不定式方程(六年级)

1、一：不定方程知识精讲1 .不定方程的定义1 .一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程.2 .多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一.2 .不定方程的解法及步骤1 .常规方法:观察法、试验法、枚举法.2 .多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可.3 .涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较.3 .解不定方程的步骤1 .列方程.2 .消元.3 .写出表达式.4 .确定范围.5 .确定特征.6 .确定答案.4 .

2、技巧总结1 .写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数范围小的未知数表示范围大的未知数.2 .消元技巧：消掉范围大的未知数.三点剖析重难点：不定方程的解法以及应用.题模精讲题模一不定方程的计算例1、1、1、判断下列不定方程就是否有正整数解，同时考虑用，若有，求出所有正整数解.-1021=101101 ./八 3工441 = 59 .10 k -20” = 1419 ,QX17.r- 32t = 4917"，,(3)“；（4厂答案:/八小M'一*=5Qgv-llIv-SA=13,J-S1工=17H(2).工=4y-$fx-261h=229fx=157fjt=1

3、65x=133pc=101卜=的,y-15v-32V1-49ty-66y-S3y-10C(4)无整数解解析：/、"叉小曲)(1)L，所#"皿"，即*1mod)工=37fx=5y-13411-151:工=1,r=5>=9;x=17j-14y-11y-8y-Sv1-2101101.19(modlM)+«X-I02j.84jt(modl02)，所以*厂m加叫.无整数例1、1、2、驾全3I已知与分别表示两个自然数，并且二H二。，则9=答案:解析:依题意得11&5%=37,易知其自然数解为=2,*3.所以+Q5.例1、1、3、a2J有三个分子相同的最

4、简假分数，化成带分数后为善式三.已知a,b,c都小于10,a,b,c依次为答案:7,3,2解析:由题意有-2=-5=8;-.解这个不定方程，得”7斥3/1.例1、1、4、已知三丁代表两位整数，求方程"+）=2耳;的解题模二不定方程的应用例1、2、1、有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装12个，小盒每盒装7个.问需要大盒子仝、小盒子能恰好把这些球装完答案:大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个解析:设需要x个大盒子，y个小盒子，依题意得= 15°，解得= "b=is ,.所以需要大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个.例1、2、2、某单位的职工

5、到郊外植树，其中有男职工也有女职工，并且有M的职工各带一个孩子参加.男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，她们一共种了216棵树.请问:其中有答案:12名解析:设有x名男职工,y名女职工，则孩子有手“一”名,依题意得E-1。句IE,整理得：&一盯心化简得51尸72,解得3 = 8 jc =4、g,h-13,其中只有才就是整数，所以有12名男职工.例1、2、3、有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元;若购买甲2件、乙1件、丙4件、丁2件共需183元;若购买甲2件、乙6件、内6件、丁5件共需375元.现在购买甲、乙、丙、丁各一件共

6、需多少元？答案：81元解析:设购买甲一件要x元，乙一件要y元，内一件要z元，丁一件要w元,依题意工十5v十i十3H.-195ffl得：，；2工-j-4-2舜=用I2x+Cj.'+6z+375®注意到题目要求的就是工J？一匕所以完全可以不求x、v、z、w分别就是多少，想办法整体求出.观察发现要直接凑出工一一三一讨或它的倍数并不容易，一个比较明显的就是十一可以求出二一上二30,w的系数变的一样，得可以用来调整x与z的系数.接着可以让y与4x7j-10z*7v=55S一得767，所以卜1故现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需81元.（当然本题可以直接瞧出一小一甫得到7r+7y-lz-7

7、“-S67例1、2、4、将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米与24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计.问:剩余部分的管子最少就是多少厘米？答案：8厘米解析:设已经截出了工根长36厘米的管子与岁根长24厘米的管子，那么被截出的管子一共长跑-也厘米.由凸15:41，得:如-4,一定就是12的倍数.而380不就是12的倍数，所以%工-乂丁=3观就是没有自然数解的！管子不可能刚好被用尽，那么最少会剩下多少厘米呢？由于圾一定就是12的倍数，小于380且能被12整除的最大自然数就是372，而竺为的自然数解就是存在的，如廿=14,也就就是截出1根长36厘米的管子与14根长24厘米的管子，能

8、够使得截出的管子总长度达到最大值372厘米.所以剩余部分最少就是理-3k三厘米.例1、2、5、有纸币60张，其中1分、1角、1元与10元各有若干张请您判断：这些纸币的总面值能否恰好就是100元?设1分的有x张,1角的有y张,1元的有z张,10元的有w张，依题意得:工w二60，很明显等号左-xWV1007-lOOChr-10000一边就是9的倍数，而等号右边不就是9的倍数，所以无自然数解，故这些纸币的总面值不能恰好就是100元.例1、2、6、现有一架天平与很多个13克与17克的整码，用这些整码，不能称出的最大整数克重量就是多少？（整码只能放在天平的一边）答案:191解析:设用了x个13克的整码,

9、y个17克的整码,要称的重量为c克，依题意,就就是求使5v171文无自然数解的c的最大值.利用拓展14解法二中提到的结论,c最大取-映了刃呼时®-无自然数解，所以不能称出的最大整数克重量就是191克.例1、2、7、现有1、7升与4升的两个空桶与一个大桶里的100升汽油，用这两个空桶要倒出1升汽油，至少需要倒多少次？答案:26次解析:依题意，模拟的倒几次后会发现，本题与不定方程L717广1与4丁-1-71=1的解有关系.先解出这两个不定方程L7h-4j-1的解为1 = 10,1-1»（X=30fx=7041,-L7工=1的解为:u口J用牛刀,y=13?h=30L-10其中，心

