2022年—学年海淀区高三年级第一学期期中考试【数学(理)】试卷及答案

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip 会员免费海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科）2021.11一、挑选题共8 小题，每道题5 分，共 40 分；在每道题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项；Px x2x20，M1,0,3,4，就集合PM 中元素的个数为B 2C 3D 41已知集合A 1 2以下函数中为偶函数的是A y1 xB ylg xC y x12D y2x3在ABC 中，A60， AB2 ， AC1 ，就 ABAC 的值为11A 1B 1CD 224数列an的前 n 项和为Sn ，如 SnSn 12n1n2 ，且S23 ，就 a1a3

2、 的值为A 1B 3C 5D 65已知函数f xcos4 xsin 4 x ，以下结论中错误的是A fxcos 2xB函数f x 的图象关于直线x0 对称C fx 的最小正周期为Df x 的值域为 2,26“ x0 ”是“ xsin x0 ”的A 充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7如图，点 O 为坐标原点， 点 A1,1如函数ya x a0 ，且 a1) 及 ylogbxb0 ，且 b1 的图象与线段OA 分别交于点M ，N，且 M ，N，恰好是线段OA 的两个三等分点，就a， b 满意A ab1B ba1C ba1D ab1精选名师 优秀名师 - - - -

3、 - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip 会员免费1, x1,8已知函数f xx,1x1, 函数g xax2x1如函数yf xg x 恰1,x1,好有 2 个不同零点，就实数的取值范畴是A 0,B ,02,C ,1 1,2D ,00,1二、填空题共6 小题，每道题5 分，共 30 分；292 xdx ；110在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c如 c4 ，sin C2sinA ，sinB15 ，4就 a ， S ABC ；11已知等差数列an的公差 d

4、0 ，且 a3a9a10a8 如 an0 ，就 n 12已知向量a1,1，点A3,0，点 B 为直线 y2 x 上的一个动点如AB / / a ，就点B 的坐标为 13已知函数f xsinx0 如f x 的图象向左平移个单位所得的图象与3f x 的图象向右平移6 个单位所得的图象重合，就的最小值为 14对于数列an，如m,nN mnaman，都有tt 为常数 成立，就称数列anmn具有性质Pt （i ）如数列an的通项公式为an2n ，且具有性质Pt ，就 t 的最大值为 ；（ ii ）如数列an的通项公式为ann2a n，且具有性质P10 ，就实数 a 的取值范畴是 ；精选名师 优秀名师 -

5、 - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip 会员免费三、解答题共6 小题，共80 分；解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程；15（本小题满分13 分）已知等比数列an的公比 q0 ，其前 n 项和为Sn ，如a11， 4a3a2a4 （ I）求公比 q 和 a5 的值；（ II ）求证： Sn2 an16（本小题满分13 分）已知函数f x3 sin2 xcos2x 33（ I）求f 的值； 6（ II ）求函数f x 的最小正周期和单调递增区间17（本小

6、题满分13 分）如图， 在四边形ABCD 中， AB8 ， BC3 ，CD5 ，A， cos 3ADB1 7（ I）求 BD 的长；（ II ）求证：ABCADC18（本小题满分13 分）132已知函数f xxxax31 ，曲线yf x 在点 0,1 处的切线为l （ I）如直线 l 的斜率为3 ，求函数f x 的单调区间；（ II ）如函数f x 是区间 2, a 上的单调函数，求a 的取值范畴精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vi

7、p 会员免费19（本小题满分14 分）已知由整数组成的数列an各项均不为0，其前 n 项和为Sn ， 且 a1a ，2Snanan 1 （ I）求 a2 的值；（ II ）求an的通项公式；（ III ）如 n15 时，Sn 取得最小值，求a 的值20（本小题满分14 分）已知 x 为实数，用 x表示不超过x 的最大整数， 例如 1.21 ，1.22 ，11 对于函数f x ，如存在mR 且 mZ ，使得f mf m ，就称函数f x 是函数（ I）判定函数f xx21 x ，3g xsinx 是否是函数；（只需写出结论）（ II ）设函数f x 是定义在 R 上的周期函数， 其最小正周期为T

