多元复合函数的求导法则

1、第四节 多元复合函数的求导法则教学目的：使学生熟练掌握多元复合函数的求导法则；了解函数全微分形式不变性:。教学重点：复合函数的中间变量均为多元函数的求导法则教学过程：一、 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 如果函数u=j(t)及v=y(t)都在点t可导,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=fj(t),y(t)在点t可导,且有.简要证明1:因为z=f(u,v)具有连续的偏导数,所以它是可微的,即有.又因为u=j(t)及v=y(t)都可导, 因而可微, 即有,代入上式得 ,从而.简要证明2:当t取得增量Dt时,u、v及z相应地也取得增量Du、Dv及Dz.由

2、z=f(u,v)、u=j(t)及v=y(t)的可微性,有,令Dt®0,上式两边取极限,即得.注:.推广:设z=f (u,v,w),u=j(t),v=y(t),w=w(t),则z=fj(t),y(t),w(t)对t的导数为:.上述称为全导数.二、 复合函数的中间变量均为多元函数的情形 定理2 如果函数u=j(x,y),v=y(x,y)都在点(x,y)具有对x及y的偏导数, 函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数, 则复合函数z=f j(x,y),y(x,y)在点(x,y)的两个偏导数存在, 且有,.推广:设z=f(u,v,w ),u=j(x,y),v=y(x,y),w=w

3、(x,y),则,.讨论:(1)设z=f(u,v),u=j(x,y),v=y(y), 则？ 提示:,.(2)设z=f(u,x,y),且u=j(x,y),则？ 提示:,.这里与是不同的,是把复合函数z=fj(x,y),x,y中的y看作不变而对x的偏导数,是把f(u,x,y)中的u及y看作不变而 对x的偏导数.与也朋类似的区别.三、复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形 定理3如果函数u=j(x,y)在点(x,y)具有对x及对y的偏导数, 函数v=y(y)在点y可导, 函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数, 则复合函数z=fj(x,y),y(y)在点(x,y)的两个偏导

4、数存在, 且有,.例1设z=eusin v,u=xy,v=x+y,求和.解=eusin v×y+eucos v×1=exyy sin(x+y)+cos(x+y),=eusin v×x+eucos v×1=exyx sin(x+y)+cos(x+y).例2 设,而.求和.解.例3设z=uv+sin t,而u=et,v=cos t.求全导数.解=v×et+u×(-sin t)+cos t=etcos t-etsin t+cos t=et(cos t-sin t)+cos t.例4设w=f(x+y+z,xyz),f具有二阶连续偏导数,求及.

5、解令u=x+y+z,v=xyz,则w=f(u,v).引入记号:,;同理有,等. 注:,.例5 设u=f(x,y)的所有二阶偏导数连续,把下列表达式转换成极坐标系中的形式:(1);(2).解 由直角坐标与极坐标间的关系式得u=f(x,y)=f(rcos,rsin)=F(r,),其中x=rcos,y=rsin,.应用复合函数求导法则, 得,.两式平方后相加, 得.再求二阶偏导数, 得.同理可得.两式相加, 得.全微分形式不变性: 设z=f(u,v)具有连续偏导数,则有全微分.如果z=f(u,v)具有连续偏导数,而u=j(x,y),v=y(x,y)也具有连续偏导数,则.由此可见,无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数,它的全微分形式是一样的.这个性质叫做全微分形式不变性.例6设z=eusin v,u=xy,v=x+y,利用全微分形式不变性求全微分.解= eusin vdu+ eucos vdv= eusin v(ydx+xdy )+ eucos v(dx+dy)=( yeusin v+ e