不等式的实际应用

1、不等式的实际应用知识梳理：1、不等式应用题，题源丰富，综合性强，是高考应用题命题的重点内容之一；这类应用题常常与函数、数列、立体几何、解析几何等相综合，难度可大可小，具有一定的弹性；2、利用不等式解决实际应用问题关键是建立问题的数学模型或转化为相应的不等式(组)3、解决不等式应用题的三个步骤；一、训练反馈：1(2004上海卷理16)、某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：行业名称计算机机械营销物流贸易应聘人数2158302002501546767457065280行业名称计算机营销机械建筑化工招聘人数124620102935891157651670436若用同一行

2、业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是()(A)计算机行业好于化工行业.(B)建筑行业好于物流行业.(C)机械行业最紧张.(D)营销行业比贸易行业紧张2、假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1-p,且各引擎是否有故障是相互独立的，如果至少50%的引擎能正常工作，飞机就可以成功飞行，若使4引擎飞机比2引擎飞机更为安全，则p的取值范围是()A、(1,1)B>(1,1)C、(0,£)D、(0,一)33343、根据调查，某厂生产的一种产品,n地满足 f(n) e2(13n 22 n2)品每年只要生产()A、11个月 B、10个月4

3、、(2004福建卷理科12)如图,n个月赢利f(n)万元(n=1、2、3、4、12)近似(e2.718L)，为了获取一年的最大利润，那么该产C、9个月D、8个月B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30o方向2km处，河流的没岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2kmo现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物。经测算，从M到B、M两地修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是(A) (2V17-2)a万元(B) 5a万元(C) (2J7+1)a万元(D) (2J3+3)a万元5、（2004年福建理科，16）如图1,将

4、边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器。当这个正六棱柱容器的底面边长为时，其容积最大。6、（2004上海卷数学18）、某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分另1J为x、y（单位：m）的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积8cm2.问x、y分别为多少（精确到0.001m）时用料最省？7、（2004年江苏卷，19）、制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划

5、投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？二、典型例题：1、（2004年理科北京卷，19）某段城铁线路上依次有A,B,C三站，AB=5km,BC=3km.在列车运动时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并彳车1分钟，8时12分到达C站。在实际运行时，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm/h匀速行驶，歹U车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。（I）分别写出列车在B,C两站的运行误差；（II）若要求列车在B,C两站的运行误差之和

6、不超过2分钟，求v的取值范围。2、（2003年上海卷20）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为Slh,柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.14米）3、(2003年北京卷理工农医类，19)有三个新兴城镇，分别位于A,B,C三点处，且AB=AC=a,BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处

7、，(建立坐标系如图)(I)若希望点P到三镇距离的平方和为最小,点P应位于何处？(n)若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？三、巩固练习:1、现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，使剩余的钢管数尽可能的少。那么剩余的钢管有()A、9根B、10根C、19根D、20根2、光线每通过一块玻璃，其强度要失掉10%,把n块同样的玻璃叠起来，通过它们的光线“，一，一1强度减弱到原来的以下，那么至少重叠块玻璃。(lg3B0.477)33、现有两个定值电阻串联后等效电阻为R,并联后等效电阻为r,若R=kr,则实数k的取值范围是4(2003年上海市春季高考数学试卷，19)、某市2003年共有

8、1万辆燃油型公交车。有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%,试问：(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？1(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的一?35(2001春季上海卷19)、用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图)，设容器的高为h米，盖子边长为a米.(1)求a关于h的函数解析式；(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值.(求解本题时，不计容器的厚度)6（2001年全国，21）、从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设1并以此

9、发展旅游产业。根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上年减少,。本年5度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业1收入每年会比上年增加一。4（I）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业的总收入为bn万元。写出an、bn的表达式；（II）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？7、（2003年全国卷21）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南/2、4乂Ie士、4g自tr、L（cos）万向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45万向移动，10台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60k

10、m,并以10km/h的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？答案提示：一、训练反馈：1、 B2、 C3、 D4、 B5、2/35、 【解】由题意得2x(0<x<4 . 2 ).4128248xy+x2=8,y=-=4xx于定，框架用料长度为l=2x+2y+2(x)=(-+J2)x+64J2.22x当(3+J2)x=短，即x=8472时等号成立.此时，x=2.343,y=22=2.828.2x故当x为2.343m,y为2.828m时，用料最省.xy100.3x0.1y1.8一7、设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意：，目x06万元投资乙项目，才能在确保亏损

11、不超过1.8万元的前答：投资人用4万元投资甲项目、提下，使可能的盈利最大。、典型例题:1、本小题主要考查解不等式基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力。解：（I）列车在B,C两站的运行误差（单位：分钟）分别是（II）由于列车在B,C两站的运行误差之和不超过2分钟，所以30011 <2(*)2、30010<v<时,7(*)式变形为 300-7+480-11<2,v>480时，（*）式变形为7-11v v300+ 480<2综上所述，v的取值范围是39,v 195 T.解（1）如图建立直角坐标系，则点 P(114.5)7描曰480 解得v111954