10、.4这个解明显要小，下面解释一下它的含义先瞧它对应的过程：1、倒满1、7升；2、1、7升倒入4升;3、倒满1、7升;4、1、7升倒入4升;5、倒满1、7升；6、1、7升倒入4升中，还剩1、1升;7、4升的倒入大桶里；8、1、1升倒入4升；9、倒满1、7升;10、1、7升倒入4升;11、倒满1、7升;12、1、7升倒入4升，还剩0、5升；13、4升的倒入大桶里；14、0、5升倒入4升；15、倒满1、7升;16、1、7升倒入4升;17、倒满1、7升;18、1、7升倒入4升；19、倒满1、7升;20、倒入4升，还剩1、6升.21、4升的倒入大桶里；22、1、6升倒入4升；23、倒满1、7升;24、倒

11、入4升;25、倒满1、7升;26、倒入4升，还剩1升.可以瞧出，每次从大桶中倒入两个小桶的都就是1、7升,每次从两个小桶中倒回大桶的都就是4升,所以两个小才S中量出的1升可以瞧做就是，倒进的1、7x减去倒出的4y的差.那么就得到了上面的不定方程.另一个不定方程同理也很容易想明白.某校开学时，七年级新生人数在5001000范围内，男、女生的比例为?.到八年级时,由于收40名转学生，男、女生的比例变为UH.请问，该年级入学时，男、女生各有多少人?答案:男生320人，女生280人解析:设开始时共1或人，后来变为3"人，则MX口£66/”刈=3"易知a为8的倍数,b为5的

12、倍数，故可设厂配卜5d，方程化简为31=4d,且2子.解得二=1件=4,入学时总人数为15/*5=砌口人，男生320人，女生280人例1、2、9、在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛.如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分与4分.每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数试问:如果比赛规定恰好投中100分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？如果规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？随堂练习随练1、1、1r?（1）"2j，=5,则1?=一答案：卜=1Jx-1U'2（2）"2无解口c解析：枚举法.随练1、2、

13、小高有若干张8分的邮票，墨莫肩拧答案：3张解析：设小高有8分邮票x张,15分邮票小局有3张8分邮票.卜列方程的自然数解_僮卜+3-8，则门；（3产则尸卜卜=；（韦卜一”=2。，则J*千张15分的邮票，两人的邮票总面值就是99分，那么小高的8分邮票有卜=3y张，依题意得-口弋,解得，所以将426个乒乓球装在三种盒子里，大盒每盒装25个，中盒每盒装20个，小盒每盒装16个.现共装了24盒,则用了仝大盒随练1、4、新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20分、40分与50分，其中面值20分的邮票售价5元，面值40分的邮票售价8元而值50分的邮票售价9元.小明花了156元买回了总面值为8、3元的

14、邮票，那么三种面值的邮票分别买了_L答案:20分的邮票3张,40分的邮票3张,50分的邮票13张解析:设买了x张20分的邮票,y张40分的邮票,z张50分的邮票，依题意Q上十 Q.4T 十=83得：土2 if.，消 y 得了,.1 0，解得p=0 '|_z -IO "iz-ll;同时还要满足y为整数，经验证当二.”时符合题意，所以买了20分的邮票3张,40分的邮票3张,50分的邮票13张.课后作业作业1、方程一订=2口有组自然数解答案:11解析:易知y可为0至卫了人型的所有自然数，即方程有11组自然数解作业2、求知一什=11的所有整数解解析:先找出一组基本的解，然后写出所有解

15、即可.作业3、求不定方程2x+3y+5z=15的正整数解答案:x=2>=1解析:先确定z的值，把三元一次不定方程转化为二元一次不定方程，再进行计算.正作业4、B=17设A与B都就是自然数，并且满足九一百一分.那么壬1=答案:解析:<3.4-115=17,又因为a、B为自然数得l5-1A-B=3作业5、有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油,44千克油恰好装满这些油桶.问:大油桶仝，小油桶答案:大油桶3个,小油桶4个解析:设有x个大油桶y个小邮桶，依题意得s=44，解得=4，所以有3个大油桶,4个小邮桶.作业6、新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的

16、100本教科书.已知老师与学生共14人,每名老师能搬12本,每名男生能搬8本,每名女生能搬5本，恰好一次搬完.问:搬书的老师男生女生答案:老师3名，男生2名，女生8名解析：十射十兔二忖0设搬书的老师有x名,男生有y名,女生有z名,依题意得T-JT="，消ILJ去z得7J"N,解得"3，所以"14-3-3=S,所以搬书白老师有3名，男生2名，女生8名作业7、小李去文具店买圆珠笔、铅笔与钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买.钢笔4支一盒，每盒5元;圆珠笔6支一盒，每盒6元;铅笔10支一盒，每盒7元.小李总共花了97元，买了90支笔.请问:三种笔分别买了多少盒?

17、答案:圆珠笔3盒，铅笔2盒，钢笔13盒解析:设圆珠笔买了x盒，铅笔买了y盒，钢笔买了z盒，依题意得班十10十42二9。.，消去乂得汇=7,解得.pz-10K,jr-13L.rv=21将y、z代入原方程组发现只有J.巴时,x有自然数解I.所以买了圆珠3盒，铅笔2盒，钢笔13盒.作业8、卡莉娅到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7、8元一包，酥糖10、4元一包，最后她共花了360元，且每种糖都买了.请问:卡莉娅共买了多少包奶糖？答案:12包解析:不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖与酥糖分别有三包、口包、包与卡包，则.把系数都化成整数彳导:智皿口造SJ.由于我们只关心奶糖的数量，我们将未知数分为一组，其余未知数分为另一a："也就就是13 5*-Sy -4v': *S5y = 1S0C.令，则1知+眨部0.它的自然数解只有口，所以卡莉娅共买了12包奶糖.作业9、雨轩图