函数的单调性与求函数的最值

1、函数的单调性与最值复习：按照列表、描点、连线等步骤画出函数的图像. 图像在轴的右侧部分是上升的，当在区间0，+)上取值时，随着的增大,相应的值也随着增大，如果取0，+)，得到,那么当<时，有<.这时就说函数=在0,+ )上是增函数. 图像在轴的左侧部分是下降的，当在区间0，+)上取值时，随着的增大,相应的值反而随着减小，如果取0，+)，得到,那么当<时，有。这时就说函数=在0,+ )上是减函数. 1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2

2、)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数图象描述在单调区间上增函数的图象是上升的 在单调区间上减函数的图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；（2）注意区间上所取两点x1,x2的任意性；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。（4）若函数在其定义内的两个区间、上都是单调增（减）函数，一般不能认简单地认为在区间上是增（减）函数. 例如在区间上是

3、减函数，在区间上也是减函数，但不能说它在定义域上是减函数.（3）用定义法判断函数的单调性：定义域取值；任取x1，x2D，且x1<x2；作差；作差f(x1)f(x2)；变形；通常是因式分解和配方；定符号；即判断差f(x1)f(x2)的正负下结论指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性例1 证明函数在(0,+)上是减函数.证明：设,是(0,+)上的任意两个实数，且<，则=, 由,(0,+ )，得>0,又由<,得>0 ,于是>0,即> 在(0,+ )上是减函数.练习：讨论函数在-1,0的单调性.在-1,0上任取x1,x2且x1<x2则,从而-= = 另

4、外，恒有-1x1<x20 则 x1+x2<0 则- < 在-1，0上f(x)为增函数2.基本函数的单调性例：讨论函数在(-2,2)内的单调性.解：，对称轴 若,则在(-2,2)内是增函数；若则在(-2,a)内是减函数,在a,2内是增函数若,则在(-2,2)内是减函数.3.判断函数的单调性的常见结论设任意x1，x2a，b，且x1x2，那么 f(x)在a，b上是增函数；f(x)在a，b上是减函数设任意x1，x2a，b，那么 f(x)在a，b上是增函数；f(x)在a，b上是减函数 (x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x

5、)在a，b上是减函数【梳理·总结】 （1）函数与的单调性相反；（2）当函数恒为正或恒有负时，与函数的单调性相反；（3）函数与函数（为常数）的单调性相同；（4）当（为常数）时，与的单调性相同；当（为常数）时，与的单调性相反；（5）函数、都是增（减）函数，则仍是增（减）函数；（6）若且与都是增（减）函数，则也是增（减）函数；若且与都是增（减）函数，则也是减（增）函数；（7）设，若在定义域上是增函数，则、都是增函数.例：求函数y的单调区间.4. 关于分段函数的单调性(1)若函数,在区间上是增函数, 在区间上是增函数,则在区间上不一定是增函数,若使得在区间上一定是增函数,需补充条件: (2)

6、若函数,在区间上是减函数, 在区间上是减函数,则在区间上不一定是减函数,若使得在区间上一定是减函数,需补充条件: 例：已知函数若对任意x1，x2，都有成立，则实数a的取值范围是()A(0, B(0,1) C,1) D(0,3)5函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件.对于任意xI，都有f(x)M；对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M存在x0I，使得f(x0)M.结论M为最大值，记作M为最小值，记作例：f(x)x22x (x2,4)的单调增区间为_；f(x)max_.6.利用函数的单调性求最值例题：已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f

7、(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，f(1).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值(1)证明:令,则;再令,则应有,从而在上任取,则.又时,从而,即,由定义可知函数在上的减函数.(2) 函数是上的减函数,在区间上也是减函数.从而可知在区间上,最大,最小.即在上的最大值为2,最小值为2.练习：已知定义在区间（0，+）上的函数f(x)满足f()f(x)f(y).，且当x1时，f(x)0.（1）求f(1)的值；（2）判断f(x)的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)-2.（1）f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) =

