5.2二次型与对称矩阵的标准形(08年)[学校资料]

1、经过线性变换经过线性变换二次型化为二次型化为 例例12(,)f x x 12xx 12yy 12yy 12xx 12yy1111 f 212()yy TXXA XCY 222y 1122()yyyy 122x x1122()xxxx 0011212y 0022 TYYB B TC AC12()yy 则则A C B .1教育类212,.,()nf x xx12.(,)nx xx nnnnnnaaaaaaaaa.21222211121112nxxx 给定二次型给定二次型设该二次型设该二次型111212122212.nnnnnnccccccccc12nyyy12nxxx12(,.,)ng yyy11

2、121211213113.nnbbbyy yy yy yb21222221223223.nnybbbbyyy yy y . 21212.nnnnnnnybbbyy yy 化为化为: :B TC AC则则12(,.,)ny yy 111212122212.nnnnnnbbbbbbbbb 12nyyy A C B XCY 经过线性替换经过线性替换TXXA TYYB 且且( )( )Arr B .2教育类2 定义定义5.3 5.3 定理定理 如果存在如果存在n n 阶阶 使得使得 则称矩阵则称矩阵A A与与B B合同合同, ,原二次型的矩阵原二次型的矩阵合同。合同。可逆可逆矩阵矩阵C, C, 设设A

3、 A, ,B B是两个是两个n n 阶矩阵阶矩阵, ,经过非退化线性替换经过非退化线性替换, ,与新二次型的矩阵与新二次型的矩阵记为记为ABABABB TC AC，.3教育类2120.00 .00.00 .000.0 .000.00 .000.00 .0rddd12(,.,)nyyy nrryyyyy12112(,.,.)rny yyy 222d y 12(,.,)nf yyy 定义定义 2212212.rrd yydd y的二次型的二次型只含平方项只含平方项, ,11d y22d yrrd y00211d y2.rrd y5.2 5.2 二次型的标准形二次型的标准形与规范形与规范形形式为形式

4、为不含交叉项不含交叉项2221122.rrd yd yd y的秩为的秩为r称为称为标准形标准形. .12,.,rd dd, ,0 TY BY .4教育类2120.00 .00.00 .000.0 .000.00 .000.00 .0rddd12(,.,)nyyy nrryyyyy12112(,.,.)rny yyy 222d y 12(,.,)nf yyy 定义定义 2212212.rrd yydd y的二次型的二次型每一个标准形每一个标准形每一对角矩阵每一对角矩阵只含平方项只含平方项, ,11d y22d yrrd y00211d y2.rrd y形式为形式为不含交叉项不含交叉项对应一个标准

5、形对应一个标准形. .是对角矩阵是对角矩阵. .2221122.rrd yd yd y的秩为的秩为r称为称为标准形标准形. .对应的矩阵对应的矩阵12,.,rd dd, ,0 TY BY .5教育类2可写为可写为此标准形化为此标准形化为定义定义 的二次型的二次型称为实数域上称为实数域上令令是一个标准形是一个标准形. .222212342395xxxx 212x245x223x233x22221234yyyy 222211.ppryyyy二次型的规范形二次型的规范形. .形式为形式为1y 12x2y 45x3y 23x4y 33x即即1234yyyy 1234xxxx20000005030000

6、30.6教育类2定义定义 的二次型的二次型称为实数域上称为实数域上其中正项的个数其中正项的个数 负项个数负项个数称为二次型的称为二次型的 称为二次型的称为二次型的r r是二次型的秩是二次型的秩. .222211.ppryyyy二次型的规范形二次型的规范形. .正正惯性指标惯性指标, ,负负惯性指标惯性指标. . 形式为形式为称为称为符号差符号差. .p ()rprp p其对应的矩阵为：其对应的矩阵为： 1111 00r个个 p p个个1 1r-pr-p个个- -1 1.7教育类2在复数范围内在复数范围内, ,此标准形化为此标准形化为形式为形式为二次型的规范形二次型的规范形. .令令以上二次型可

