数学初中竞赛方程和不等式专题训练(含答案)

1、数学初中竞赛方程与不等式专题训练一. 选择题1. 方程x2+2xy+3y2=34的整数解（x,y）的组数为（）A.3B.4C.5D.62. 已知两块边长都为a厘米的大正方形，两块边长都为b厘米的小正方形和五块长、宽分别是a厘米、b厘米的小长方形（a>b）,按如图的方式正好不重叠地拼成一个大长方形，若已知拼成的大长方形周长为78厘米，四个正方形的面积和为242平方厘米，则每个小长方形的面积为（）A.11平方厘米B.12平方厘米C.24平方厘米D.48平方厘米3. 球赛入场券有10元、15元、20元三种票价，老师用480元买了40张入场券，其中票价为10元的比票价为20元的多的张数是（）A.

2、12B.16C.204.由方程组5£-y-1=0Gt)'心+1)饥二o消去y后化简得到的方程是（-一2一一一_2-A.2x-2x-6=0B.2x+2x+5=02C.2x2+5=0D.24)2D.2x-2x+5=05.某班将举行“庆祝建党95周年知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，如图是小明买回奖品时与班长的对话情境：请根据如图对话信息，计算乙种笔记本买了（A.25本B.20本C.15本D.10本6.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的“算筹”.算筹是古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵

3、横两种形式（如图）.当表示一个多位数时，像阿拉伯计类推.例如3306用算筹表示就是=IIIT,贝U2022用算筹可表示为（数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百“0”用空位来代替，以此位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示;InininiKinth帝ifi貌式II=11B.II_|=11D.C.A.中国杏代的订富检府A、BC、D四个销售点某种7.如图是某汽车公司销售点的环形分布图.公司在年初分配给40、45、汽车各50辆.在销售前发现需将AB、GD四个销售点的这批汽车分别调整为54、61辆，但调整只能在相邻销售点之间进行，那么要完成上述调整，

4、最少的调动辆次n为（一辆汽车从一个销售点调整到相邻销售点为一次）C.17D.188.已知在代数式a+bx+cx2中，a、b、c都是整数，当x=3时，该式的值是2008;当x=7时，该式的值是2009,这样的代数式有（A.0个B.1个C.10个D.无穷多个9.对于任意的有理数a,方程2x2+（a+1）x-（3a2-4a+b）=0的根总是有理数，贝Ub的值为（）A.1B.-1C.2D.010. 已知关于x的方程(x-a)(x-b)-1=0(avb)的两根为p、q(pvq,且pq>0),则一定有（A.avpvqvbB.尘竺C.D.二v二vv上qbapapqb11. 为了预防甲流，某班级准备30

5、0元钱，计划购入一批体温计.已知有两种体温计可供选购，其中水银体温计3元/支，电子体温计10元/支，由于水银体温计容易破裂且水银具有毒性，所以希望尽可能多地购买电子体温计.如果该班级共53名同学，且要求每位同学有一支体温计，则最多可购买电子体温计（）支.A20B21C30D3312. 初二（1）班有48名同学，其中有男同学n名，将他们编成1号、2号、，n号.在寒假期间，1号给3名同学打过电话，2号给4名同学打过电话，3号给5名同学打过电话，n号同学给一半同学打过电话，由此可知该班女同学的人数是（）A.22B.24C.25D.26二. 填空题13. 已知p,q都是正整数，方程7x2-px+200

6、9q=0的两个根都是质数，贝Up+q=.14. 将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子】均恰好装满，则不同的装法总数为.15. 初三某班共有60名同学，学号依次为1号，2号，60号，现分成A,B,C三个小组，每组人数若干，若将B组的小俊（27号）调整到A组，将C组的小芸（43号）调整到B组，此时A,C两组同学学号的平均数都将比调整前增加0.5,B组同学学号的平均数将比调整前增加0.8，同时B组中的小营（37号）计算发现，她的学号数高于调整前B组同学学号的平均数，却低于调整后的平均数.请问调整前A组

7、共有名同学.16. “十一”国庆期间，某一商品搞清仓促销活动，从10月2日起每天比前一天降价50元，每一天的销售量比前一天增加50件，若“一”期间7天这种商品的销售共收入308700元，则10月4日这一天收入元.17. 某小区打算购买100盆花装饰花园，20人分三组刚好搬完（假设每人都需要搬），每组人的搬花量如下表，请问第一组可能有人.第三组第二组组别第一组每人搬花盆数541018. 在车站开始检票时，有a(a>0)名旅客在候车室等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的.若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅

8、客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放个检票口.19. 某中学有九百多名师生外出参加社会实践活动，准备租某种客车若干辆.如果每辆车刚好坐满(即每个人都刚好有一个座位)，就会余下-14个人；如果多准备一辆车，那么每辆车刚好都空1个座位，则这种客车-每辆的乘客座位有个.20. 甲、乙两商店某种铅笔标价都是1元，一天，让学生小王欲购这种铅笔，发现甲、乙两商店都让利优惠：甲店实行每买5枝送1枝(不足5枝不送)；乙店实行买4枝或4枝以上打8.5折，小王买了13枝这