8、0。（2）当0 < y < x时，x/y > 1，所以f(x) - f(y) = f(x/y) < 0 。故f单调减。（3）f(3) = -1，f(3) = f(9/3) = f(9) - f(3)，f(9) = -2而 f（x)-2 = f(9)，且f(x)单调减，所以| x | > 9， x9或x-97.导数与函数的单调性（1）导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为（2）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y=

9、f(x) 在这个区间内为增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。（3）几种常见函数的导数；（4）导数的运算法则. . .8. 求可导函数的单调区间的一般步骤和方法：确定函数的定义域；计算导数，令，解此不等式，求出递增区间；令<0，解此不等式，求出递增区间；例：函数是减函数的区间为( )（） （） （） （）答案：D解析：练习：（1）函数的单调减区间是_.答案：解析：首先考虑定义域及知，（2）求函数的单调区间，并绘出图像。解： 函数定义域为令，得或函数的单调递增区间为和；令，得且，函数的单调递减区间是和基础练习：1. 在区间上为增函数的是（ ）AB

10、C D答案：B 提示:A为常函数, C在上是增函数,在上是减函数,而D在区间上为减函数.2. 在区间(0，)上不是增函数的函数是（ ）Ay=2x1By=3x21Cy=Dy=2x2x1答案：C3. 函数f(x)=4x2mx5在区间2，上是增函数，在区间(，2)上是减函数，则f(1)等于（ ）A7B1C17D25答案：D4. 已知在区间上是增函数，则的范围是（ ）A B C D答案：B 提示:对称轴.5.函数的递增区间依次是（ ）ABCD. 答案：D6. 函数在和都是增函数，若，且那么( )A B C D无法确定 答案：D7. 函数f(x)在区间(2，3)上是增函数，则y=f(x5)的递增区间是（

11、 ）A(3，8)B(7，2)C(2，3)D(0，5)答案：B8. 已知函数f(x)在区间a，b上单调，且f(a)f(b)0，则方程f(x)=0在区间a，b内（ ）A至少有一实根 B至多有一实根 C没有实根 D必有唯一的实根答案：A9. 已知函数若对任意x1，x2，都有成立，则实数a的取值范围是()A B C D(1,2)答案：C10.设x1，x2为yf(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：(x1x2)f(x1)f(x2)>0；(x1x2)f(x1)f(x2)<0；>0；<0.其中能推出函数yf(x)为增函数的命题为_.(填序号)11.函数的递减区间是 答案：(

12、-¥,-3) 提示:借助复合函数的单调性加以判断.12.已知函数yf(x)在R上是减函数，A(0，2)、B(3,2)在其图象上，则不等式2<f(x)<2的解集为_.综合练习：1.已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，1)、B(3，1)是其图像上的两点，那么不等式 |f(x1)|1的解集的补集是（ ） A(1，2) B(1，4) C(，1)4，） D(，1)2，）2. 已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f <f(1)的实数x的取值范围是 ()A.(1,1) B.(0,1)C.(1,0)(0,1) D.(，1)(1，)3.已知函数f(x)若f(2a2)>f(

13、a)，则实数a的取值范围是()A(，1)(2，) B(1,2) C(2,1) D(，2)(1，)解析：f(x)由f(x)的图象可知f(x)在(，)上是单调递增函数，由f(2a2)>f(a)得2a2>a，即a2a2<0，解得2<a<1.故选C.4.已知在实数集上是减函数，若，则下列正确的是（ ）AB C D答案：D 提示:且在实数集上是减函数，从而知,从而选D.5. f(x)是定义在(0，+)上的增函数，且f()f(x)f(y).(1)求f(1)的值； (2)若f(2)1，解不等式f(x+3)f()2.【解】(1)令，从而得f(1)=; (2)，因为f(x)是定义在(0，+)上的增函数，所以原不等式f(x+3)()f(4) 解得从而原不等式的解集为6. 函数f(x)对任意的a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x0时，f(x)1.（1）求证：f(x)是R上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f