7、写为以上二次型可写为的二次型的二次型复数域复数域上上222212342395xxxx 212x223i x233i x245x22221234zzzz22212.rzzz112zx223zi x333zi x445zx本书均指实数域上的本书均指实数域上的规范形规范形. .定义定义 称为称为.8教育类2能否通过能否通过非退化线性替换非退化线性替换如果能够如果能够, ,用什么方法化为标准形用什么方法化为标准形? ? 一个二次型一个二次型化成化成标准形标准形? ?二次型二次型通过非退化线性替换通过非退化线性替换化成标准形化成标准形对称矩阵对称矩阵A A合同到合同到对角对角矩阵矩阵B.B.又如何化为规

8、范型？又如何化为规范型？.9教育类212,.,()nf x xx12,.(),nx xx nnnnnnaaaaaaaaa.21222211121112nxxx 给定二次型给定二次型TX AX如果经过线性替换如果经过线性替换111212122212.nnnnnnccccccccc12nyyy12nxxx2222211.rrddyyd y化为化为: :TY BY XCYB TC AC则则12,.(),ny yy 12nyyy A C B 120.00.00.00.000.0.000.00.000.00.0rddd120.00 .00.00 .000.0 .000.00 .000.00 .0rddd

9、ABA A与与对角对角矩阵矩阵合同合同. .10教育类21200rddd12(,.,)nyyy nrryyyyy1212221212.rrddfyyyd实对称矩阵实对称矩阵A A存在可逆矩阵存在可逆矩阵C C, ,1200rdddTC AC经过非退化线性替换经过非退化线性替换 XYC二次型二次型 f f 化为化为: :TC AC 使得使得 二次型二次型12(,.,)nf x xxTX AX .11教育类2( (一一) ) 用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形( (二二) ) 用初等变换法化二次型为标准形用初等变换法化二次型为标准形( (三三) )用用正交替换正交替换法化二次型为标准

10、形法化二次型为标准形二次型二次型通过非退化线性替换通过非退化线性替换化成化成标准形标准形有三种方法有三种方法: :.12教育类2例例 化为标准形，化为标准形，2221234fyyy 标准形标准形令令1. 1. 用配方法用配方法化二次型为标准形化二次型为标准形23()xx123(,)f x x x22212312132334226xxxx xx xx x21()x122x x132x x223x234x236x x21x12x223()xx223()xx223x234x236x x2123()xxx224x233x234x x2123()xxx23x22(4)x234x x23x2123()xx

11、x2232xx233x234x 123xxx213yyy 232xx3x二次型化为二次型化为并写出所作的并写出所作的非退化线性替换非退化线性替换. .将将123(,)f x xx解解.13教育类2例例 将将化为标准形，化为标准形，),(321xxxf解解2221234fyyy 令令123(,)f x x x22212312132334226xxxx xx xx x2123()xxx2232xx234x 123xxx213yyy 232xx3x二次型化为二次型化为并写出所作的并写出所作的非退化线性替换非退化线性替换. .3y231122yy213xxx 1y 所作的非退化线性替换为所作的非退化线

12、性替换为231322yy.14教育类2例例 123(,)f x x x121323224x xx xx x化为标准形，化为标准形， 并写出所作的并写出所作的非退化非退化线性替换线性替换. .解解 令令12yy123xxx12yy3y二次型化为二次型化为12yy12yy212yy3y412yy3y22212yy将将212y222y132y y236y y212 y13y y222y236y y234y232y2132y y236y y123xxx 123yyy 110 1100001.15教育类2221y例例 123(,)f x x x121323224x xx xx x化为标准形，化为标准形，

