n】(k w Z )上单调递减。特别提醒，别忘了 kw Z !3、正切函数y=tanx的图象和性质：(1)定义域：x | x ¥ 工+kn, k w Z。2(2)值域是R,无最大值也无最小值；(3)奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,0 keZ ),特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一2类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。1( k s Z )内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性(4)单调性：正切函数在开区间 1+kn:, +

11、kn224、正弦、余弦、正切函数的图像和性质二二2数y =sin xy =cosxy = tanx图象yL/ x 22 Jij ykjJJV V00r Ajy J定义域RR兀、4xx#kn +,kwZ 5I2J值域1-1,11-1,1R最值当xymax(Z= 2kn +： (k wZ )时，=1 ;当 x = 2k71 -2工)时，ymin = -1 -当 x =2kn(kZ )时,ymax = 1 ；当 x = 2kn 十几(k)时，ymm“1.既无:最大值也无:最小值周期性2元2n冗奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在卜(k-产(k-n:n -2kn - ,2kn + L22 J工)上是增函数

12、；在,3 _, 3n 1n+ ,2内+22 J工)上是减函数.在3冗-n,2knI(kWZ )上是 增函数；在【2kn,2kn +n1 (YZ )上是减函数.在.kn 一一 , kH +一122)(kZ )上是增函数.对称性对称中心(kn,0 X kwZ ) 对称轴x = kn +(kw工)对称中心E +万,0 (k w Z ) 对称轴x = kn(kwZ )对称中心fk- ,0 j（ k Z ）无对称轴5、研究函数y = Asin（«>x +中）性质的方法：类比于研究y=sinx的性质，只需将y = Asin x +中）中的切x +中看成y =sin x中的x。函数y= As

13、in （ cox+中）（A>0,0）的性质。（1）定义域：R（2）值域：-A, A（3）周期性：T =2二 I - I2 二f （x） = Asin（cox +中）和f （x） = Acos（cox +中）的取小正周期都是 T=。I' If （x） =Atan（ox +中）的最小正周期都是 T =工。I，I（4）单调性：函数 y=Asin （®x+中）（A>0, 8 > 0）的JJT单调增区间可由 2k n 二w ox+中w 2kn 十二，kCz解得；3单调减区间可由 2k n + w gx+中w 2k n + , k C z斛仔。在求y = Asin（eo

14、x +中）的单调区间时，要特别注意A和0的符号，通过诱导公式先将c化正。如函数y =sin（ 2x +工）的递减区间是 3（答： 一2十期'行十时jZ）y=一=sin所以求y的递减区间即是求吕如（2工+擀）的递增区间，由_ F 2Ajtt嗅 2x1K + 2痴上士 N 得7T37r7T377_3+加T=比 +而 E Z ,所以y的递减区间是一行+ 7y + kr伏三Z）四、函数y =Asin（cex十平）的图像和二角函数模型的简单应用一、 知识要点1、几个物理量：振幅：A ;周期：T =竺；频率：f=1 = £_；相位：（ox+9；初相：中. 22 2 二2、函数y =Asi

15、n（cox十邛）表达式的确定：A由最值确定；8由周期确定；中由图象上的特殊点确定.函数y =Asin（cox+邛）+B ,当x =x1时，取得最小值为ymin ；当x =x2时，取得最大值为ymax ,则1 _1ym ax y min 一 ymax y min x2 x1 x1 x22 ,2,23 二3、函数y =Asin（ox+中）图象的回法： 五点法 设 X =0义+中，令X = 0,一,江，,2冗求出相应的x值,229计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。4、函数y= sinx的图象经变换可得到 y = Asin（6x +中）（口0）的图象y=sinx*

16、 y=sinx横坐标ry伸（缩）_1倍埔左（右）平移= sin x左（右）伸（缩）A倍平移0y =sin(cox + 91) 岁| 标 ，伸(缩)A倍y = Asin x左（右）平移但横'标y = sin （ox +中） 纵坐标伸（缩），倍伸（缩）A倍0 y =Asin x :»y =sin x伸(缩)A 赤 y.inxT)纵坐标横坐标,一中，、伸（缩）一倍纵坐标y、= Asinx 伸（缩）Ay=sinx横坐标A y = Asin x-1 、伸（缩）L倍0左（右）平移一co左（右）y = Asin（x +中） 横坐标）伸（缩）1倍co5、函数y = Asin（cox +中）+

17、b的图象与y=sinx图象间的关系：函数y =sin x的图象向左（中0）或向右（邛0） 1 一.平移|中|个单位得y =sin （x +邛）的图象；函数 y =sin（x +平）图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的一，得到函数y =sin（ox +中）的图象；函数y=sin（sx+中）图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数y = Asin（cox +邛）的图象；函数 y = Asin（切x +平）图象向上（b0）或向下（b0）平移|b|个单位，得到 y = Asin （cox +中）+b 的图象。,_ , 邛，、要特别注意，若由y =sin（©x ）得到y=sin（ox+中

18、）的图象，则向左或向右平移应平移| |个单位，如要得到函数y=sin（2x：）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）3（A）向左平移 3个单位 （B）向右平移3个单位（C）向左平移6个单位 （D）向右平移6个单位6、函数y= Acos （sx+*和y=Atan （ox+叼的性质和图象的变换与y= Asin （ccx+中）类似。三角色等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：(1) cos(a + c 户 cos久 cosP sin a sin 口 ； cos a B ) = cost cosP +sina sin P ； sin(a + P )=sina cosB+cosasin 口 ；

19、 sin(a - B )=sina cos口-cosa sin 口 ； tan(口 十口)=匕仪 tan： 0( tan2+tanP =tan("+P XltantanP )；1 - tan 二 tan -tan i："tan 二 一tan -1 tan 二 tan !(tana -tanP =tan(a -P /l + tana tanP).如 tan20o +tan40o + V3tan20o tan40o =；(答案：V3 )2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：22、25（答案：5 ） sin2a =2sinot coset . =1±sin2a=sin a

20、+ cos a ± 2sin a cosa = (sina ± cosa)如 ©。一会 + cos212 + cos cosy2 的值等于 2 222 cos2 二二 cos-sin 二二2cos 二一1 二1 一2sin 二22二升帚公式 1 +cos2o( =2cos a,1 -cos2a =2sin a.21 -cos2：sin ;二2一、21 cos 2：二降帚公式cos u =,2tan 2 二二2 tan ;2, _ 21 - tan3、二弦归一二把两个三角函数的和或差化为一个三角函数:asinH +bcos!9 = Ja2 +b2 sin(日 + 牛

21、),其中 tan邛=-. a4、三角变换时运算化简的过程中运用较多的变换，灵活运用三角公式，掌握运算化简的方法.常用的方法技巧如下： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补, 互余的关系，寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如：ototot2a是U的二倍； 纲 是2c(的二倍；a是一的二倍； 一是一的二倍；224JTJI 15o =45。-30o=60o45°；问：sin 二=； cos =；1212 a =(ct + P) _ P ；+ct =- -(- -a); 2汽=(ct + P )十

22、(ct 口)=(二十a ) J a)；等等.42444.c 2n 1 1 一. n 、3如1 tan(豆 + P )= ,tan . P - 1二一，则 tan | 口 + J= .(答案： 一)5l4)4l4j22c3 兀,c cca 3< Tt, 2 V a+ 3< 2 为 则 cos2 a=,cos2 3=一 44兀2右 cos( a+ =, cos( a 3 = £ ,且 J <552（答案：275, 1）,sin 二 cos：:2 -：_（答案:3已知=1,tan 一 口)=,则 tan( P -2()=1 -cos2=3（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦,变