电磁场与电磁波ch1矢量分析

1、第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组第一章第一章 矢量分析矢量分析第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基础内容。础内容。 矢量代数矢量代数 常用正交坐标系常用正交坐标系 标量场的标量场的梯度梯度 矢量场的矢量场的散度散度 矢量场的矢量场的旋度旋度 拉普拉斯运算拉普拉斯运算 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理本章内容本章内容第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与

2、电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示 A矢量的几何表示矢量的几何表示矢量可表示为：矢量可表示为： 其中其中 为为模值模值，表征矢量的，表征矢量的大小大小； 为为单位矢量单位矢量，表征矢量的，表征矢量的方向方向； 说明：矢量书写时，说明：矢量书写时，印刷体印刷体为场量符号加粗，如为场量符号加粗，如 。教材。教材上的矢量符号即采用印刷体。上的矢量符号即采用印刷体。1.1 矢量代数矢量代数1.1.1 标量和矢量标量和矢量 标量与矢量标量与矢量 标量：标量：只有大小，没有方向只有大小，没有方向的物理量的物理量( (电压电压U

3、 U、电荷量、电荷量Q Q、能量、能量W W等）等） 矢量：矢量：既有大小，又有方向既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）的物理量（作用力，电、磁场强度） 矢量的代数表示矢量的代数表示FEHBDAAeDAAeAAAeA第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组xxyyzzAe Ae Ae AcoscoscosxyzAAAAAA(coscoscos )xyzAA eee 矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示coscoscosAxyzeeeezAxAAyAzxyO第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科

4、技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组1.1.2 矢量代数运算矢量代数运算xxyyzzxxyyzzAe Ae Ae ABe Be Be B()()ABBAABCABC()()()xxxyyyzzzABeABeABe AB 矢量的加法和减法矢量的加法和减法说明：说明：1 1、矢量的加法符合、矢量的加法符合交换律交换律和和结合律结合律： 2 2、矢量相加和相减可用、矢量相加和相减可用平行四边形法则平行四边形法则求解：求解： BAABBAABB第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组cosABxxyyzzA BA BA BA

5、BA B 矢量的乘法矢量的乘法 矢量与标量相乘矢量与标量相乘xxyyzzAkAe kAe kAe kAe k A标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。 矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）()A BB AA BCA BA C 说明：说明：1 1、矢量的点积符合交换律和分配律：、矢量的点积符合交换律和分配律： 2 2、两个矢量的点积为标量两个矢量的点积为标量 ABABAB0A B /A BA BAB 3 3、第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组sin()()()xyznABxyzx

6、yzxyzzyyzxxzzxyyxeeeA Be ABAAABBBeA BA BeA BA BeA BA B 矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）说明：说明：1 1、矢量的叉积、矢量的叉积不符合不符合交换律，但交换律，但符合符合分配律：分配律： 2 2、两个矢量的叉积为矢量两个矢量的叉积为矢量 ()A BBAABCA BA C 3 3、矢量运算恒等式、矢量运算恒等式()()()()()()A B CB CACA BAB CB A CC A B sinABBABA第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 三维空间任意一点的位置可通

7、过三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线的交点三条相互正交线的交点来确定。来确定。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：直角坐直角坐标系标系、圆柱坐标系圆柱坐标系和和球坐标系球坐标系。 三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交坐标系正交坐标系；三条正交线称为；三条正交线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称为；描述坐标轴的量称为坐坐标变量标变量。1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电

8、磁场与电磁波课程组1.2.1 直角坐标系直角坐标系xyzre xe ye z位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量ddddxyzlexeye zdd dd dxxyzxSe lle y zdd dd dzzxyzSe lle x y体积元体积元dd d dVx y zdd dd dyyxzySellex z坐标变量坐标变量, ,x y z坐标单位矢量坐标单位矢量,xyze e e 点点P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 xezeyex yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元

9、、面积元、体积元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组1.2.2 圆柱坐标系圆柱坐标系dd dd ddd dd ddd dd dzzzzzSellezSellezSe lle , z 坐标变量坐标变量,zee e 坐标单位矢量坐标单位矢量zree z位置矢量位置矢量ddddzreee z 线元矢量线元矢量dd d dVz 体积元体积元面元矢量面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系圆柱坐标系第第1 1章章电磁场与电

