2017年高考导数压轴题终极解答

1、四、不等式恒成立求字母范围恒成立之最值的直接应用1. （2008天津理20倒数第3大题，最值的直接应用，第3问带有小的处理技巧）已知函数，其中.若曲线在点处切线方程为,求函数的解析式；讨论函数的单调性；若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.解：，由导数的几何意义得，于是由切点在直线上可得，解得所以函数的解析式为当时，显然(),这时在，上内是增函数当时，令，解得当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值在，内是增函数，在，内是减函数由知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立从而得，所以满足条件的的取值范围是恒成立之分离常数2. （分离常数）

2、已知函数(1) 若在处的切线平行于直线，求函数的单调区间；(2) 若，且对时，恒成立，求实数的取值范围.解: (1) 定义域为,直线的斜率为,.所以 由; 由所以函数的单调增区间为,减区间为.(2) ，且对时，恒成立,即.设.当时, ,当时, ,.所以当时,函数在上取到最大值,且所以,所以所以实数的取值范围为.（法二）讨论法，在上是减函数，在上是增函数.当时，解得，.当时，解得，.综上.3. （2011长春一模，恒成立，分离常数，二阶导数）已知函数,（其中R,为自然对数的底数）.(1)当时,求曲线在处的切线方程；(2)当1时,若关于的不等式0恒成立,求实数的取值范围.（改x0时，0恒成立.1）

3、解：（1）当时，,切线方程为（2）方法一1,12)(2-=axxexfxaÛ0xxex122-, 设xxexgx12)(2-=,则2212)1()('xxexxgx+-=, 设,则, 在上为增函数,在上为增函数,方法二,设, 0,0,在上为增函数,.又0恒成立,0,在上为增函数, 此时0恒成立,（改x0时，0恒成立.1）解：先证明在上是增函数，再由洛比达法则，1.（正常的讨论进行不了，除非系数调到二次项上，分两种情况讨论可得1）4. （两边取对数的技巧）设函数且） （1）求的单调区间； （2）求的取值范围； （3）已知对任意恒成立，求实数的取值范围。解：（1） ,当时，即.

4、当时，即或. 故函数的单调递增区间是. 函数的单调递减区间是.（2）由时，即，由（1）可知在上递增， 在递减，所以在区间（1，0）上，当时，取得极大值，即最大值为.在区间上，.函数的取值范围为.分（3），两边取自然对数得5. （分离常数）已知函数 （）若函数在区间其中a >0，上存在极值，求实数a的取值范围；（）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；解：（）因为， x >0，则， 当时，；当时，所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，所以函数在处取得极大值 因为函数在区间（其中）上存在极值，所以 解得 （）不等式即为 记所以 令，则， ， 在上单调递增， ，从而，故在上也单

5、调递增， 所以，所以 6. （2010湖南，分离常数，构造函数）已知函数 对任意的恒有.证明：当若对满足题设条件的任意b、c，不等式恒成立，求M的最小值。7. （第3问不常见，有特点，由特殊到一般，先猜后证）已知函数（）求函数f (x)的定义域（）确定函数f (x)在定义域上的单调性，并证明你的结论.（）若x>0时恒成立，求正整数k的最大值.解：（1）定义域（2）单调递减。当，令，故在（1，0）上是减函数，即，故此时在（1，0）和（0，+）上都是减函数（3）当x>0时，恒成立，令又k为正整数，k的最大值不大于3下面证明当k=3时，恒成立当x>0时 恒成立 令，则，当当取得最小

6、值当x>0时， 恒成立，因此正整数k的最大值为38. (恒成立，分离常数，涉及整数、较难的处理)已知函数 （）试判断函数上单调性并证明你的结论； （）若恒成立，求整数k的最大值；（较难的处理） （）求证：(1+1×2)(1+2×3)1+n(n+1)>e2n3.解：（I）上递减. （II）则上单调递增，又存在唯一实根a，且满足当故正整数k的最大值是3 .（）由（）知令，则ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+ln1+n(n+1)（1+1×2）（1+2×3）1+n（n+1）>e2n3 9. (分离常数，双参，较难)已知

