线性代数：第6章 二次型.docx

1、第六章二次型二次型的理论起源于二次曲线(曲面)的化简问题，它在力学、物理学以及数学的其它分支中都有重要的应用。本章主要介绍二次型的定义、标准形和正定二次型。§1二次型的基本概念定义1:形如下列形式的函数：/0,工2，兀?)=4内2+2弓2工1沔+2%,/A+。22工；+2%/2七称为关于变量冲易，儿的元二次型函数。简称为二次型。记A=(%)疗“，为=%.(，”=1,2,，X=(而,也,')，则有f(而,易,.)=XI4X,亦记为f(X)=XAX.式中对称矩阵A称为二次型对应的矩阵，A的秩的定义为二次型的秩。称为=弓山+.+弓月1也=&5+%)%为变量的线性变换，记C=

2、(%)网,丫=(凹况，义)'，则变量的线性变换又可写成X=CY.如果C可逆，称为非退化的线性变换；如果C不可逆，称为退化的线性变换。在本书中要求矩阵C可逆。如果C为正交矩阵，称变量的线性变换为正交变换。性质1：二次型/经过线性变换后仍为二次型。X=CY证明：/(X)=YVACY,因为(C0C)'=C'AC,C0C对称，为新二次型所对应的矩阵。定义2：若阶方阵A,B存在可逆矩阵C,使得C'AC=B,称矩阵A与8合同。容易验证下列性质：1) A与A合同；2）若A与B合同，则B与A合同；3）若A与B合同，B与C合同，贝UA与C合同。由于矩阵C可逆，所以合同的两个矩阵的

3、秩相同。05x2为二次型，并写出该例1：验证/(xpx2,x3)=(xpx2,x3)1、4二次型对应的矩阵。解：f(xx,x2,x3)=x+3x,x2+2XW+x2x+5x2x3+4沔石4-2+2x=X)2+4xyx2+6也易+6x2Xj+q23、/、而=（工"2，毛）203。32）123、从而二次型对应的矩阵为A=203。32,§2标准形只含平方项的二次型称为二次型的标准形。本节的一个重要结果是：任一二次型可经过变量的线性变换化为标准形。系数在实（复）数域上的二次型称为实（复）二次型，这里讨论的二次型指的是实二次型。由第5章可知对于实对称矩阵A,存在正交矩阵Q,使得QrA

4、Q=.。I人J对于A对应的二次型f（X）=X'AX,取X=QYf则有/（X）=（QY）fAQY=（九,，人为A的特征值）。从而任一实二次型一定可以化为标准形。实际上复二次型也有类似的结果。例2：求二次型f=2玉工+2玉沔一2x,x4-2x2x3+2x2x44-2x3x4的标准形。解：二次型对应的矩阵为I0-111-1010J|2E-A|=-112-1=(A+3)(2-1)3oA的特征值为人=一3,义=1（三重根）。当2=-3时,<-3-1-11、q00-1)-1-31-1>0101-11-3-10011-1-1_3>、°00°，外=11、-1,单位

5、化得/?,=-1-1'2-1(1-1-11)P-1-11、-111-10000-111-10000<1-1-1<0000>rr<-r100%=0，3=14=0O<0>施密特正交化得:单位化得:7/11/、1V67T，尤=01川，兀=2oJ1°71/12JA=1"IT,四三10-022431取P=(/3,""/a)，则P为正交矩阵，作线性变换X=PY,则有f=一3)+y；+y；+y：。除上述方法外，还可用中学的配方法将二次型化为标准形。下面以具体的例子来说明配方法。例3：用配方法化二次型f=2石易+2-6%2%3

6、为标准形。为=Ji+力q1o、易=凹一力，即x=c/,g=1-10为=为、001,可逆。则f=一2y；-4乂为+8）必解：令=Z|+Z3y2=z2-2z3,亦即Y=C2Zf=2（劣一乃）2-2乂+Sy2y3一2yj=2（劣一y3）2一2（力一2y3）2+6y；。>3=Z3>3=Z3q01、H1-1）C2=01-2可逆。记c=gg=1-13、001；即，作线性变换X=CZ,y2-2y3=z2则有./'=2z；-2z；+6z；o配方法的思想是:选择某平方项的未知量，把所有含此未知量的项放在一起,添加一些平方项配成完全平方项，再用递推法做下去。若只有交叉项，采用例3中开始的做法构

7、造平方项，再按上面方法继续。需要说明的是如果未知量较多，用配方法比较麻烦，这里只作一般了解即可。对于实二次型的标准形，适当排列未知量的次序可使=4"+4片一弓土桌dryr.,为二次型的秩,°（，=1,2,再作线性变换：扁=Zf则有/*（X,X2，.,X）=Z+.+Z；-zMZ；O上述形式称为实二次型/（而，工2,天）的规范形。关于规范形有下列定理。定理1（惯性定理）：实二次型一定存在线性变换化为规范形。而且规范形是唯一的，即规范形中的P,尸是确定的。证明省略。规范形中，p称为正惯性指标，,一称为负惯性指标，p_（r_p）=2p_r称为符号差，惯性定理说明实二次型的线性变换不