10、磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组说明：说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：圆柱坐标系下矢量运算方法：zzzzAe Ae Ae ABe Be Be B()()()zzzABeABeABe AB() ()zzzzzzA Be Ae Ae Ae Be Be BA BA BA B ()()zzzzzzzeeeA BAAAeA BA BeA BA BBBB()ze A BA B加减：加减：标积：标积：矢积：矢积：第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组1.2.3 球面坐标系球面坐标系2dd d

11、sin d drrrSe lle r dd dsin d drzSel le rrdd dd drSe l le r r球坐标系球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元,r 坐标变量坐标变量,re e e 坐标单位矢量坐标单位矢量rre r位置矢量位置矢量dddsin drrere re r 线元矢量线元矢量2dsin d d dVrr 体积元体积元面元矢量面元矢量第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组说明：球面坐标系下矢量运算：说明：球面坐标系下矢量运算： rrrrAe Ae Ae ABe Be

12、Be B()()()rrrABe ABeABeAB() ()rrrrrrA Be Ae Ae Ae Be Be BA BA BA B ()()()rrrrrrrreeeABAAABBBe A BA BeA BA BeA BA B加减：加减：标积：标积：矢积：矢积：第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组1.2.4 坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系 xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐标直角坐标与与圆柱坐标系圆柱坐标系eezereeesin0cossincos0001圆柱坐标圆柱坐标与与球坐标系

13、球坐标系直角坐标直角坐标与与球坐标系球坐标系zereeecossincossinsincos0 xeyesinsinsincoscossinoxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系xeyeeeorz单位圆单位圆 柱坐标系与球坐标系之间柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系zeeree第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组三种坐标系有不同适用范围：三种坐标系有不同适用范围：1 1、直角坐标系适用于场呈、直角坐标系适用于场呈面对称分布面对称分布的问

14、题求解，如无限大的问题求解，如无限大面电荷分布产生电场分布。面电荷分布产生电场分布。2 2、柱面坐标系适用于场呈、柱面坐标系适用于场呈轴对称分布轴对称分布的问题求解，如无限长的问题求解，如无限长线电流产生磁场分布。线电流产生磁场分布。3 3、球面坐标系适用于场呈、球面坐标系适用于场呈点对称分布点对称分布的问题求解，如点电荷的问题求解，如点电荷产生电场分布。产生电场分布。第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组1.3 标量场的梯度标量场的梯度q 如果物理量是标量，称该场为如果物理量是标量，称该场为标量场标量场。 例如例如：温度场、

15、电位场、高度场等。：温度场、电位场、高度场等。q 如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为矢量场矢量场。 例如例如：流速场、重力场、电场、磁场等。：流速场、重力场、电场、磁场等。q 如果场与时间无关，称为如果场与时间无关，称为静态场静态场，反之为，反之为时变场时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为： ( , , , )u x y z t 、( , , , )F x y z t 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个域上定义了一个场场。从数学上看，场是定义在空间区域上的

16、函数：从数学上看，场是定义在空间区域上的函数： 标量场和矢量场标量场和矢量场( , , )u x y z 、( , , )F x y z静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为：第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组1.3.1 标量场的等值面标量场的等值面标量场的等值线标量场的等值线( (面面) )等值面等值面: : 标量场取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。( , )u x y zC等值面方程等值面方程：常数常数C C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的

17、值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。 等值面的特点等值面的特点：意义意义: : 形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组1.3.2 方向导数方向导数表征空间表征空间某点处某点处标量场场值沿标量场场值沿特定方向特定方向变化率。变化率。 方向导数定义：方向导数定义：000()()limlMu Mu

18、Mull M0Mll( )u rcoscoscosuuuxyz 的方向余弦。的方向余弦。 coscoscos、l 方向导数物理意义：方向导数物理意义：00Mul，标量场，标量场 在在 处沿处沿 方向增加率；方向增加率；u0M00Mul，标量场，标量场 在在 处沿处沿 方向减小率；方向减小率；u0Mll00Mul，标量场，标量场 在在 处沿处沿 方向为等值面方向（无改变）方向为等值面方向（无改变）u0Ml第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组方向导数既与方向导数既与点点M M0 0有关有关，也与，也与方向方向有关。有关。问题问题