7、函数，.（）若函数依次在处取到极值求的取值范围；若，求的值（）若存在实数，使对任意的，不等式 恒成立求正整数的最大值解：（1）.（2）不等式 ，即，即.转化为存在实数，使对任意，不等式恒成立,即不等式在上恒成立。即不等式在上恒成立。设，则。设，则，因为，有。故在区间上是减函数。又故存在，使得。当时，有，当时，有。从而在区间上递增，在区间上递减。又所以当时，恒有；当时，恒有；故使命题成立的正整数的最大值为5.10. （2008湖南理22，分离常数，复合的超范围）已知函数 求函数的单调区间;若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数），求a的最大值.（分离常数）解: 函数的定义域是，设则令则当

8、时， 在（1，0）上为增函数，当x0时，在上为减函数.所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以，函数g(x)在上为减函数.于是当时，当x0时，所以，当时，在（1，0）上为增函数.当x0时，在上为减函数.故函数的单调递增区间为（1，0），单调递减区间为.不等式等价于不等式由知，0，上式变形得设，则则由结论知，（）即所以于是G(x)在上为减函数.故函数在上的最小值为所以a的最大值为11. （变形，分离常数）已知函数(a为实常数).(1)若，求证：函数在(1,+)上是增函数； (2)求函数在1,e上的最小值及相应的值；(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围.解：当时，当，故函数在上

9、是增函数，当，若，在上非负（仅当，x=1时，），故函数在上是增函数，此时若，当时,；当时，此时是减函数；当时，此时是增函数故若，在上非正（仅当，x=e时，），故函数在上是减函数，此时不等式，可化为, 且等号不能同时取，所以，即，因而（）令（），又，当时，从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数，故的最小值为，所以a的取值范围是12. （分离常数，转换变量，有技巧）设函数.若函数在处与直线相切：求实数的值；求函数在上的最大值；当时，若不等式对所有的都成立，求实数的取值范围.解：（1）。函数在处与直线相切解得.当时，令得；令，得，上单调递增，在1，e上单调递减，. （2）当b=0时，若不等式对

10、所有的都成立，则对所有的都成立，即对所有的都成立，令为一次函数， .上单调递增，对所有的都成立.（注：也可令所有的都成立，分类讨论得对所有的都成立，请根据过程酌情给分）恒成立之讨论字母范围13. 设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)g(x).()若x=0是F(x)的极值点,求a的值；()当 a=1时,设P(x1,f(x1), Q(x2, g(x 2)(x1>0,x2>0), 且PQ/x轴,求P、Q两点间的最短距离；():若x0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(x)的图象上方,求实数a的取值范围解：()F(x)= ex+sinxax,.因为x=0是F

11、(x)的极值点,所以. 又当a=2时,若x<0, ;若 x>0, .x=0是F(x)的极小值点, a=2符合题意. () a=1, 且PQ/x轴,由f(x1)=g(x2)得:,所以.令当x>0时恒成立.x0,+时,h(x)的最小值为h(0)=1.|PQ|min=1. ()令则.因为当x0时恒成立, 所以函数S(x)在上单调递增, S(x)S(0)=0当x0,+时恒成立; 因此函数在上单调递增, 当x0,+时恒成立.当a2时,在0,+单调递增,即.故a2时F(x)F(x)恒成立. 14. （用到二阶导数，二次）设函数.若，求的最小值；若当时，求实数的取值范围.解：（1）时，.当

12、时，；当时，.所以在上单调减小，在上单调增加故的最小值为（2），当时，所以在上递增，而，所以，所以在上递增，而，于是当时， .当时，由得当时，所以在上递减，而，于是当时，所以在上递减，而，所以当时，.综上得的取值范围为.15. (第3问设计很好，2问是单独的，可以拿掉)已知函数，斜率为的直线与相切于点.（）求的单调区间；（）当实数时，讨论的极值点。（）证明：.解：（）由题意知：2分解得：； 解得：所以在上单调递增，在上单调递减4分（）=得：. 若即，+-+极大值极小值此时的极小值点为，极大值点7分 若即，则， 在上单调递增，无极值点. 若即，+-+极大值极小值此时的极大值点为，极小值点.综上述

