导数与函数单调性

1、安丘一中高二数学下学期导学案课题导数的应用（一）课型复习课时1日期主备人教研组长包组领导编号教学目标1利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间2由函数单调性和导数的关系，求参数的范围教学内容个人札记课前预习【预习提纲】1利用导数判断函数的单调性设函数yf(x)在区间(a，b)内可导，(1)如果在(a，b)内，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调递增区间；(2)如果在(a，b)内，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调递减区间；(3)如果在(a，b)内恒有f(x)0，则f(x)为常量函数质疑探究1：(1)f(x)0(或f(x)0)是f(x)在某个区间单调递增

2、(或单调递减)的什么条件？(2)f(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正(或负)时，f(x)在这个区间上是否仍为单调递增(或递减)函数？试举例说明2函数的极值(1)函数极值的定义已知函数yf(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取，记作，并把x0称为函数f(x)的一个。极大值与极小值统称为，与统称为极值点(2)求函数极值的方法求导数f(x)；求方程f(x)0的所有实数根；对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f(x)的符号如何变化，如果f(x)的符号，则f(x0)是极大值；如果f(x)的

3、符号，则f(x0)是极小值如果在f(x)0的根xx0的左右侧f(x)的，则f(x0)不是极值。质疑探究2：f(x)0是f(x)在xx0处取得极值的什么条件？【预习自测】1(教材改编题)函数yxx3的单调递增区间是()A.(，1)，(1，) B.(1,1)C.(，)，(，) D.(，)2(2012烟台模拟)函数f(x)x22ln x的递减区间是()A(0,1 B1，) C(，1)，(0,1) D1,0)，(0,13函数f(x)x3ax2在区间(1，)上是增函数，则实数a的取值范围是()A3，) B.3，) C.(3，) D.(，3)4.(2012陕西文科9)设函数f（x）=+lnx 则（）Ax=

4、为f(x)的极大值点 Bx=为f(x)的极小值点Cx=2为 f(x)的极大值点 Dx=2为 f(x)的极小值点5对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）0，比较f（0）f（2）与2f（1）的大小：。课堂探究案探究一：函数的导数与单调性【例1】已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,2)上是减函数？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由【变式1】在上例函数中， (1)求a4时的单调递减区间；(2)若函数f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围【规律总结】探究二：函数的导数与极值例2.(2011重庆)设f(x)2x

5、3ax2bx1的导数为f(x)，若函数yf(x)的图象关于直线x对称，且f(1)0. (1)求实数a，b的值； (2)求函数f(x)的极值【变式2】(2012年高考山东卷文科22) 已知函数为常数，e=2.71828是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与x轴平行.()求k的值；()求的单调区间；()设，其中为的导函数.证明：对任意.【规律总结】探究三：函数的单调性与极值的综合问题【例3】 (2010年山东济宁模拟)已知函数f(x)x2aln x.(1)当a2e时，求函数f(x)的单调区间和极值(2)若函数g(x)f(x)在1,4上是减函数，求实数a的取值范围【变式训练3】设a为实数，函数f(x

6、)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.【规律总结】【课堂小结】【当堂达标】1.求下列函数单调区间：（1）（2）（3）（4）2.求证不等式：（1）（2）3.已知mR，函数f(x)(x2mxm)ex(1)若函数没有零点，求实数m的取值范围；(2)当m0时，求证f(x)x2x3.教学反思导数的应用（一）答案预习：1. D. 2. A。3. B. 4.D 5. f（0）f（2）2f（1）解析：由题意得：当x1时，f（x）0，所以函数f（x）在（1，）上是增函数；当x1时，f（x）0，所以f（x）在（，1）上是减函数，故f（x）当x

7、1时取得最小值，即有f（0）f（1），f（2）f（1）；例1解：(1)f(x)3x23a3(x2a)当a0，当a0时，由f(x)0解得x，由f(x)0解得x0时，f(x)的单调增区间为(，)，(，)，f(x)的单调减区间为(，)(2)由f(x)3(x2a)0在(1,2)上恒成立得ax2在(1,2)上恒成立令yx2，x(1,2)，则0y224，故有a4.当a4时，f(x)3(x24)3(x2)(x2)，在(1,2)上，恒有f(x)0.f(x)在(1,2)上为减函数时，a4.变1。解：(1)当a4时，f(x)x312x1.f(x)3x2123(x24)3(x2)(x2)令f(x)0得2x2，f(x

8、)的单调递减区间为(2,2)(2)f(x)3x23a3(x2a)f(x)在R上单调递增，f(x)3(x2a)0在R上恒成立ax2在R上恒成立令yx2，xR，则ymin020，a0.又a0a0.例2解(1)因f(x)2x3ax2bx1，故f(x)6x22axb.从而f(x)62b，即yf(x)的图象关于直线x对称，从而由题设条件知，解得a3.又由于f(1)0，即62ab0，解得b12.(2)由(1)知f(x)2x33x212x1， f(x)6x26x126(x1)(x2)令f(x)0，即6(x1)(x2)0，解得x12，x21.当x(，2)时，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2

9、,1)时，f(x)0，故f(x)在(2,1)上为减函数；当x(1，)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数从而函数f(x)在x12处取得极大值f(2)21，在x21处取得极小值f(1)6.变2：例3.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)当a2e时，f(x)2x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)单调递减极小值单调递增f(x)的单调递减区间是(0，)；单调递增区间是(，)，极小值是f()0，无极大值(2)由g(x)x2aln x，得g(x)2x，又函数g(x)x2aln x为1,4上的单调减函数，则g(x)0在1,4上恒成立，即不等式2x

10、0在1,4上恒成立，即a2x2在1,4上恒成立设(x)2x2，显然(x)在1,4上为减函数，所以(x)的最小值为(4).所以a的取值范围是(，变3：审题视点 第(2)问构造函数h(x)exx22ax1，利用函数的单调性解决(1)解由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表.x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)单调递减2(1ln 2a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(，ln 2，单调递增区间是ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)证明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln 21时，g(x)的最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.当堂达标：1.解：（1）时，（2），（3），（4）定义域为2.（1）原式令（2）令点评：构造函数证明不等式主要是利用函数的最大（小）值来解决。3.(1)解由已知条件f(x)0无