信号与系统：第13讲 第5章 离散时间傅里叶变换3

1、第第5 5章章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换 5.35.3离散时间傅里叶变换性质；离散时间傅里叶变换性质； 卷积性质卷积性质2022-3-15信号与系统第13讲2n离散时间非周期信号的傅里叶变换离散时间非周期信号的傅里叶变换n离散时间傅里叶变换的导出离散时间傅里叶变换的导出n考虑离散时间周期信号的傅里叶级数考虑离散时间周期信号的傅里叶级数n周期无限大，第一周期的信号称为非周期信号周期无限大，第一周期的信号称为非周期信号n有此得到离散傅里叶变换表达式有此得到离散傅里叶变换表达式n离散时间傅里叶变换的特点离散时间傅里叶变换的特点n分析公式（正变换）的周期性分析公式（正变换）的周期性n低频在

2、低频在 偶数倍，高频在偶数倍，高频在 奇数倍位置奇数倍位置n综合公式（反变换）积分区间的有限综合公式（反变换）积分区间的有限n满足能量有限、绝对可和的序列都有变换存在满足能量有限、绝对可和的序列都有变换存在n离散时间周期信号的傅里叶变换离散时间周期信号的傅里叶变换n也是在谐波位置的冲激，加权值为相应级数系数的也是在谐波位置的冲激，加权值为相应级数系数的2 倍倍2022-3-15信号与系统第13讲3n为进一步了解离散傅里叶变换的本质为进一步了解离散傅里叶变换的本质n简化离散傅里叶变换的计算简化离散傅里叶变换的计算n讨论离散傅里叶变换的性质讨论离散傅里叶变换的性质n结合连续时间傅里叶变换性质学习、

3、比较结合连续时间傅里叶变换性质学习、比较n离散傅里叶变换性质应用于傅里叶级数分析离散傅里叶变换性质应用于傅里叶级数分析n符号定义符号定义-1() () ()jjjX ex nx nX ex nX eFFF2022-3-15信号与系统第13讲4n1.离散时间傅里叶变换的周期性离散时间傅里叶变换的周期性n离散时间傅里叶变换是以离散时间傅里叶变换是以2 为周期的为周期的的函数的函数n2.线性线性(2)()()jjX eX e1122 () ()jjx nX ex nXe若：和FF1212 ()()jjax nbx naX ebXeF1122 () ()jjx nX ex nXe若：和FF1212 (

4、)()jjax nbx naX ebXeF2022-3-15信号与系统第13讲5n3.时移与频移性质时移与频移性质n举例举例00()j njx nneX eF00() ()jnjex nX e F()jclpHe一个截止频率为的低通滤波器的频率响应为通带在 的偶数倍位置，()jlpHe （）将它频移半个周期 ，得到的就是一个高通滤波器通带在 的奇数倍位置()()jjhplpHeHe （）频域关系： ( 1) j nnhplplphneh nh n 时域关系： ,nx na u na离散序列逐项变号将频谱搬移半个周期温习序列在 分别为正值和负值的情况()jhpHe()jlpHe00()j njx

5、 nneX eF00() ()jnjex nX e F () jx nX e若：F00()j njx nneX eF2022-3-15信号与系统第13讲6n4.共轭与共轭对称性共轭与共轭对称性 () jx nX e若：F* () jxnXeF* x nx nx n若为实值序列：* ()()jjX eXe () () () ()jjjjX eX eX eX e是的偶函数，是的奇函数是的偶函数，是的奇函数R eI m () ()jjx nX ex nX e序列偶部的傅里叶变换是原序列傅里叶变换的实部序列奇部的傅里叶变换是原序列傅里叶变换的虚部FEvR eFOdI m nx nx na为实偶函数，其

6、傅里叶变换也是实偶函数温习序列* () jxnXeF2022-3-15信号与系统第13讲7n5.差分与累加差分与累加n连续时间系统傅里叶变换的微分积分性质是频域求解系统微分方程连续时间系统傅里叶变换的微分积分性质是频域求解系统微分方程的重要手段，在离散时间中，求解差分方程也需要了解其差分以及的重要手段，在离散时间中，求解差分方程也需要了解其差分以及累加性质累加性质n差分性质只要用时移性质就可以得到差分性质只要用时移性质就可以得到n累加与差分类似连续中的积分和微分，它们的性质也有可比性累加与差分类似连续中的积分和微分，它们的性质也有可比性n举例：利用累加性质计算单位阶跃的傅里叶变换举例：利用累加

7、性质计算单位阶跃的傅里叶变换 () jx nX e若：F 1(1)() jjx nx neX eF , 1 nmnx my ny nx n因为：y01() +()2 (1)njjjmkx mX eX eke F累加过程中出现的直流分量0 ()1, 11()() +()(2) = +(2) (1)1njmjjjjjkkg nnG ex ng mX eG eG ekkee F2022-3-15信号与系统第13讲8n6.时间反转时间反转() ()jjnjnnnjmjmY ey n exn ex m eX e () ()jjx nX enxnY e若：考虑：y的傅里叶变换F() jxnX eF2022