12、2 x 椭圆方程为a112 y b2将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得 a44.788 - 7竺，此时l 2a匹上7 33.3.因此 77隧道的拱宽约为33.3米.(2)由椭圆方程22x y 2 rr a b1,/日 1 124.52.得亚 /1.4.522b2所以s 4lhab211ab9945即ab 99,且l 2a, h b,当S取最小值时，有可a24.52丁19.2一，得 a 11J2,b 22此时 l 2a 22、. 2故当拱高约为6.4米、31.1, h拱宽约为31.16.4米时，土方工程量最小2 X 解二由椭圆方程-2 a2 y b2112a24.521.于是b28142aa

13、2 121即ab81 / 27 (a1211212a2 121242)99,当如最小值时，有a2 12181(2 12121212a2 121,242) 81 121,9.2石11N2,b.以下同解一.23、本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.(I)解：由题设可知，ab0,记hJa2b2,设P的坐标为(0,y),则P至三镇距离的平方和为f(y)2(b2y2)(hy)23(y-)2-h22b2.所以,33h122、当y时，函数f(y)取得最小值.答:点p的坐标是(0,vab).33(n)解法一：p至三镇的最远距离为g(x)vb2y2,当Yb2y2|hy

14、|,|hy|,当ky7|hy|.由 Jb2 y2 | h y| 解得 y，记y22hb2h22hb2hg(y)Vb2y2,当y|hy|,yy*.当yn,2.20例b时,*钟2y2在y,)上是增函数，而|hy|在(-*,y上是减函数.由此可知，当yyn时，函数g(y)取得最,2.2小值.当v*hb0即hb时，函数于丁在v1K0,y小值b,而|hy|在(-,y上为减函数，且|hy|)上，当y0时,取得最b.可见，当y0时，函数2g(y)取得最小值.答当hb时，点P的坐标为(0,-a=2a2标为(0,0)，其中hJa2b2,最远距离为Jb2y2|hy|解得22hb_，记2hyb22h*I一y0,即h

15、b时,zg(y)的图象如图b时,zg(y)的图象如图答:2b_);当hb时，点P的坐b2，g(y)"T|hy|,当而|hy|，由|hy|.g(y)<,b2y2,当yIhyl,y(a),因此，当y(b),因此，当y值.(0,2ba2a2b，2)；或、P胸坐标为当hb.时b2.*y,*y.*.y时,函数g(y)取得最0时，函数g(y)取得最小h1，b,点P的坐标为(0,0),其中解法三：为(。，a22b2,2,22.ab因为在且AM=BM=CM.P为P2,若h.a2b2这时P到A、B、ABC中，AB=AC=当P在射线MA上,b(如图1),则点C三点的最远距离为用a,所以ABC记P为

16、Pi;当的外心M在射线AO上，其坐标M在线段AO上,PiC和P2A,且PiOMC,P2A>MA,所以点P与外心重合时，P到三镇的最远距离最小.若hJa2b2b(如图2),则点M在线段AO外，这时P到A、B、C三点的最远距离为PiC或P2A,且PiOOC,P2A>OC,所以点P与BC边中点。重合时,MP在射线MA的反向延长线上，记P到三镇的最远距离最小为b.答：当hJa2b2b时，点P的位置在ABC的外心a22b2）；当hqa2b2b时，点P的位置在原点O.,2,a2b2三、巩固练习：1、B2、113、4,十4、（1）该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列an,其中ai128,

17、q1.5,则在2010年应该投入的电力型公交车为a7a1q61281.561458（辆）。（2）记Sna1a2an，依据题意，得同一皆。于是与粤225000（辆），即0000Sn3.an6571.512，则有n7.5，因此n8。所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的。5、解（1）设h'为正四棱锥的斜高解得a：(h 0),h2 1、，1易得V 13(h -) ha41h'a2,2由已知22122h-ah',412h(2)V-haz(h0),33(h21)'11因为h h 4M 2,所以V一，一，1r，-r等式当且仅当h，即h1时取得h故当

18、h1米时，V有最大值，V的最大值为1立方米.66、本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.解：（I）第1年投入为800万元，第2年投入为800X（11）万元，第n年5投入为800x（11）口1万元.5所以，n年内的总投入为an=800+800X(11)+800x(1)n155nI、k1800(1)k15=4000X1-(-)n；5第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400X(1+J.)万元,4n年旅游业收入为400X(1+)4所以，n年内的旅游业总收入为bn = 400+400 X ( 1+ 1) + +4n400k 1Ok,=1600X(4)n1.5(n)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn-an>0,即1600X(-)n-14000X1-(-)n>04 5化简得5X(4)n+2X(乡)n-7>0,5 5设x(4)n,代入上式得5x27x+2>0,5-24c2解此不等式，得xx>