8、如f x 不是函数，求 T 的最小值；（ III ）如函数f xxa是函数，求a 的取值范畴x精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip 会员免费阅卷须知 :海淀区高三年级第一学期期中练习理数2021.111评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数；2其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分；一、挑选题：本大题共8 小题，每道题5 分，共 40 分. 1 B ； 2 B； 3 A ； 4 C； 5 D； 6C； 7 A

9、；8 D； 二、填空题：本大题共6 小题，每道题5 分，共 30 分.9 3； 10 2 ;15 ； 11 5； 12 3,6 ；13 4 ； 14 2； 36, ；说明；第10， 14 题第一空3 分，其次空2 分三、解答题：本大题共6 小题，共80 分.15解：（）法一：由于 an 为等比数列，且4a3a2 a4 ，2所以 4a3a3，所以 a34 ，由于 q2a3a1a34 ，所以 q2 .1由于 an0 ，所以 q0 ，即 q251所以 aa q416 .-3分-6分法二：由于 an 为等比数列，且4a3a2 a4 ，所以 4a q2a q4 ，所以q24 ，所以 q2 ，11由于 a

10、n0 ，所以 q0 ，即 q251所以 aa q416 .-3分n1（）法一：-6分由于 q2，所以 ana1q2n 1 ,-分精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip 会员免费由于 Sna1 11qn q2n1,所以 Snn2121,-10分na2n 12n 1n由于10，所以 Sn 2n 1a12n 12 .2法二：由于q2 ，所以aa qn 12n 1 ,-13分n1所以 Sna1 11qn q2n1,-分所以 Sn2an12n

11、 10 ，所以 Sn2 .an-10分法三：由于q2 ，所以aa qn 112n,-13分n1所以 Sna1 11qn q2n1.-分a要证 Sn2 ，只需 S2a， 只需 2 n12 n-10分nnn上式明显成立，得证.16解：-13分（）由于f x3sin2 x,cos2 x33所以 ,f 3sin2cos2 6636322313sincos1.3322-4分精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip 会员免费（）由于f x3sin

12、2 x,cos2 x3331所以 f x2sin2 xcos2x23232cossin2 xsincos2 x2sin2 x6363362sin2 x 2-7分2cos 2 x,-9分所以周期 T2 .2-11分令 2k 2x2k，-12分解 得 k 2xk， kZ ，所以 f x 的单调递增区间为k,kZ ., k2-13分法二：由于f x3sin2 x,cos2 x33所以 f x3sin2 x coscos2x sincos2 xcossin2 x sin3333-7分13133sin 2xcos2 xcos2xsin 2x22222cos 2 x-9分所以周期 T2 .2-11分令 2

13、k 2x2k，-12分解 得 k 2xk， kZ ,所以 f x 的单调递增区间为k,kZ., k2-13分精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip 会员免费精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip 会员免费17解：（）法一：在ABD 中，由于cosADB1 ，ADB70,

14、,所以 sin43ADB,7依据正弦定理，有BDAB,-3分代入 AB解得 BD8,A7 .sinA,3sinADB-6分-7分法二：作 BEAD 于 E .由于 AB8,A，所以在3ABD 中，BEABsin343 .-3分在BDE 中，由于cosADB1 ，ADB70, ，所以 sin43ADB,7所以 BDsinBE7 .BDE-6分-7分（）法一：在BCD 中，依据余弦定理c o s CB C2C D22B CC DB D2,-10分代入 BC3,CD5 ，得cosC1 ，2.C0, ,所以C23-12分所以AC，而在四边形ABCD 中AABCC +ADC2 所以ABCADC.-13分