19、： 在什么方向上变化率最大在什么方向上变化率最大? ? 最大的变化率为多少？最大的变化率为多少？梯度梯度第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 梯度的定义梯度的定义max( , , )lugradu x y zel式中：式中： 为场量为场量 最大变化率最大变化率的方向上的单位矢量。的方向上的单位矢量。le 梯度的性质梯度的性质 标量场的梯度为标量场的梯度为矢量矢量，且是坐标位置的函数，且是坐标位置的函数 标量场梯度的幅度表示标量场的标量场梯度的幅度表示标量场的最大变化率最大变化率 标量场梯度的方向标量场梯度的方向垂直于垂直于等

20、值面，为标量场等值面，为标量场增加最快增加最快的方向的方向 标量场在给定点沿任意方向的标量场在给定点沿任意方向的方向导数方向导数等于等于梯度在该方向投影梯度在该方向投影1.3.3 标量场的梯度标量场的梯度u第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 梯度的运算梯度的运算1rzuuuueeerrz 11sinruuuueeerrr 直角坐标系：直角坐标系：()xyxyzzuuueeexgrad ueeexzzuyy哈密顿算符u 球面坐标系：球面坐标系：11()sinreeerrr 柱面坐标系：柱面坐标系：1()rzeeerrz 第第

21、1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组0()()()( )( )CCuCuuvuvuvuvvuf ufuu 梯度运算相关公式梯度运算相关公式式中：式中： 为常数；为常数； C,u v为坐标变量函数；为坐标变量函数； 第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 解解 (1)(1)由梯度计算公式，可求得由梯度计算公式，可求得P P点的梯度为点的梯度为22()()PxyzPeeexyzxyz(1,1,1)(22)22xyzxyzexeyeeee 例例1.2.1 设一标量函数

22、设一标量函数 ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空间标量描述了空间标量场。试求：场。试求：(1) 该函数该函数 在点在点 P(1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯度方向的单处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。位矢量。(2) 求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量方向的方向导数，并以点方向的方向导数，并以点 P(1,1,1) 处的方向导数值与该点的梯度处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。值作以比较，得出相应结论。ooocos60cos45cos60lxyzeeee第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课

23、程组表征其方向的单位矢量表征其方向的单位矢量 222(1,1,1)22221333(2 )(2 )( 1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy (2) (2) 由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el 方向的方向方向的方向导数为导数为对于给定的对于给定的P P 点，上述方向导数在该点取值为点，上述方向导数在该点取值为(1,1,1)1221222Pxyl121(22) ()222lxyzxyzeexeyeeeel 122xy第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组而该点的梯度值为而该点的梯度

24、值为 222(1,1,1)(2 )(2 )( 1)3Pxy 显然，梯度显然，梯度 描述了描述了P P点处标量函数点处标量函数 的最大变化率，的最大变化率，即最大的方向导数，故即最大的方向导数，故 恒成立。恒成立。PPPl 第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 1. 1. 矢量线矢量线 意义：意义：形象直观地描述了矢量场的空间分形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。布状态。ddd( , , )( , , )( , , )xyzxyzF x y zF x y zF x y z矢量线方

25、程：矢量线方程：概念：概念：矢量线是这样的曲线，其上每一矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。的方向。矢量线矢量线OM Fdrrrdr第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组矢量场的通量矢量场的通量 ( )SF rd S 若矢量场若矢量场 分布于空间中，在分布于空间中，在空间中存在任意曲面空间中存在任意曲面S S，则定义：，则定义：( )F r为为矢量矢量 沿沿有向曲面有向曲面 S S 的通量的通量。1.4.2 1.4.2 矢量场的通量矢量场的通量( )F r问题问题：如

26、何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？ 引入引入通量通量的概念。的概念。 若若S 为闭合曲面为闭合曲面 ( )srd AS物理意义：表示穿入和穿出闭合面物理意义：表示穿入和穿出闭合面S S的通量的的通量的代数和代数和。 第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组cos ( )nsssF dSF e dSFr dS 3) 3) 1) 1) 面元矢量面元矢量 定义：面积很小的定义：面积很小的有向有向曲面。曲面。dS：面元面积，为微分量，：面元面积，为微分量，无限小无限小dSne：面元法线方向，：面元法线方向，垂直于垂直于面

27、元平面。面元平面。 nedS2) 2) 面元法向面元法向 的确定方法：的确定方法： 对非闭合曲面：由曲面边线绕向按对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手右手螺旋法则螺旋法则确定；确定； 对闭合曲面：闭合面对闭合曲面：闭合面外法线方向外法线方向ne关于矢量场通量的说明关于矢量场通量的说明第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 若若 ，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发出矢量线的出矢量线的正源正源；0 若若 ，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集