8、改变二次型的正（负）惯性指标。§3正定二次型本节仍在实数域上讨论二次型。定义3：元实二次型f（X）=XfAX,如果对任意实维列向量X。更0,均有xnx°（）o,则/称为正（负）定二次型，对应的对称矩阵人称为正（负）定矩阵。若把定义中的”>（v）”改为”2（9”，则称二次型/（或矩阵人）为半正（负）定的。例如/（xi,a2,x3）=xi2+2%2+3x为正定二次型，/'（工,易,工3）=蚌+是为半正定二次型。定理2：关于元二次型正定，下列命题等价：1）/正定（A正定）；2）正惯性指标等于；3）A的特征值全大于0；4）存在可逆矩阵C,使得CAC=E；5）存在实可逆

9、矩阵8,使得A=BfB.证明：1）=2）若不然，p<n,即有线性变换X=CY,X=CYf（x）=*+.+/_）鬲y2f取*=（o,o,.,l）,x°=c*莉，则</（X0）<0,矛盾。由惯性定理，可知2）与3）等价，2）与4）等价。4）=>5）人=（。一|）'。一，记B=C,则有A=B'B°5）=>1）VX°h0,因为B可逆，所以BX°，0。从而Xo'AX。=Xo'B'BX。=（欣（）'（欣0）>0。从而f正定。11%k对于对称矩阵A,称勾=Q=l,2,）为A的A阶顺序主

10、子。妇akk式。于是有下列定理：定理3：f（X）=XfAX正定，当且仅当A的各阶顺序主子式全大于0。证明省略。例4：判断二次型f=-2x-6a；-4-2xtx24-2x）x3是否为负定二次型。解：因为一/'=2工2+6工；+4云一2工/2-2而易，对应矩阵为A=60,厂10牝2-212>0,=11>0,-16-16-10所以（-/）正定，从而/负定。A的各阶顺序主子式:-10=38>0o4例5：取何值时，二次型/=石2+5£+2田易一2叫工3+4工2冯是正定的？J，-1、解：/对应的矩阵为人=r12,若/正定，贝U厂123,1t-11t4=lo,=>0

11、,A.=t12>0,解得<r<0,t15-1254即一史<，v0时，二次型/是正定的。例6：设元实二次型f(X)=XfAX和g(X)=XX,且g(X)正定。证明存在可逆线性变换x=cy，使得这两个二次型同时化为标准形/=XA|yJ2，k=g=£"。k=证明：因为B正定，故存在可逆矩阵G，使得=EO考察矩阵O=C4G，有If=CACy=CACX=D,所以。为实对称矩阵。故存在正交矩阵G使得C；DJ=C/CjACC=令C=C,C2,则CrBC=（GG）7BGG=c；（C：BC）C2=C2rEC2=E。久、CTAC=Cj（CAC,）C2=CJdc2=%.。

12、取可逆线性变换X=CY,则有/=幺=力对2。R=1k=这个例子是把两个二次型同时化为标准形，它在微振动理论中是十分有用的。对定理2和定理3稍作修改，可得二次型半正定的相关结果：定理4：下列命题等价：1) /半正定(A半正定)；2) 正惯性指标p=r；3) A的全部特征值大于或等于0；(E0、4) 存在可逆矩阵C,使得CfAC=r；°5) 存在实方阵8,使得A=B'B；6) A的各阶顺序主子式大于或等于0。1.2.3.习题六写出二次型的矩阵表示形式：1)f=x2+4y2+z2+4xy+2xz+4yz；2）f=x2+y2-7z2-2xy-4xz-4yz；3）fg2xx2+4xx3

13、2x（x4+6x2Aj4x2x4o化下列二次型为标准形：1）f=2蚌+3%2+3蚌+4x2%3；2)/=#+x；+X；+£+2工内_2工内_2易石+2毛工4。判断下列二次型的正定性：1)f=3工2+4,2+5z?+4"4yz；2）f=-5蚌-_4g+4工易；3)f=2工易+2工工3-6x2x3o，为何值时，下列二次型是正定的:1)f=2、+x；+£+2x,x2+tx2x3；2)/*=+4x；+工；+2囚易+10为工3+6易天。4. 如果二次型f=XfAX,对于任意维列向量X。，都有Xo'AX°=O。证明4=0。5. 如果A是正定矩阵，证明A"是正定矩阵。6. 如果A,B是阶正定矩阵，上>0,/>0。证明加+/B为正定矩阵。7. 设A是实对称矩阵，证明当实数，充分大之后，tE+A是正定矩阵。提