资料2：宏观经济乘数加速数模型分析及运动分析原理

1、3宏观经济乘数加速数模型及经济波动周期分析 乘数、加速数模型为宏观经济学中的基本模型之一。它是讨论经济系统中的国民收入、消费、储蓄等变量之间关系及经济增长规律的模型。 社会总产出：所有产品的产值。是否等于GNP? GNP社会总产出期间产品的耗费；同时GNP可用于消费和固定资产的投资。将上述这些宏观经济用以量化，构造出系统模型即为（标题）（1）建立模型设 Y(t) 为第t年国民生产总值，C(t) 为第t年个人消费总额，G(t) 为第t年公共消费（政府支出、政府购买）I(t) 为第t年投资总额。 Y(t) GNP 公共消费G(t) 企业与个人消费C(t) 公共投资 + 企业与个人投资= I(t)则

2、有统计规律：Y(t)C(t)I(t)G(t) *另外，设u 第t年个人消费总额C(t)与上一年国民生产总值Y(t1)有关。今年消费是去年的GNP的线性函数，设为：C(t)a+bY(t-1) *其中：a,b为常数，b<1,称为边际消费倾向。（倾向系数；边际求导） u 第t年投资总额I(t)与人们消费需求及银行利率等有关。在市场经济下一个国家和地区平衡增长时利率变换不大，所以近似认为投资I(t)主要受消费的增加而增加，关系如下：I(t)q+k(C(t)- C(t-1) * 其中：q,k为常数。K>0，表明当消费量增加时将使得投资额也增加。比如，今年比去年消费提高，这样拉动了投资的增加，

3、我们称-需求拉动。综上，Y(t)C(t)I(t)G(t)C(t)a+bY(t-1) （*）I(t)q+k(C(t)- C(t-1)称为宏观经济乘数加速数模型。这是经济学上的革命，该模型以经有50年历史，我国现在还在使用。由凯恩斯提出来的。（2）分析该模型：1 当上述变量都为常数时，称为系统的平衡解。容易看出，Y与G的关系由方程组确定即 表明，当政府购买力为G时，系统达到平衡后的国民生产总值为Y。如果G增加G,那么Y变化，并最终达到Y+Y.那么称Y与G之比为乘数（放大倍数）。即 当b0.5时，1/(1-0.5)=2,这就意味着购买力增加1万万万亿元，那么国民生产总值增加2万万万亿元，但如果这样，

4、就会发生通货膨胀。这是因为我们这里说的变量，都是名义值，而不是实际值。这是因为我们模型中没有考虑价格变量。该模型仅考虑宏观经济变量名义值的变化规律。 实际的宏观经济调控政策设计中，我们让G适当的上升，使得名义值Y也相应上升，不至于产生通货膨胀。 Y的实际值应为物价指数P乘以Y1,Y1由固定资产K和人工确定（生产函数），即Y=P*Y12其因果关系（系统）图如下： G(t) Y(t) Y(t-1) a C(t) C(t-1)×b×××k ) I(t) q 经济危机时，煤、面包、衣服、出现了恶性循环。这时，政府要出资投入（发债券等手段），刺激经济发展。这样加速

5、了经济的发展加速数。 但分析该模型有漏洞，如此不断的刺激，将会导致滞胀：通货膨胀，GNP的快速增长实质上是停滞。 经济增长理论。 我国使用刺激内需如修公路，花钱。 该模型灵不灵？取决于外部的参量。××b、k（3）分析模型的变化 下面直观了解模型的变化，设(a10 q=5 b=0.5 k=2)并且，政府购买力G5，系统处于平衡状态由此得Y=40, C=30. 当政府购买力从5变为10时，变动过程使用方程组，其中，t1为平衡状态没有实际时间含义。t0时，政府购买为10。依上式，有(t=-1不使用原方程组，是使用平衡方程组)即得：C(0)=30, I(0)=5 Y(0)=30+5

6、+10=45如下表： +10 5+2(C(t)- C(t-1) Y(t) Y(t-1) 0.5Y(t-1) C(t) C(t-1) I(t) G(-1)=5 40 30 5 G(0)=10 45 40 20 30 30 5G(1)=10 52.5 45 22.5 32.5 30 10 G(t) Y(t) Y(t-1) 10 C(t) C(t-1)05××××2 ) I(t) 5 说明：当G由5到10时，立即拉动了国民生产总值，也增加了5。进一步，再代入上式，当G10不再上升时，可得Y(1)=52.5.这表明，虽然G不再增加，但国民生产总值升到45后，引起

