(完整word版)全等三角形专题：构造全等三角形方法总结

1、专题：构造全等三角形利用三角形的中线来构造全等三角形（倍长中线法）倍长中线法：即把中线延长一倍，来构造全等三角形。1、如图1,在 ABN,八或中线，BE交ADT点F,且AE= EF试说明线段AC与BF相等的理由.简析 由于八比中线，于是可延长 AD到G使DG= AD连结BG则在，C丽 AGBD, AD= GD Z AD（C G GDB CD= BD 所以4 AC隹 GBD（SAS , 所以 AC= GB / CA屈 / G,而 AE= EF,所以/ CAD= / AFEB又 / AFE = /BFG 所以/ BFG= / G 所以 BF= BG 所以 AC= BF.说明 要说明线段或角相等，通

2、常的思路是说明它们所在的两个三角形全等，而遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形.利用三角形的角平分线来构造全等三角形法一：如图，在 ABC中，AD平分/ BAC。在 AB上截取 AE=AC ,连结 DE。（可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。戴氏教育集团6努力+勤奋+信心=成功EACD, /AED=/C, /ADE=/ADQ法二：如图，在 ABC中，AD平分/ BAC。延长 AC至U F ,使 AF=AB ,连结 DF。（可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。）BD=FD , ZB=ZFt ZADB=ZADFo法三：在 ABC中，AD平

3、分/ BAC。作DM，AB于M , DN ±AC于N。（可以利用角平分线所在直线作对称轴.翻折三角形来构造全等三角形）DM=DN , AM=AN, NADJVl=NANDnAD=CD ,求证：/法一：证明：在 BC上截取BE,使BE=AB ,连结DE。 BD是/ABC的角平分线（已知）./ 1 = /2 （角平分线定义）在4ABD和4EBD中法二：延长BA到F,使 BD 是/ ABCBF=BC ,连结 DF。的角平分线（已知）AB=EB （已知）/ 1 = /2 （已证）BD=BD （公共边） A ABD EBD （S.A.S）/A = /3 （全等三角形的对应角相等）./ 1 =

4、/2 （角平分线定义） 在 BFD和 BCD中BF=BC （已知）/1=/2 （已证）BD=BD （公共边）A BFDA BCD （S.A.S）/F=/C （全等三角形的对应角相等AD=DE （全等三角形的对应边相等）AD=CD （已知）,AD=DE （已证）.DE=DC （等量代换）./ 4=/C （等边对等角） /3+ 24=180°（平角定义），/A = / 3 （已证）Z A+ /C=180° （等量代换）DF=DC （全等三角形的对应边相等）AD=CD （已知）,DF=DC （已证）DF=AD （等量代换）4=/ F （等边对等角） / F=/ C （已证）./

5、4=/C （等量代换） /3+ Z 4=180° （平角定义）Z A+ /C= 180° （等量代换）DM=DN ）（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证2、已知：如图，在四边形 ABCD中，BD是Z ABC的角平分线, A+/C=180法三：作 DM，BC于M , DN，BA交BA的延长线于 N。 BD是/ABC的角平分线（已知）./ 1 = /2 （角平分线定义）DN ± BA , DM ±BC （已知）：/ N= / DMB=90 （垂直的定义）在 NBD和 MBD中/N=/DMB （已证）/ 1 = /2 （已证）BD=BD （公共边

6、） A NBDA MBD （A.A.S）ND=MD （全等三角形的对应边相等）DN ± BA , DM ±BC （已知）. .NAD 和 MCD 是 RtA在 RtANAD 和 RtMCD 中ND=MD （已证）AD=CD （已知） RtANAD RtzMCD （H.L）/ 4=/C （全等三角形的对应角相等） /3+ 24=180° （平角定义）,/ A = / 3 （已证）Z A+ /C=180° （等量代换） 法四：作 DM，BC于M , DN，BA交BA的延长线于 N。 BD是/ABC的角平分线（已知）DN ± BA , DMXBC （