13、 并写出所作的并写出所作的非退化线性替换非退化线性替换. .解解 令令12yy123xxx12yy3y二次型化为二次型化为将将212 y13y y222y236y y234y232y123(,)f x x x32y233 y y232y222 y 2392y23122yy22332y2y234y2394y.16教育类2例例 123(,)f x x x121323224x xx xx x化为标准形，化为标准形， 并写出所作的并写出所作的非退化线性替换非退化线性替换. .解解 令令二次型化为二次型化为将将123(,)f x x x23122yy22332y2y234y令令二次型化为二次型化为212

14、z222z234z3z123yyy1312zz2332zz123xxx12yy12yy3y123zzz1312yy2332yy3y.17教育类2例例 123(,)f x x x121323224x xx xx x令令123xxx二次型化为二次型化为11011000111023012001123xxx123yyy12yy12yy3y123yyy123zzz123yyy1312zz2332zz3z123xxx123110110001yyy11232231001001zzz001所作的非退化线性替换为所作的非退化线性替换为123xxx123zzz1232zzz123zzz3z112111122223

15、224zzz .18教育类2例例 123(,)f x x x121323224x xx xx x化为化为规范规范形，形， 并写出所作的并写出所作的非退化线性替换非退化线性替换. .解解 令令12yy123xxx12yy3y二次型化为二次型化为将将222y234y令令二次型化为二次型化为123zzz23122yy2232y222y13122yy332y32y332y23322yy21z22z23z212z312z332y123yyy112z312y214z12y32y234z规范形规范形.19教育类2例例 123(,)f x x x121323224x xx xx x令令二次型化为二次型化为21

16、z22z23z212z312z332y123yyy112z312y214z234z123xxx12yy12yy3y110110001123xxx123yyy123yyy11042123zzz310421002123zzz123zzz12112121212100231042100211042所作的非退化线性替换为所作的非退化线性替换为123xxx1231122zzz123111222zzz212z.20教育类2标准形唯一吗？标准形唯一吗？23)2(2x标准形不唯一标准形不唯一. .是规范形是规范形. .正惯性指标为正惯性指标为负惯性指标为负惯性指标为二次型的规范形二次型的规范形二次型的正惯性指标

17、二次型的正惯性指标23)394x（23(2)x令令令令由二次型本身由二次型本身唯一决定唯一决定. .123(,)f x xx22212312132334226xxxx xx xx x 1223()xxx 2322xx 234x 1y 123xxx 232xx 2y 3y 3x32x33x32xf 21y22y 234y f 2212yy23y f 2212yy2349y f 2212yy232y 1y 123xxx 2y 32x3y 232xx f 21y22y 23y 由二次型本身唯一决定由二次型本身唯一决定. .和负惯性指标和负惯性指标2,1.21教育类2定理定理5.4 (5.4 (惯性定

18、理惯性定理) ) 为二次型为二次型f f 的的定理定理5.45.4/ / 都与对角矩阵都与对角矩阵 001111 任一二次型任一二次型f f 都可经非退化都可经非退化线性替换线性替换化为规范形化为规范形. .且规范形由二次型且规范形由二次型为二次型为二次型f f1 1和和1 1的个数共有的个数共有其中其中1 1的个数为的个数为1 1的个数为的个数为为二次型的秩为二次型的秩. .唯一决定唯一决定. .任一实对称矩阵任一实对称矩阵A A合同合同, ,为二次型为二次型f f的秩的秩, , 其中其中 221221.prpyyyy f prrp prp 个个, ,rr正惯性指标正惯性指标, , 的负惯性

19、指标的负惯性指标. .22教育类2化二次型为标准形化二次型为标准形对于任一对称矩阵对于任一对称矩阵A,A,100rddC C可逆可逆, , 为初等矩阵为初等矩阵对角矩阵对角矩阵作作k k次相同的次相同的列变换列变换存在存在可逆可逆矩阵矩阵C C, ,再单独对再单独对A A 相应的行变换相应的行变换线性变换的矩阵线性变换的矩阵作作k k次次2. 2. 用初等变换法用初等变换法12.kCP PP E12,.,kP PPTC AC 12(.)TkP PP A12(.)kP PP11.TTTkkP PP TC AC A12.kP PPAEAE12.kP PP12.kP PP1212.kkPAPP PE