15、精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip 会员免费法二：在ABD 中，cosABD11 , 所以14sinABD53 ，14cosADB1， 所 以7sin43ADB.7在BCD 中，cosDBC11 , 所以14sin53ABD,14-8分cosBDC13 ， 所以14sinADB33 .14所以 cosABCcosABDDBC ，-9分cosABD cosDBCsinABD sinDBC2398-11分cosADCcosADBBD

16、C ，cosADB cosBDCsinADB sinBDC2398-12分即 cosABCcosADC ,所以ABCADC.-13分18解（）由于f 01，所以曲线yf x经过点 0,1 ,又 f 'xx22 xa ,所以 f'0a3 ,-2分所以 f' xx 22x3 .-3分当 x 变化时，f ' x ，f x 的变化情形如下表：x,333,111，+f ' x00f x极大值微小值-5分精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - -

17、- - - - - - - - -vip 会员免费所以函数f x 的单调递增区间为,3 ， 1,+ ,单调递减区间为3,1.（）由于函数f x 在区间 2, a 上单调 ,-7分当函数f x 在区间 2, a上单调递减时，f ' x0 对 x2, a 成立，即 f 'xx22 xa0 对 x2, a 成立，依据二次函数的性质，只需要f '20，解得3f 'a0a0 .又2a ，所以2a0 .-9分当函数f x 在区间 2, a上单调递增时，f ' x0 对 x2, a 成立，只要 f' xx22xa 在 2, a 上的最小值大于等于0 即可，由于

18、函数f ' xx22xa0 的对称轴为x1 ，当2a1 时，f ' x在 2, a 上的最小值为f ' a ，解 f 'a=a23a0 ，得 a0 或 a3，所以此种情形不成立.当1a 时，f ' x 在 2, a 上的最小值为f '1 ，-11分解 f '112a0 得 a1 ，所以 a1 ，综上，实数a 的取值范畴是2a0 或 a1 .-13分19解：（）由于2Snan an1 ，所以2S1a1a2 ，即2a1a1a2 ,由于 a1a0 ，所以a22 ,（）由于2Snan an 1， 所 以2Sn 1an 1an n2) ，两式相减，

19、-2分得到 2anan an 1an 1 ，-4分精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip 会员免费由于 an0 ，所以an 1an 12 ，所以 a2k1,a2 k 都是公差为2 的等差数列，当 n2k1 时， ana12 k1na1 ,-6分当 n2k 时， an22k12kn ,所以 anna1, n ,n为奇数 ,n为偶数 .-8分（）法一：由于2Snan an1 ，由（）知道anna1,n为奇数 ,所以 Sn1 na211

20、n1,n为奇数 ,n ,n为偶数 ,n na ,2n为偶数 ,-10分留意到全部奇数项构成的数列是一个单调递增的，全部偶数项构成的数列是一个单调递增的，当 n 为偶数时， an0 ，所以此时SnSn 1 ，所以 S15 为最小值等价于S13S15 , S15S17 ，-12分所以 a14a150,a16a170 ，所以 1415a10, 1617a10 ，解得32a28 .-13分由于数列 an 是由整数组成的，所以a32,31,30,29,28 .又由于 an0 ，所以对全部的奇数n ， anna10 ，所以 a 不能取偶数，所以a31,a29 .-14分法二：精选名师 优秀名师 - - -

21、 - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip 会员免费由于 2Snan an 1 ， 由（）知道anna1,n为奇数 ,所以 Sn1na21n1,n ,n为奇数 ,n为偶数 ,1 n na , 2n为偶数 ,-10分由于 S15 为最小值，此时n 为奇数，当 n为奇数 时， Sn1 na21n1 ，依据二次函数的性质知道，有14a16 ，解得32a228 ，-12分由于数列 an 是由整数组成的，所以a32,31,30,29,28 .又由于 an0 ，所以对全部的奇数n ， anna10 ，所以 a 不能取偶数，所以a31,a29 .-13分经检验，此时Sn 为最小值，所以a31,a29