7、已知）ND=MD （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）DN ± BA , DM ±BC （已知）. .NAD 和 MCD 是 RtA 在 RtANAD 和 RtVICD 中ND=MD （已证）AD=CD （已知） RtANAD RtzMCD （H.L）：/4=/CB（全等三角形的对应角相等） /3+ 24=180° （平角定义）/ A = / 3 （已证）Z A+ /C=180° （等量代换）利用高可以高线为对称轴构造全等三角形 3、在4ABC中，ADXBC,若/ C= 2/B.试比较线段 BD与AC+CD的大小.简析 由于ADXBC,所以可在 BD

8、上截取DE = DC, 于是可得 ADEA ADC （SAS）,所以 AE = AC, /AED = /C, 又/ C=2/ B,所以/ AED = 2ZB,而/ AED = / B+ Z BAE,即/B=/BAE,所以 BE = AE = AC,所以 BD = BE+DE =AE+DE = AC+CD . E D C说明 利用三角形高的性质，在几何解题时，可以高线为对称轴构造全等三角形求解.利用特殊图形可通过旋转变换构造全等三角形 4、设点P为等边三角形 ABC内任一点，试比较线段PA与图4PB+PC的大/、.简析 由于 ABC是等边三角形，所以可以将 ABP绕点A旋 转 60°到

9、 AACP'的位置，连结 PP',贝UACP， ABP （SAS）,所 以 AP'= AP, CP'= BP, 4APP 是等边三角形， 即 PP'= PA,在 CPP' 中，因为 PP'v PC+PC,所以 PAvPB+PC.说明 由于图形旋转的前后，只是位置发生了变化，而形状和 大小都没有改变，所以对于等边三角形、正方形等特殊的图形我们 可以利用旋转的方法构造全等三角形来解题.网用利用平行线构造全等三角形 5、4ABC中，AB=AC, E是AB上任意一点，延长 AC到F,连接EF交BC于M , 且EM=FM试说明线段 BE与CF相等的

10、理由.简析 由于BE与CF的位置较散，故可考虑将线段 CF平移到 ED,所以过点 E 作 ED / CF,则/ EDB = / ACB, / EDM = / FCM , 由于 EM = FM , / EMD = / FMC ,所以 EMD FMC （AAS ）, 所以 ED=CF,又因为 AB = AC,所以/ B=Z ACB,即/ B = Z EDB, 所以EB=ED,所以BE = CF.说明这里通过辅助线将较散的结论相对集中，使求解的难度 降低.综合练习1、如图，已知 ABC中，AD是/ BAC的角平分线， AB=AC+CD ,求证: 法一：证明：在 AB上截取 AE ,使 AE=AC ,

11、连结 DE。 AD是/ BAC的角平分线（已知）1=72 （角平分线定义）:在 AED 和/ ACD 中AE=AC （已知），/1=/2（已证）AD=AD （公共边）/ AEDA ACD （S.A.S）«DC/C = / 3 （全等三角形的对应角相等 ）ED=CD （全等三角形的对应边相等）又 AB=AC+CD=AE+EB （已知）EB=DC=ED （等量代换）B=/4 （等边对等角） /3= / B+/4= 2/B （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）C=2Z B （等量代换）法二：延长 AC至ij F,使CF=CD ,连结DF。 AD是/ BAC的角平分线（已知）1=72 （角平分线定义）AB=AC+CD , CF=CD （已知）AB=AC+CF=AF （等量代换）在 ABD和 AFD中C=2Z BAB=AF （已证）/1=/2（已证） AD=AD （公共边） ABDA AFD （S.A.S）/F = /B （全等三角形的对应角相等）CF=CD （已知）B=/3 （等边对等角） Z ACB= 2/F （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）ACB=2 / B （等量代换）2、如图，已知直线 MN / PQ,且 AE平分/ BAN、BE平分/ QBA , DC是过E的任意线 段，交 M