矩阵相似的性质

1、1矩阵的相似1.1定义1.2性质1.3定理(证明)1.4相似矩阵与若尔当标准形2相似的条件3相似矩阵的应用(相似矩阵与特征矩阵相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵在微分方程中的应用【1】)矩阵的相似及其应用1.1矩阵的相似定义1.1:设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B=XAX，就说A相似丁B记作AsB1.2相似的性质(1) 反身性AsA:;这是因为A=EAE.(2) 对称性：如果AsB，那么BsA；如果AsB,那么有X，使B=XAX,令丫=X',就有A=XBX直=YBY，所以BsA。(3) 传递性：如果AsB,BsC，那么AsC。已知有X,Y使B=X

2、AX,C=Y，BY。令Z=XY,就有C=YXAXY=Z，AZ，因此，AsC。1.3相似矩阵的性质若A,BWC",AsB,见J:(1)r(A)=r(B);引理：A是一个s><n矩阵，如果P是一个ss可逆矩阵，Q是nn可逆矩阵，那么秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)证明：设A,B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B=CAC，由引理2可知，秩(B)=秩(B=CAC)=秩(AC)=秩(A)(2)设A相似于B,f(x)是任意多项式，贝Uf(A)相似于f(B),即PAP=B=Pf(A)P=f(B)证明：设f(x)=anxn,anxn4lllaxa。于是，f(A)=anAnanAnH

3、la1Aa0Ef(B)=anBnanBnll|aBa°E由于A相似于B，贝UAk相似与Bk,(k为任意正整数)，即存在可逆矩阵X,使得Bk=XAkX,因此XfAX=XanAnanJAn-a1Aa0EX=anXAnXanXAnX川aXAXa0E=anBnanBn川a1Ba°E=f(B)所以f(A)相似于f(B)。(3) 相似矩阵有相同的行列式，即|A=|B,trA=trB;证明：设A与B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C,使得B=CAC,两边取行列式得：B|=CAC=CAC=ACC=A,从而相似矩阵有相同的行列式。乂由性质(2)知，A与B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值播

4、，旗,川，十，而A的迹trA=兀+赤2+|+九n,B的迹trB=兀+1%+川+兀n,从而trA=trB，即相似矩阵有相同的迹(4) A与B有相同的Jordan标准形；(5) 相似矩阵同时可逆或同时不可逆。证明：设A与B相似，由性质2可知A=|B，若A可逆，即A#0，从而B#0，故B可逆；若A不可逆，即A=0,从而B=0,故B不可逆。_l'A0),fB0、(6) 若A与B相似，B与D相似，则与相似。<0C)0D；证明：A与B相似，即存在可逆矩阵P,使得B=PAP,C与D相似，即存在可逆矩阵Q,使得D=QCQ,由于=<0D八。"<0口"P0"

5、一工r显然是可逆矩阵。由此可见，则<0QJ0A0/P0'Q“0C人0Q；0fA0VP0'Q)<0C人0Q；(A0)UB0ztI与相似。<0C)10D；定理1.1:线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。证明：先证前一部分。设线性空间V中线性变换A在两组基：跖电，Illg(1)叫,”2,.|H,"n(2)下的矩阵分别为A和B,从基到基的过渡矩阵为X,贝U:(A.A62,川,A'n)=(跖&2,.|,&n)A,(Ai,A2,lH,An)=(l,2JII

6、,n)B(1,2,川，n)=(；1,2,JH,n)X于是(AIi,A2,lll,An)=A(叫足，|,气)=A(8"2,.|H)X=(AA；2,HI,A；n)X=(；i,；2,川,.n)AX=(1,2,.川,n)XAX由此可得B=XAX现在证后一部分。设n级矩阵A和B相似，那么它们可以看作是n维线性空间V中一个线性变换在基布，&2,.|H,8n下的矩阵。因为B=XAX,令：(叫，勺，|，,叫)=(辱，盼川,耳/,显然，七。2,|仰n也是一组基,A在这组基下的矩阵就是Bo气1九2i2*,14JZ1n例一：证明相似，其中i1,i2,HI,in1,2,|H,n的一个排列。n,%,1