13、：当时，的极小值点为，极大值点；当时，无极值点；当时，的极大值点为，极小值点.16. （2011全国I文21，恒成立，一次，提出一部分再处理的技巧）设函数.若a =，求的单调区间；若当0时0，求a的取值范围.解：时，.当时;当时，;当时，.故在，单调增加，在(1，0)单调减少.令，则.若，则当时，为减函数，而，从而当x0时0，即0，符合题意.若，则当时，为减函数，而，从而当时0，即0,不合题意. 综合得的取值范围为17. （2011全国新理21，恒成立，反比例，提出公因式再处理的技巧，本题的创新之处是将一般的过定点（0,0）变为过定点（1,0），如果第2问范围变为则更间单）已知函数在点处的切线

14、方程为.求、的值；如果当，且时，求的取值范围。解：，依意意且，即，解得，.由知，所以.设，则.（注意h(x)恒过点(1,0)，由上面求导的表达式发现讨论点0和1）当，由，（变形难想，法二）当时，.而，故当时，可得；当x(1,+)时，<0，可得>0,从而当x>0,且x1时，(+)>0，即>+.法二：的分子0，. 当0< k <1，由于当x(1,)时，(k1)(x2 +1)+2x>0,故>0,而=0，故当x(1,)时，>0，可得<0,不合题意.当k1，此时>0，则x(1，+)时，递增，<0,不合题意. 综上，k的取值范围

15、为(,018. （2010新课程理21，恒成立，讨论，二次，用到结论）设函数.若，求的单调区间；若当时，求的取值范围. 解：命题意图：本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力.时，.当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加.当时，由结论知，则，故，从而当，即时，而，于是当时，符合题意.时，由可得.（太难想，法二），故当时,，而，于是当时,.综合得的取值范围为.法二：设,则,令，得.当，在此区间上是增函数，在此区间上递增，不合题意.19. （恒成立，2010全国卷2理数，利用结论，较难的变形讨论）设函数证明：当时，

16、；设当时，求a的取值范围解：本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.20. 已知函数，且函数是上的增函数。（1）求的取值范围；（2）若对任意的，都有（e是自然对数的底），求满足条件的最大整数的值。解析：（1）设，所以，得到

17、所以的取值范围为2分（2）令，因为是上的增函数，且，所以是上的增函数。4分由条件得到（两边取自然对数），猜测最大整数，现在证明对任意恒成立。6分等价于，8分设，当时，当时，所以对任意的都有，即对任意恒成立，所以整数的最大值为214分21. （2008山东卷21）已知函数其中nN*,a为常数.当n=2时，求函数f(x)的极值；当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x2时，有f(x)x1.解：由已知得函数f(x)的定义域为x|x1，当n=2时， 所以当a0时，由f(x)=0得1，1，此时=.当x（1，x1）时，0,f(x)单调递减；当x（x1+）时，0, f(x)单调递增.当a0时，0恒成立，所以

18、f(x)无极值.综上所述，n=2时，当a0时，f(x)在处取得极小值，极小值为当a0时，f(x)无极值.证法一：因为a=1,所以 当n为偶数时，令则）=1+0（x2）.所以当x2,+时，g(x)单调递增，又g(2)=0，因此g(2)=0恒成立， 所以f(x)x1成立.当n为奇数时，要证x1,由于0，所以只需证ln(x1) x1, 令h(x)=x1ln(x1),则=10(x2), 所以,当x2，+时，单调递增，又h(2)=10， 所以当x2时，恒有h(x)0,即ln(x1)x1命题成立.综上所述，结论成立.证法二：当a=1时，当x2，时，对任意的正整数n，恒有1，故只需证明1+ln(x1) x1

19、.令则当x2时，0，故h(x)在上单调递增，因此，当x2时，h(x)h(2)=0，即1+ln(x1) x1成立.故当x2时，有x1.即f（x）x1.22. 已知函数，（）若，求的单调区间；（）对于任意的，比较与的大小，并说明理由解：（），-1分当时，在上恒成立，的递增区间为；-2分当时，的递增区间为；-3分 当时，的递增区间为，递减区间为；-4分（）令，令，在上恒成立，当时，成立，在上恒成立，在上单调递增，当时，恒成立，当时，恒成立， 对于任意的时，又，即23. （恒成立，思路不常见）已知函数，其中为实数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在实数，使得对任意，恒成立?若不存在，