9、种铅笔，最少需要花元.三. 解答题21. 解方程组:22. 已知关于x的一元二次方程x2+2(k+1)x+k2+2=0有两个实根x1,x2.(1) 求实数k的取值范围；(2) 若|x1|-|xj=2处，求k的值.23. 将一个三位数分成4个数，使得第一个数乘以2,第二个数除以2,第三个数减1,第四个数加2,得到的结果相等，若该三位数比这四个数中最大的数的2倍大59,求这三位数.24.a、b、c为正整数，关于x的方程ax2+bx+c=0的两实根的绝对值求a+b+c的最小值.25.见微知著谈到：从一-个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是

10、探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等.例如，ab=1求证:11+b证明：原式=ab+a+I1+b波利亚在怎样解题中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看,他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.阅读材料二：基本不等式壬日<里一（a>0,b>0）,当且仅当a=b时等号成立，它是解决最值问题L的有力工具.例如：在x>0的条件下，当x为何值

11、时,x有最小值，最小值是多少?>0.-.,即当且仅当1十2i+bz2(2)若abc=1,解方程5as5bKSCK北彩*1bc+b+1ca+c+1=1x=，即x=1时，x八有最小值，最小值为2.请根据阅读材料解答下列问题:(1)已知ab=1,求下列各式的值:1卜11+Ll+b11的最小值.(3) 若正数a、b满足ab=1,求M=1+a1+爵参考答案.选择题1.解：方程变形得：（x+y）2+2y2=34,34与2y2是偶数,x+y必须是偶数,设x+y=2t,则原方程变为：（2t）2+2y2=34,.2t2+y2=17,它的整数解为旧±2y士8则当y=3,t=2时，x=1；当y=3,

12、t=2时，x=7；当y=3,t=2时，x=7;当y=3,t=2时，x=1.原方程的整数解为：(1,3),(-7,3),(7,-3),(-1,-3)共4组.故选：B.2.解：依题意，得:=7:ni!:整理，得:a+b=13a2+b2=121'(2-)+2,得：ab=24.故选：C.3.解：分别设三种票买了x、y、z张.则根据题意，得-'ION15尸20芽4S0©Lx+y+z=40由，得：y=40-x-z,将代入，得：x-z=24.故选：D.4.解:Cx-L2+(y-nl)2+4=0'由，得x=y+1,将代入，得(x-1)2+x2+4=0,化简，得22x2x+5=

13、0,故选：D.5.解：设甲种笔记本买了x本，甲种笔记本的单价是y元，则乙种笔记本买了(40-x)本,根据题意，得:乙种笔记本的单价是(y+3)元,Lxy+(40-x)(y+3)=300-684-1-解得：答：甲种笔记本买了25本，乙种笔记本买了15本.故选：C.6.解：.各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位,十万位数用横式表示；“0”用空位来代替,2022用算筹可表示为故选：C.7.解：根据题意可得：互不相邻两点B、D,B处至少调动5辆次，D处至少调入11辆次,两处之和至少16辆次,因而四个销售点调动至少16辆次，又AB的数量减少，C、D的数量增加,所以从A调1

14、1辆到D,从B调1辆到A,调4辆到C,共调整了11+1+4=16辆.综上，最少调动16辆次.故选：B.8. 解：根据题意，得蛇00吼'由-，得4b+40c=1,'a、b、c都是整数,.的左边是4的倍数，与右边不等,所以，这样的代数式不存在；故选：A.9. 解：.方程的=(a+1)2+8(3a2-4a+b)=(5a-3)2+8b-8>0,.当8b-8>0时，必定>0,«即方程必有实根，b>1,当b=1时，3a2-4a+1=(3a1)(a1),十字因式分解得方程为(x-a+1)(2x+3a-1)=0,-b=1成立，当b=2时，3a2-4a+b=3a

15、2-4a+2不能因式分解，方程有可能为无理数解，同理可得b=-1以及0时，方程有可能为无理数解，故b的值为1.故选：A.10. 解：设y=(x-a)(x-b),则此二次函数开口向上，当(xa)(xb)=0时，即函数与x轴的交点为：(a,0),(b,0),当(xa)(xb)=1时，p、q是关于x的方程(x-a)(x-b)-1=0的两实根,函数与y=1的交点为：(p,1),(q,1),根据二次函数的增减性，可得：当avb,pvq时，pvavbvq,_1111故VVVqbap当p,q同为负数不合题意，故不成立，P国故选：C.11.解：设可购买电子体温计x支，则需买水银体温计(53-x)支，由题意，得

