随机变量的分布函数

1、2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 |xX x定义定义2.3设设 X 是一个是一个 r.v，称，称)()(xXPxF)(x为为 X 的分布函数的分布函数. 记作记作 X F(x) 或或 FX(x). 如果将如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数那么分布函数 F(x) 的值就表示的值就表示 X落在区间落在区间,(x的概率的概率. 2.3.1分布函数的概念分布函数的概念 问：问： 在上在上 式中，式中，X, x 皆为变量皆为变量. 二者有什二者有什么区别？么区别？ x 起什么作用？起什么作用？ F(x) 是不是概率？是不是概率？X是随机变量是随机变量,

2、x是参变量是参变量.F(x) 是是r.v X取值不大于取值不大于 x 的概率的概率.xxXPxF),()( 由定义，对任意实数由定义，对任意实数 x1x2，随机点落，随机点落在区间（在区间（ x1 , x2 的概率为：的概率为：P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1) 因此，只要知道了随机变量因此，只要知道了随机变量X的分布函的分布函数，数， 它的统计特性就可以得到全面的描述它的统计特性就可以得到全面的描述.xxXPxF),()( 分布函数是一个普通的函数，正是分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来通过它，我们可以用数学分析的工

3、具来研究研究 随机变量随机变量.xxXPxF),()(2.3.2 分布函数的性质分布函数的性质(1) F(x) 非降，即若非降，即若 x1x2，则，则F(x1) F(x2) ;(2) F( ) = F(x) = 0 xlim(3) F(x) 右连续，即右连续，即 )()(lim00 xFxFxx 如果一个函数具有上述性质，则一定是某如果一个函数具有上述性质，则一定是某个个r.v X 的分布函数的分布函数. 也就是说，性质也就是说，性质(1)-(3)是是鉴别一个函数是否是某鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分的分布函数的充分必要条件必要条件.F( ) = F(x) = 1xlim试说明试说

4、明F(x)能否是某个能否是某个r.v 的分布函数的分布函数.例例4 设有函数设有函数 F(x)其它00sin)(xxxF解：解： 注意到函数注意到函数 F(x)在在 上下降，上下降，不满足性质不满足性质(1)，故，故F(x)不能是分布函数不能是分布函数.,2不满足性质不满足性质(2)， 可见可见F(x)也不能是也不能是r.v 的的分布函数分布函数.或者或者0)(lim)(xFFx 例例5 在区间在区间 0，a 上任意投掷一个质点，上任意投掷一个质点，以以 X 表示这个质点的坐标表示这个质点的坐标. 设这个质点落在设这个质点落在 0, a中任意小区间内的概率与这个小区间的中任意小区间内的概率与这

5、个小区间的长度成正比长度成正比，试求，试求 X 的分布函数的分布函数. 解解： 设设 F(x) 为为 X 的分布函数，的分布函数，当当 x a 时，时，F(x) =1当当 0 x a 时，时， P(0 X x) = kx (k为常数为常数 ) 由于由于 P(0 X a) = 1 ka=1，k =1/a0a F(x) = P(X x) = P(X0) + P(0 X x)=x / a 例例5 在区间在区间 0，a 上任意投掷一个质点，上任意投掷一个质点，以以 X 表示这个质点的坐标表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在设这个质点落在 0, a中任意小区间内的概率与这个小区间的中任意小区间内的概率

6、与这个小区间的长度成正比长度成正比，试求，试求 X 的分布函数的分布函数. 解：解： 设设 F(x) 为为 X 的分布函数，的分布函数，axaxaxxxF, 10,0, 0)( 例例5 在区间在区间 0，a 上任意投掷一个质点，上任意投掷一个质点，以以 X 表示这个质点的坐标表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在设这个质点落在 0, a中任意小区间内的概率与这个小区间的中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比长度成正比，试求，试求 X 的分布函数的分布函数. 这就是在区间这就是在区间 0，a上服从均匀分布上服从均匀分布的随机变量的分布函数的随机变量的分布函数.1.离散型离散型 r.v的分布

7、函数的分布函数设离散型设离散型r.vX 的概率函数是的概率函数是P X=xk = pk , k =1,2,3,xxkkp则则 F(x) = P(X x) = 由于由于F(x) 是是 X 取取 的诸值的诸值 xk 的概率之和，的概率之和，故又称故又称 F(x) 为累积概率函数为累积概率函数.x 当当 x0 时，时， X x = ， 故故 F(x) =0例例2.7212613110X，求，求 当当 0 x 1 时，时， F(x) = P(X x) = P(X=0) =31F(x) = P(X x)解解:（2）PX1/2（3）P1/2X3/2（4）P1X2(1) F(x)(1)当当 1 x 2 时，

8、时， F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + =316121当当 x 2 时，时， F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1例例2.7212613110X，求，求 F(x).F(x) = P(X x)解解:即即注意右连续注意右连续下面我们从图形上来看一下下面我们从图形上来看一下.2, 121,2110,310, 0)(xxxxxF例例2.7212613110X，求，求 F(x).31120 x)(xXP61211212121103100 xxxxxF,/,/,)(概率函数图概率函数图3121120)(xXP612161OOO1)(xF分布函数图分布函数图画画 分布函分布函数图数图212613110X 不难看出，不难看出，F(x) 的图形是阶梯状的图形，的图形是阶梯状的图形，在在 x=0，1，2 处有跳跃，其跃度分别等于处有跳跃，其跃度分别等于 P(X=0) , P(X=1)