20、请说明理由，若存在，求出的值并加以证明解：时，又，所以切线方程为.当时，则令，再令，当时，在上递减，当时，所以在上递增，所以时，则由知当时，在上递增当时，所以在上递增，；由得.24. 已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设（）求的值；（）不等式在上恒成立，求实数的范围；（）方程有三个不同的实数解，求实数的范围解:（）(1) 当时，上为增函数 故 当上为减函数故 即. .（）方程化为，令， 记 （）方程化为，令， 则方程化为 （）方程有三个不同的实数解，由的图像知，有两个根、， 且 或 ， 记则 或 25. 已知函数， 设 （1）是否存在唯一实数，使得，若存在，求正整数m的值；若不存在，说明

21、理由。（2）当时，恒成立，求正整数n的最大值。解：（1）由得 则因此在内单调递增。4分因为，即存在唯一的根，于是 6分（2）由得，且恒成立，由第（1）题知存在唯一的实数，使得，且当时，；当时，因此当时，取得最小值 9分由，得 即 于是 又由，得，从而，故正整数n的最大值为3。12分26. (第3问难想)已知函数，其中是自然数的底数，。（） 当时，解不等式；（） 若在，上是单调增函数，求的取值范围；（） 当时，求整数的所有值，使方程在，上有解。因为，所以不等式即为，又因为，所以不等式可化为，所以不等式的解集为4分，当时，在上恒成立，当且仅当时取等号，故符合要求；6分当时，令，因为，所以有两个不相

22、等的实数根，不妨设，因此有极大值又有极小值若，因为，所以在内有极值点，故在上不单调8分若，可知，因为的图象开口向下，要使在上单调，因为，必须满足即所以.综上可知，的取值范围是10分当时, 方程即为，由于，所以不是方程的解，所以原方程等价于，令，因为对于恒成立，所以在和内是单调增函数，13分又，所以方程有且只有两个实数根，且分别在区间和上，所以整数的所有值为16分27. （2010湖南文数，另类区间）已知函数其中a<0,且a-1.（）讨论函数的单调性；（）设函数（e是自然数的底数）。是否存在a，使在a,a上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。79.（2008辽宁理22，

23、第2问无从下手，思路太难想）设函数.求的单调区间和极值;是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?若存在,求的取值范围;若不存在,试说明理由.说明：本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力满分14分解：故当时，时，所以在单调递增，在单调递减由此知在的极大值为，没有极小值当时，由于，故关于的不等式的解集为当时，由知，其中为正整数，且有又时，且取整数满足，且，则，即当时，关于的不等式的解集不是综合知，存在，使得关于的不等式的解集为，且的取值范围为81.已知函数，记（）求的单调区间；（）当时，若，比较：与的大小；（）若的极值为，问是否存在实

24、数，使方程有四个不同实数根？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由。解：（）的定义域为（0，+）， 又 ， 当时，>0恒成立在（0，+）上单调递增； 令得当时，若， 在（0，）上单调递减；若，在（，+）上单调递增 故时，增区间为；时，增区间为，减区间为（0，）。 4分（）令，则，所以在1，+）上单调递增，.（）由（）知仅当时，在处取得极值由可得，方程为，令，得 由方程有四个不同的根，得方程有两个不同的正根，令，当直线与曲线相切时，得切点坐标（，） 切线方程为，其在y轴上截距为；当直线在轴上截距时，和在y轴右侧有两个不同交点，所以k的取值范围为（，0）. （注：也可用导数求解） 六、导数应用题82.某工厂生产某种儿童玩具，每件玩具的成本为30元，并且每件玩具的加工费为t元(其中t为常数，且2t5)，设该工厂每件玩具的出厂价为x元(35x41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例，当每件玩具的出厂价为40元时，日销售量为10件