8、-3-15信号与系统第13讲9n7.时域扩展时域扩展n时域扩展时域扩展-频域压缩是连续时间傅里叶变换的性质频域压缩是连续时间傅里叶变换的性质1()() jx atXaaF11aa缩小功能，扩展功能，1 ,1ay nx ana为大于 的整数时，序列的表现？为小于 的时候，序列扩展怎样实现？ x anaan但是，对于离散时间情况， 不为整数则没有定义( ) / 0 kx n knkxnnk当 为 的整数倍定义新序列：当 不为 的整数倍( ) 3kxnk 序列示意（）( ) 1kxna 可以起到扩展序列的作用（类似）( )( )( )( ) 0() kjj nj rkkkknrxnnrkXexn e

9、xrk e只在有值，其他情况为 ，所以()( )( )( ) , () () jj krjkkkkrxrkx rXex r eX exn因：则：F2022-3-15信号与系统第13讲10n时域扩展性质的图解时域扩展性质的图解(),2,3()2()2/kjjkx nkxnXeXek一 个 矩 形 脉 冲当时 候 的， 以 及 它 们 的 傅 里 叶 变 换的 周 期 为，的 周 期 为2022-3-15信号与系统第13讲11n举例举例n序列如图，求其傅里叶变换序列如图，求其傅里叶变换n分析可见，这是两个宽度一样，幅度不同的矩形脉冲交错而成分析可见，这是两个宽度一样，幅度不同的矩形脉冲交错而成1

10、5 22 - 2y ny nNy ng n令为宽度为 的矩形脉冲序列由的门函数右移 得到：(2)(2) 21x nynyn原序列可以表示为：2sin(5/2) - 2sin(/2)jg ne的傅里叶变换为：4(2)sin(5 ) sin( )jyne的傅里叶变换为：5(2)sin(5 )21sin( )jyne的傅里叶变换为：24sin(5 )()(1)sin( )jjjX eee 22022-3-15信号与系统第13讲12n8.频域微分频域微分 () jx nX e若：F- () jj nnX ex n e 对正变换公式微分-() jj nndX ejnx n ed ()jdnx njX e

11、dF2022-3-15信号与系统第13讲13n9.帕萨瓦尔定理帕萨瓦尔定理n综合练习综合练习给定序列的傅里叶变换给定序列的傅里叶变换 判断序列是否周期、实信号、偶信号、能量有限？判断序列是否周期、实信号、偶信号、能量有限？ () jx nX e若：F222-1 = ()2jnx nX ed () jX ex n不是离散的，不是周期的()()jjX eX e是 的偶函数，是 的奇函数所以，xn是实信号2()()jjjX eX ee不是实函数所以，xn不是偶信号222-1 = () 2jnx nX ed 积分有限所以，xn是能量有限的2022-3-15信号与系统第13讲142022-3-15信号与

12、系统第12讲14课堂练习课堂练习-离散傅里叶变换性质复习离散傅里叶变换性质复习01()2(),()()0()0jjjajjjX eX eaeX eX eX ed-。 只有实部。 只有虚部3。 存在实数 使得为实4。 5。 11( ) ( ) () ( )22( ) 13( ) 12( ) 11nnex nu nfx ngx nnnhx nnnix nnn 1 ( )( )2 ( )( ) ( )( )( )( )( )( )0( )( )( )00( )( )( )( )( )x ndfx nb ix na b dfg hb c ixb dg h i。 为偶： 。 为奇： 3。 为偶且时移：

13、4。 直流分量为 ： 5。 ： 2022-3-15信号与系统第13讲15n0.卷积性质卷积性质n1.举例举例n（1）Example5.11 () () , * jjx nX eh nH ey nh nx n若：且：FF()()()jjjY eH eX e000-LTI ()j njj nnh nnnH enn ee 一系统，单位脉冲响应为：其频率响应为：0() ()()()()jj njjjjX ex nY eH eX eeX e对于傅里叶变换为的任意输入输出的傅里叶变换为：0 y nx nn对上式反变换可见，这是一个纯延时系统0()1() jjH eH en ，的物理意义？2022-3-15

14、信号与系统第13讲16n（2）Example5.13 , ,1,1, ?nnLTIh na u nx nb u naby n一系统，单位脉冲响应为输入为求该系统的输出响应1()1jjX ebe输入傅里叶变换：()11jjjABY eaebe1()()()11jjjjjY eH eX eaebe输出傅里叶变换：1()1jjH eae系统频率响应：, abABabab nnaby na u nb u nabab2022-3-15信号与系统第13讲17n（2）Example5.13(续续)ab对于情况21()1jjY eae1()1jjjjdY eeadae利用求导方式改写：11111njjFdna

15、u njedae（）再用时移性质：（）11 11nnjjFFda u nna u njaedae对于：根据微分性质： 11=1 nny nna u nna u n（）（）2022-3-15信号与系统第13讲18n（3）Example5.14n上半路信号分析上半路信号分析n下半路信号分析下半路信号分析n输出信号输出信号n系统频率响应系统频率响应 x ny n分析图示系统在输入为，输出为时的频率响应？()jlpHe是一个截止频率为 /4的理想低通滤波器，通带内增益为1()11 ( 1) , ()()njjjw nx ne x nW eX e ()21 ()()()()()jjjjjlplpW eHeW eHeX e ()()(2 )()32 ()()()()()()jjjjjjlplpW eW eHeX eHeX e 4 ()()()