7、g)=停1,&2,11位n)1)f'2,则X(,".,，.1九"因方儿2和KqA(；1,；2)1；nAi1气2口,”,是线性变换A在不同基下的矩阵，故它们相似。I刀n/定理2.1:设A,B是数域P上的两个n级矩阵，A与B相似的充要条件是它们的特征矩阵兀EA和AEB等价。bca七ab>例一：设a,b,c是实数，A=cab,B=abc，证明A与B相似。<abc<bc"证明:久-b-c-a''-a-bX-c久-c_a-b'%EA=-c九a-bT-c九a-bT-b-c九a<a-b*cj&-b-caJ&

8、lt;a九一bcJ以_c-a-bt-a"b-c=|#E-B、-b-c兀-a,故ZEA和AEB等价，从而AsB3,矩阵相似的应用3.1相似矩阵与特征矩阵定义3.1.1:把矩阵A（或线性变换A）的每个次数大丁零的不变因子分解成互相同的一次因式方籍的乘积，所有这些一次因式方籍（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A（或线性变换A）的初等因子。定理3.1.1:数域F上的方阵A与B相似的充要条件是舄E-A和AE-B有相同的列式因子。定理3.1.2:两个同级复数矩阵相似充要条件是它们有相同的初等因子。例1:证明：任何方阵A与其转置方阵A相似。证明：因为九E-A与7-E-A'互为转置矩阵，

9、它们对应k阶子式互为转置行列式，故相等。从而两者有完全相同的各阶行列式因子，丁是两者有完全相同的不变因子。故九E-A与九E-A'等价，从而A与A相似。例2:证明：相似方阵有相同的最小的多项式。证法一：设A与B相似，即可存在可逆矩阵Q,使B=QAQ，乂设A与B的最小多项式分别为g（舄词2（舄），丁是：g（B）=g2（Q-AQ）=Q-g（A）Q=0,但是,B的最小多项式整除任何以B为根的多项式，故g（舄）=g2（丸）证法二：设A与B相似，则赤EA和九EB等价，从而有完全相同的不变因子,但最后一个不变因子就是最小多项式，故A与B有相同的最小的多项式。4相似矩阵与矩阵的对角化矩阵的对角化问题的

10、解法及其应用都有其明显特色，因而线性代数中通常被单独处理，尽管矩阵相似是完全独立的另一概念，但是却与对角化问题有重要的关联。定义3.1.2:数域F上方阵A,如果与一个F上的对角方阵相似，则称A在F上可对角化。定理3.2.3:复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的初等因子全是一次的。定理3.2.4:复数矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是A的不变因子都没有重根。定理3.2.5:复数域上方阵A与一个对角矩阵相似的充分必要条件是A的最小多项式没有重根。定理3.2.6:设A是n阶方阵，则以下条件是等价的：（1）A相似丁对角矩阵；（2）届丁A的不同特征值的特征向量线性无关；（3）A有n个线性无关的特

11、征向量；（4）A的每一特征值的代数重数都等丁它的几何重数。例4:设复矩阵A的最小多项式fm）=/k-1,证明：A与对角阵相似。证明：（f（赤）,f-1,202kJL）=1,即A的最小多项式无重根，所以A的初等因子都是一次的，所以A相似丁对角阵。例5:设A为n阶方阵，f（丸）=|LE-A是A的特征多项式，并令：fG5）=W，证明：A与一个对角矩阵相似的充分必要条件是f'，fg（A）=0。证明：设f（舄）=”EA|=（"7“n1（九乳2片知）n,其中气,&,.%互不相等，且n+山+|n=n，贝U:g（兀）=（人岛X舄一舄2）|（兀舄r）。如果A与一个对角矩阵相似，则|九E

12、A的初等因子都是一次的，其中全部不同的初等因子是九妃人九2,川,-'，它们的乘积就是冷E-A最后一个不变因子dn（兀），亦即dn（%）=（iX'”一“2yH（&Lr）=g（，。）。但dn（九）就是赤EA的最小多项式，所以g（A）=dn（A）=0。反之，若g（A）=0，则A的最小多项式dn（%）整除g（3，因而dn（%）没有重根，故A与对角矩阵相似。，-3-1'例7:设A=210，试证明：E11>（1）A在复数域上可对角化；（2）A在有理数域上不可对角化。证明：f（舄）="EA=/3人2+12舄一8,f'（九）=3禹26赤+12,用辗转相除法可证得（f（舄）,f'（%）=1,故在复数域上A相似丁对角矩阵。（2）若A在有理数域上可对角化，那么A的特征值必须都是有理数，从而fm）有有理根，而f（%）的首项系数为1,从而f（zj的有理根必为整数根。由丁f（舄