7、了消费与投资的进一步增加，从而刺激了国民生产总值的进一步增加。这种国民生产总值一轮又一轮的增加称为加速过程。再进一步将Y(1)=52.5代入，我们可以得到Y(2)=58.57, Y(3)=60.625, Y(4)=57.19, Y(5)=50.16, 可以看出，Y(t)的发展是波动的，如此波动下去，最后趋于新的平衡状态：Y50 （从一个平衡点到另一个平衡点的过程称为过渡过程这是一门学科，继控制论之后的一门课，研究的人不多）。那么，波动的周期如何？（4）周期（运动分析） （我们说系统的特征根由系数阵的特征根确定，所以找到特征根即可这个结论正确吗？） 将方程改写为：变形为矩阵方程：可以整理为简记为

8、： 其中： Z变换： 整理： 于是 其中：A,B为待定系数。且Z-1变换：并由欧拉公式：则：年 以上，我们经过一系列复杂的计算讨论了国民生产总值的波动周期。如果我们掌握规律抓住特征，计算结果大为简化。总结：我们这节研究了宏观经济模型讨论了其波动周期。平均每8.69年达到一个平衡。二、运动分析原理（系统的特征分析） 我们在前面的问题中已经提过，系统本身固有的特征根对系统起决定作用。如桥由于本身自有一个频率，当外界的输入频率等于自有的频率时，桥就会塌。对于经济系统来讲，如果出现了这样的共振现象，系统就会崩溃，所以我们有必要研究这个问题，寻找特征根的规律和求法。1标准系统： Z变换： 即： 若系统的

9、特征根如下： 无重根 其中，中间或许会有。此根只与系统的自身A有关，所以称为系统特征根。m为z函数的分子的最高次数，n 为z函数的分母的最高次数.则 且时，不会有，m=n时有。 例如，上节的宏观经济乘数加速数模型中，由于只是求周期，不要求具体变化规律，所以我们可以直接采用上述结果。 直接找特征根，q=a=G(t)=0时（外部输入量）矩阵方程：特征方程：当b=0.5, k=2时有所以周期为年 如没有外界输入，系统将无休止的波动。 亦即，对于一个宏观经济系统，如果是用线性方程组来描述，当输入为0时，一定可以写成差分方程组；同时，一定可以表示为标准形式（状态方程），则有状态矩阵、特征方程、特征根。

10、所有状态变量为特征根的t次方的线性组合。2. 前面我们假设输入为0，如果G不为0 出现干扰项，则有：标准化状态方程： A为状态矩阵问题：的解与A及u(z)的特征根都有什么关系？ 首先，常数a的特征根为1。因为 其次，对于这一个干扰项（输入）可以证明： 如那么 最后，即将输入的干扰项转为系统内，变成一个新系统。如果 那么 即系统内的任一变化规律为：固有根与外部根的叠加。总结：1）线性系统如果可以写成差分方程，则一定可以写成标准方程（状态方程） 2）有输入，一定有输出 3）设系统固有根，输入干扰根。线性系统 输入 输出 4）对其考察变化情况。以上，求出了反映系统特征的规律，虽不是最终解，但可以反映

11、系统的特征，可以讨论系统的其他特性（增长率、周期等），并可以简化计算。三、课后作业1生态平衡模型 自然界万物的运动变化的规律是很复杂的，如我们前面讲到的，兔口、人口模型，可以自然繁殖，在生存环境很好的情况下，就会成灾；但一些动物，如鱼类，人们的捕捞可以使自然繁殖速率下降，而过量的捕捞，则可造成渔业资源的枯竭。只有适当的捕捞才可以达到渔业资源的生态平衡。而我国近几十年经常会发生对资源的过渡索取，如黄花鱼。对环境保护也有生态平衡问题。农药施肥、化工厂、汽车尾气、等对环境造成的污染，必须加以控制以维护环境的平衡。对于生态环境的变化，用数学方程描述十分的复杂。一般使非线性差分方程或非线性微分方程。但也有一些情况，使用线性差分方程描述其运动规律也有一定的准确性，下面举例说明线性差分方程在研究生态平衡中的应用。如，年轻人吸烟，会有尼古丁的吸入体内，故留在肺、血液中，由医学上的测定