16、.10x+3X(53-x)v300.121314解得：x<20.最多可购买电子体温计20支,故选：A.解：一半同学是48+2=24人,1号给3=2+1名打电话，2号给4=2+2名打电话，3号给5=2+3名打电话，n号给2+n=24名打电话，所以n=22,48-22=26,该班有女生26名，故选：D.填空题（共8小题）.解：0X1+X2=i2009qErr“x1x2=-=287q=7x41xqx1和x2都是质数则只有x1和x2是7和41,而q=1所以7+41=号p=336所以p+q=337故填：337.解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒,.每种规格都要有且每

17、个盒子均恰好装满，0vxv10,0vy<11,0vz<15,且x,y,z都是整数,则10x+9y+6z=108,.|108-9y-62|3(36-3y-2Z)xW0，-0vxv10,且为整数,.36-3y-2z是10的倍数,即：36-3y-2z=10或20或30,当36-3y-2z=10时，y=；，.0vyv11,0vz<15,且y,z都为整数,26-2z=3或6或9或12或15或18或21或24,（舍）或z=10或z=17.,、，、1I”，、，、R”（舍）或z=7或z-2（舍）或z=4或z=（舍）当z=10时，y=2,x=3,当z=7时，y=4,x=3,当z=4时，y=8,

18、x=3当z=1时，y=8,x=3,当36-3y-2z=20时，y=比；",-0vyv11,0vz<15,且y,z都为整数,16-2z=3或6或9或12或15或18或21或24,132（舍）或z=5或z=（舍）或z=2或z=§（舍）当z=2时，y=4,x=6,当36-3y-2z=30时，y='*,-0vyv11,0vz<15,且y,z都为整数,6-2z=3,z=1（舍）即：满足条件的不同的装法有6种，故答案为6.15. 解：设AB,C组调整前的人数分别是则AB,C调整后的人数分别是m+1,riB,nc1,设A,B,C组调整前各组的号码之和分别为wa,此，w

19、c,则A,B,C调整后各组的号码之和分别为wa+27,wb+16,wt-43,或5+二%根据题意得-16+iVpw口_=0.nBwr43辑工_0.5+®吒-1叱由得，中=20一_w口_.36.2V37,20即724VWBV740又：nA+ns+nc=60'nc=40-nD"-43帮=0-5叶40-n-l40-%整理得：，；：-：.I-L-'"由得、，.，;.wc+wx=2500-56nA寸.*一(60H)(6O)vn又.wc+wA-hWp=1S30.wb=1830-(2500-56nA)=-670+56nA.724V-670+56nA<740

20、时曰邙94/Ml。解得一-i56ij56nA为正整数，所以nA=25所以本题答案为2516. 解：设10月1日这种商品每件x元，销售量为a件，由题意，得ax+(x-50)(a+50)+(x-100)(a+100)+(x-150)(a+150)+(x-200)(a+200)(x-250)(a+250)+(x-300)(a+300)=308700,化简整理，得7ax+1050x-1050a-227500=308700,两边除以7,得ax+150x-150a-32500=44100,所以(x-150)(a+150)=54100.即10月4日这一天收入54100元.故答案为：54100.17. 解：设

21、第一组x人，第二组y人，第三组(20-x-V)人，由题意得：5x+4y+10(20-x-v)=100100-x=5x,y为正整数，100-6y为5的整数倍，y=5或10或15x=14或8或2故答案为：14或8或218. 解：设一个窗口每分检出的人是c,每分来的人是b,至少要开放x个窗口;a+30b=30c，a+10b=2x10宓，a+5b<5xxxc,由-得：c=2b,a=30c-30b=30b,30b+5bv5Xxx2b,即35bv10bx,b>0,.在不等式两边都除以10b得：x>3.5,答：至少要同时开放4个检票口.19. 解：设准备客车x辆，每辆客车有座位x个，根据题

22、意知：xy+14=(x+1)y-x-1,得y=x+15,又知xy>900,即x(x+15)>900,x2+15x-900>0,"曰-15+73325-15-73325”土、解碍:x>或xV(舍去)即x>23.43,当x=24时，y=39,xy=936,当x=25时，y=40,xy=1000（不符合题意）即这种客车每辆的乘客座位有39个，故答案为：39.20. 解：因为甲店实行每买5枝送1枝，所以小王先到甲店花5元钱买了6枝，剩下7枝到乙店购买，用去了7X0.85=5.95,所以小王一共花了：5+5.95=10.95元.故填：10.95.三.解答题（共5小题）_.时fx2+2iy+yZ=921. 解：4二Ly-2=0由得，(-x+y)2=9,贝Ux+y=3或x+y=-3,与组成方程组所以原方程组的解为22. 解：（1）.原方程有两个实数根,.=2(k+1)2-4(k2+2)=8k-4>0,解得k(2).x1、x2是方程x2+2(k+1)x+k2+2=0有两个实根，kA二，x+x2=-2(k+1)v0,xx2=k2+2>0,(|x1|-|x2|)2=x12-2|x1?x2|+x22=x12+2x1x2+x22-4x1x2=(x1+x2)2-4x1x2=(2底)2=20,.-2(k