28、矢量线的负负源源；0 若若 ，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无无源源，或或正源负源代数和为正源负源代数和为0 0。0 通过闭合面通过闭合面S S的通量的物理意义：的通量的物理意义：000第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组1.4.31.4.3、矢量场的散度、矢量场的散度 散度的定义散度的定义 在场空间在场空间 中任意点中任意点M M 处作一个闭合曲面，所围的体积处作一个闭合曲面，所围的体积为为 ，则定义场矢量，则定义场矢量 在在M M 点处的散度为：点处的散度为： ( )F

29、 rV0( )div( )limsVF rdF rVS( )F r即即流出单位体积元封闭面的通量，流出单位体积元封闭面的通量，体现了体现了点点M处的通量源密度。处的通量源密度。第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 散度的物理意义散度的物理意义 矢量场的散度表征了矢量场的矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性通量源的分布特性( (体密度体密度) )； 矢量场的矢量场的散度是标量散度是标量； 矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场的散度是空间坐标的函数； 矢量场的散度值表征空间中某点处矢量场的散度值表征空间中某点处通量源的密度

30、通量源的密度。( ( 正源正源) )( )0divF r 负负源源) )( )0divF r( ( 无源无源）( )0divF r 若若 处处成立，则该矢量场称为处处成立，则该矢量场称为无散场无散场 若若 ，则该矢量场称为，则该矢量场称为有散场有散场， 为源密度为源密度( )0divF r( )0divF r 讨论：在矢量场中，讨论：在矢量场中，第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 在直角坐标系下：在直角坐标系下：( )yxzFFFdivF rxyz() ()xyzxxyyzzeeeF eF eF exyz( )F r 在圆

31、柱坐标系下：在圆柱坐标系下： 在球面坐标系下：在球面坐标系下：()11( )rzFrFFF rrrrz22111( )()(sin)sinsinrFF rr FFrrrr 散度的计算散度的计算第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 散度运算相关公式散度运算相关公式0 ()()()()()()()CCCCfCffkFkF kf FfFFfFGFG 为常矢量为标量函数为常数1.4.4 散度定理（矢量场的高斯定理）散度定理（矢量场的高斯定理）( )( )VsF r dVF rdS 该公式表明了矢量场该公式表明了矢量场 的散度在体积的

32、散度在体积V内的积分等于矢量场穿内的积分等于矢量场穿过包围该体积的过包围该体积的边界面边界面S S的通量。的通量。( )F r第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组1.5 矢量场的环流矢量场的环流 旋度旋度磁感应线要磁感应线要么穿过曲面么穿过曲面磁感应线要么同时磁感应线要么同时穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感应线磁感应线磁场的环流：磁场的环流：第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组1.5.1 1.5.1 矢量的环流矢量的环流在场矢量在场矢量 空间中，取一有向闭

33、合空间中，取一有向闭合路径路径 ，则称，则称 沿沿 积分的结果称积分的结果称为矢量为矢量 沿沿 的环流。即：的环流。即：( )F r( )F r( )F r( )lF rdl 线元线元矢量矢量 ：长度趋近于：长度趋近于0 0，方向沿路径切线方向。，方向沿路径切线方向。dl 环流意义：若矢量场环流不为零，则矢量场中存在产生环流意义：若矢量场环流不为零，则矢量场中存在产生矢量场的漩涡源。矢量场的漩涡源。反映矢量场漩涡源分布情况反映矢量场漩涡源分布情况讨论：讨论：SSn 环量的定义APllll第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组1

34、.5.2 1.5.2 矢量的旋度矢量的旋度 环流面密度环流面密度0limcnsF dlrot FS 称为矢量场称为矢量场 在在M M点处沿点处沿 方向的漩涡源密度方向的漩涡源密度。( )F r n定义：定义：空间某点空间某点M M处单位面元边界闭合曲线的环流：处单位面元边界闭合曲线的环流：SCMFn1)1)环流面密度大小与所选取的单位面元方向环流面密度大小与所选取的单位面元方向 有关。有关。nrotnnFe rotF（投影关系）2) 任意取向面元的环流面密度与最大环流面密度的关系：任意取向面元的环流面密度与最大环流面密度的关系：第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学