20、PP 11.TTTkkP PP TCCA C使得使得.23教育类2例例022244243A求非奇异矩阵求非奇异矩阵C C，AE 224443001001022244243100010001解解262862110862110000341401252052721414112523414800011000040BTC AC C使得使得C CT TACAC为为341459111280000009B对角矩阵对角矩阵. .C34141411001.24教育类2例例 为标准形为标准形. .解解 AE 11033000100121211012121220002110000631100经可经可逆线逆线性替性替换

21、换123xxx 12121311001123yyy A0001111330111031301000100011121101202121200221110CBC12( 4) TYBY()TC AC1226TYY化二次型化二次型122313262x xx xx x 2221231262yyy化为化为22TC ACB求可逆线性替换求可逆线性替换, ,二次型对应的矩阵为二次型对应的矩阵为.25教育类2求可逆线性替换求可逆线性替换, ,AE 化为化为规范形规范形. .22将将121212200000061311001 121212000063101 12 2001212012 1121210000631

22、01 1200 12120 1 122313262x xx xx x 16.26教育类2161122112210001000631001 AE0061122112210010000 361616 161001361616 010 12120 12121000 010001 经过非退化线性替换经过非退化线性替换二次型化为：二次型化为：123xxx 3112621112621600 123yyyC TC ACB TYBYTC AC100010001 222123yyyB .27教育类2 例例 为标准形为标准形. .解解 B( 1) ( 2) 二次型对应的矩阵为二次型对应的矩阵为TC ACB1213

23、24x xx x 求可逆线性替换求可逆线性替换, ,化化A 000112200AE 012100200100010001120000001001112110212 2121101201 12120 012 111 00121212200011100 000021 0C .28教育类2 例例 为标准形为标准形. .解解 B 二次型对应的矩阵为二次型对应的矩阵为TC ACB121324x xx x 求可逆线性替换求可逆线性替换, ,化化A 000112200121212200011100 000021 0C AE经非退化线性替换经非退化线性替换二次型二次型化为化为二次型的秩为：二次型的秩为：221

24、2122yy( )r A( )r B2123xxx 12121012001 123yyyTYBY()TC AC1220 .29教育类2解解 B 二次型对应的矩阵为二次型对应的矩阵为A A22 例例 为为规范形规范形. .121324x xx x 求可逆线性替换求可逆线性替换, ,化化AE121212200000001012001 12 121212000000201 200112 1212012121000000201 1200 12120 1 C TC ACB.30教育类2解解 B 二次型对应的矩阵为二次型对应的矩阵为A A 例例 为为规范形规范形. .121324x xx x 求可逆线性替

25、换求可逆线性替换, ,化化AE12121000000201 1200 12120 1 C TC ACB经可逆线性替换经可逆线性替换123xxx 123yyy1122112202001 C 二次型二次型化为化为TYBY()TC AC110 2212yy.31教育类23.3.用用正交替换正交替换法法实对称矩阵实对称矩阵A A存在存在正交矩阵正交矩阵Q,Q,12n 存在存在正交矩阵正交矩阵Q, Q, 12n 经过经过正交替换正交替换 XQY12(,.,)nyyy 12n nyyy21定理定理4.144.14标准形标准形A A的所有特征值的所有特征值实对称矩阵实对称矩阵A AB二次型化为：二次型化为：化二次型为标准形化二次型为标准形使得使得使得使得1QAQ TfYYB TYY TQ AQTQ AQ 2221212.nnyyy 二次型二次型12(,.,)nf x xxTX AX.32教育类2例例 为标准形为标准形, ,解解 特征值特征值232313231323132323Q Q是正交矩阵是正交矩阵并写出所作的线性替换并写出所作的线性替换. .123 220220利用利用正交替换正交替换法法令令2221231231223(,)2344f xxxxxxx xx x 对应的矩对应的矩阵为阵为A 1230022 22 (1)(2