系数的扩充与复数的引入.docx

1、系数的扩充和复数的导入知识导图一、概念1、虚数单位引入一个新数i,i叫作虚数单位，并规定：a>i2=-lb、实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、减运算律仍然成立。典例：i是虚数单位，计算i+i2+i3=()A、-1B、1C、-iD、i注意：1=1,1=-l;1=1,1=-l.变式训练：i是虚数单位，假设集合s=(-l,o,l),则()A、iesB、i2esC、i3esD、2/ies2、复数和复数集我们把C=(a+bi|a,bGR中的数，即形如a+bi(a,beR)的数叫复数。全体复数所形成的集合C叫作复数集。注意：(1) 当且仅当b=0时，a+bi是实数。(2) 当且仅当

2、a=b=O时，a+bi是实数0<>当屏0时,a+bi是虚数。(3) 当a=0且时，叫作纯虚数。典例：以下命题中：a、假设aeR,则a+l)i是纯虚数；b、假设a,b£R且a>b,则a+i3>b+i2.C、假设(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±l.d、两个虚数不能比较大小。其中，正确命题的个数为)A、1B、2C、3D、4变式训练：对于复数a+bi(a,beR)，以下结论正确的选项是(A、a=OUa+bi为纯虚数B、b=OUa+bi为实数C、a+(b-l)i=3+2iUa=3,b=-3D、-1的平方等于i.3、复数的表示复数通常用字

3、母z表示，即z=a+bi(a,b£R),这一表示形式叫作复数的代数形式。其中a与b分别叫作复数z的实部与虚部。典例：设a,beR.a=0是复数a+bi是纯虚数的()A、充分而不必备条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件4、复数相等在复数集C=(a+bi|a,beR)中任取两个数a+bi,c+dia,b,c,dR),我们规定：a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d.典例：假设xGR,试确定实数a的值，使等式3x2-a/2x+(2x2+x)i=l+10i成立。变式训练：已知Zi=(cosa-4/5)+i(sina-3/5),z2=cosb+isinb,

4、且Zi=z2求cos(a-b)的值。5、复数的分类实数集R是复数集C的真子集，即R1C。这样，复数z=a+bi可以分类如下：f实数(b=0)复数虚数"0)(当a=0时为纯虚数)典例：己知复数z/+(己5奸6)祯?R).实数a取什么值时，z是(1)实数？cr-1(2)虚数？(3)纯虚数？6、复数的几何意义1、根据复数相等的定义，任何一个复数z=a+bi,都可以由一个有序实数对a,b)唯一确定。因为有序实数对a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应。bZ=a+biOaX如上图所示，点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可用点z(a

5、,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴。显然实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数。复数z=a+bi一复平面点z(a,b)成一一对应的关系。复平面上的点都可以表示复数，复数都可以在复平面上表示，且唯一确定。2、在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，这样，我们还可以用平面向量来表示复数。bZ=a+bix如下图，设复平面内一点Z表康复数z=a+bi,连接O乙显然向量OZ由点Z唯一确定；反过来，点Z相对于原点来说)也可以由向量OZ唯一确定。因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对

6、应的实数。与零向量一一对应)。复数z=a+bi平面向量OZ成对应关系.7、复数的模1、复数的模向量0Z的模r叫作复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|.如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a,它的模等于|a|(就是a的绝对值)。由模的定义有：IzI=Ia+bi|=r=a2+b2(rO,rR)2、模的几何意义|z|=|0Z|,即点z(a,b)到原点。的距离。一般地,IzlzJ即为复平面内点小到Z2的距离。典例：己知复数z的模为2,求|z-l|的最大值。变式训练：如果|z-43i|冬3,求|z|的取值范围。易错题己知x满足x2+(x+2)i=2i,求x的值。知识导图二、四则运算1、复数加

7、法法则Z1Z2EC)1、设zi=a+bi,Z2=c+di是任意两个复数，则zi+Z2=(a+c)+(b+d)i.2、运算率：Zl+Z2=Z2+Zl(Zl+Z2)+Z3=Zl+(Z2+Z3)3、几何意义设向量ozi与向量0Z2分别与复数a+bi,c+di对应，则向量ozi=(a,b),向量0Z2=(c,d),由平面向量的坐标运算，得ozi+oz2=(a+c,b+d).2、复数的减法运算(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,减法运算是加法的逆运算，满足加法的运算准则。典例：(-2+3i)+(5-i)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,bR)3、复数的乘法1、乘法法则设zi=a

8、+bi,Z2=c+di是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i2、运算律Zl.Z2=Z2.Zl(Z1.Z2).Z3=Zi(Z2.Z3)Z1.(Z2+Z3)=ZiZ2+ZiZa注意：zR时,|z2|=|z|2=z2；zC时,|z|2R而/C,所以z2#|z|zR时，Z12+Z22=O*->Z1=O且Z2=o；zC时，假设Z12+Z22=O则Z12=-Z22,所以Z1=+/-z2i.典例：假设(1+i)(2+i)=a+bi,其中a,bR,i为虚数单位，则a+b=.4、共藐复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共新复

9、数。虚部不等于0的两个共帆复数也叫作互为共轴虚数。通常记复数为z的共辗复数为乙注意：互为共钮复数对应的点在复平面上关于实轴对称。 实数的共扼复数是它本身。 假设zHO且z+z=0,则z为纯虚数。典例：假设复数z=1+i(i是虚数单位)，z是z的共轴复数，则z2+z2虚部为)A、0B、-1C、1D、-25、复数的除法(a+bi)-?(c+di)=(ac+bd)/c2+d2+(bc-ad)/c2+d2i(c+di和).复数除法运算实际是乘法的逆运算。典例：已知i是虚数单位，则3+i/1-i=()A、1-2iB、2-iC、2+iD、1+2i复数的综合运算1、假设复数z满足z(2-i)=ll+7i(i

10、为虚数单位)，则z%()A、3+5iB、3-5iC、-3+5iD、-3-5i变式训练：设i为虚数单位，则复数5-6i/i=()A、6+5iB、6-5iC、-6+5iD、-6-5i复数的方程问题假设l+、'2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则()A、b=2,c=3B、b=-2,c=3C、b=-2,c=-1D、b=2,c=-1变式训练:方程x2+6x+13=0的一个根是(A、-3+2iB、3+2iC、-2+3iD、2+3i3、纯虚数考察两个共钮复数的差是()D、零或纯虚数D、零或纯虚数A、实数B、纯虚数C、零4、复数的几何意义复平面内，满足条件|z-2i|+|z+l|二姑的点的轨迹是()A、椭圆B、直线C、线段D、圆常用结论1