35、电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 矢量场的矢量场的旋度旋度 矢量场在矢量场在M M点的旋度为该点处点的旋度为该点处环流面密度最大时环流面密度最大时对应的矢量，对应的矢量，模值等于模值等于M M点处最大环流面密度点处最大环流面密度，方向为，方向为环流密度最大的方向环流密度最大的方向，表，表示为示为 ，即：，即：rot F式中：式中： 表示矢量场旋度的方向；表示矢量场旋度的方向； nmax0rotlimcSF dlFnS 旋度的物理意义旋度的物理意义 矢量的旋度为矢量的旋度为矢量矢量，是空间坐标的函数，是空间坐标的函数 矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的矢量在空间某点处的旋度表征矢

36、量场在该点处的漩涡源密度漩涡源密度第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 旋度的计算旋度的计算 直角坐标系：直角坐标系：xxyyzzrotFe rot Fe rot Fe rot F()()()yyxxzzxyzFFFFFFeeeyzzxxy()xyzxxyyzzeeee Fe Fe FxyzF xyzxyzeeexyzFFF第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组1zzeeeFzFFF2sin1sinsinrrerereFrrFrFrF 柱面坐标系：柱面坐标系

37、： 球面坐标系：球面坐标系：矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零()fFfFfF ()fCfC 0C ()FGFG ()FGGFFG ()0F ()0u 旋度计算相关公式：旋度计算相关公式：证明证明证明证明第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组讨论：散度和旋度比较讨论：散度和旋度比较 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组1.5.3 1.5.3 斯托克斯定理斯托

38、克斯定理()cdd lAAS0limro tcnSdSlAe由旋度的定义 对于有限大面积s，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有)11()clA dAdS 22()clA dAdS ()sAdS clA d()SlA dSA dl斯托克斯定理的证明：得证！ 意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的环流。该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的环流。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大方向相反大小相等抵消小相等抵消第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组 若矢量场若矢量场

39、 在某区域在某区域V V内，处处内，处处 ，但在某些位，但在某些位置或整个空间内，有置或整个空间内，有 ，则称在该区域，则称在该区域V V内，场内，场 为无旋场。为无旋场。 1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.6.1 1.6.1 无旋场无旋场0F0F( )F r( )F r( )( )0cSF rdlF rdS结论：结论：无旋场场矢量沿任何闭合路径的环流等于零无旋场场矢量沿任何闭合路径的环流等于零( (无漩涡源无漩涡源) )。 重要性质重要性质：无旋场的旋度始终为无旋场的旋度始终为0，可引入标量辅助函数可引入标量辅助函数表征矢量场，即表征矢量场，即Fu 例如：静电场例如：静电场0EE 第第

40、1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组1.6.2 1.6.2 无散场无散场 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处内，处处 ，但在某些位置，但在某些位置或整个空间内，有或整个空间内，有 ，则称在该区域，则称在该区域V V内，场内，场 为为无源有旋场。无源有旋场。 ( )F r0F0FJ( )F r( )( )0SVF rdSF r dV结论：结论：无散场通过任意闭合曲面的通量等于零（无散度源）无散场通过任意闭合曲面的通量等于零（无散度源）。 重要性质：重要性质：无散场的散度始终为无散场的散度始终为0，可引入矢量函数的旋度

41、表示无散场，可引入矢量函数的旋度表示无散场FA 例如，恒定磁场例如，恒定磁场BA 0B第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组（3 3）无旋、无散场）无旋、无散场 （源在所讨论的区域之外）（源在所讨论的区域之外）0F （4 4）有散、有旋场）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分( )( )( )( )( )lCF rF rFru rA r 无旋场部分无旋场部分无散场部分无散场部分()0u Fu 20u0F 第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电

42、子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组1.7 拉普拉斯运算拉普拉斯运算v 标量场的拉普拉斯运算标量场的拉普拉斯运算对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：2uu 2“”式中：式中：称为拉普拉斯算符。称为拉普拉斯算符。v 在直角坐标系中：在直角坐标系中：2222222uuuuxyzv 在圆柱坐标系中：在圆柱坐标系中：22222211()uuuuzv 在球面坐标系中：在球面坐标系中：(1.7.3)(1.7.3)第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学电磁场与电磁波课程组电磁场与电磁波课程组v 矢量场的