高三圆锥曲线知识点总结

1、第八章?圆锥曲线?专题复习一、椭圆方程.1 .椭圆的第一定义：PF1寸PF2=2a>F1F2方程为椭圆,PFi寸PF2=2aYFiF2无轨迹,PF11PF2=2a=F1F2以F1,F2为端点的线段2 .椭圆的方程形式：椭圆的标准方程：i.中央在原点,焦点在X轴上：q+=iaAbM0.ii.中央在原点,焦点在y轴上:22=1的参数方程为一N的轨迹是椭圆2a,短轴长2b.一般方程：Ax24By2=1A>0,B>0.椭圆的参数方程：xy+与abX=a8s°象限日应是属于0-.y=bsin62注意：椭圆参数方程的推导：得Nacos8,bsineT方程的轨迹为椭圆.3.椭圆的

2、性质：顶点：±a,00,1b或0,1a±b,0.轴：对称轴：x轴,y轴；长轴长2焦点：(-c,0)(c,0)或(0,-c)(0,c).焦距：F1F2I=2c,c=Ja2-b2.准线：x=±a-或c2y=±.离心率：e0yF.焦半径：ca22i .设Px0,y.为椭圆、+t=1a>b>0上的一点,FrF2为左、右焦点,那么:abPF1=aex.,PF2=a-ex.22证实：由椭圆第二定义可知：pF1=e(x0-)=a+ex,(x0T-0),pF2=e(x0)=ex)-a(x0>-0)归结起cc来为左加右减.22ii .设P(x0,y

3、76;)为椭圆将十'=1(a>bA0)上的一点,F1,F2为上、下焦点,那么：baPF1=a+ey°,PF2=a_ey0通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通径:,2bb、,b、d；坐标：(c,一),(-c,)aaa22；4.共离心率的椭圆系的方程：椭圆2+¥=1(a标b标0)的离心率是e=(c=va2-b2),方abace=*我们称此方程为共离心率的a/F1PF2=e,那么APFFz的面积为22程与+J=tt是大于0的参数,aAbA0的离心率也是ab椭圆系方程.225.假设P是椭圆：三十%=1上的点土了2为焦点,假设a2b2b2tan2用余弦定理与PF1|PF2

4、=2a可得.假设是双曲线,那么面积为b2cot|.二、双曲线方程.1 .双曲线的第一定义:|PFi_PFz|=2at：FiF2方程为双曲线|PFi_PF21=2aAF1F2无轨迹|PFi-PF2|=2a=FiF2以Fi,F2的一个端点的一条射线2 .双曲线的方程：双曲线标准方程22AxCy=i(AC0).2222二一与一i(a,b-0),冬ui(a,b-0).abab般方程：3.双曲线的性质：i.焦点在x轴上：2方程：x±_y=o或1aba2a2顶点：(a,0),(-a,0)焦点：(c,0),(-c,0)傕线万程x=±渐近线c2一、=0ii.焦点在y轴上：顶点：(0,T),

5、(0,a).焦点：(0,c),(0,Y).准b2222n线方程：y=±J渐近线方程：Y±2=0或4一二=0,参数方程：,"a咒或caba2b2y=btanH广x=btan0J.、y=asec9轴x,y为对称轴,实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距2c.离心率e=-.准线距旦ac(两准线的距离)；参数关系c2=a2叱2,e=c.焦半径公式：对于双曲线a22方程=iabFi,F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)“长加短减原那么:MFi=ex0a构成满足MFi-MF2=2aMF2vex.wMFi=-ex0-a,八,.i0(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半MF2=

6、-ex0a4.等轴双曲线：双曲线x2y2=±a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为y=±x,离心率e=VL5.共轲双曲线：以双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做双曲线的共2222轲双曲线.-4=%与士=-九互为共轲双曲线,它们具有共同的渐近线：abab22xy一-二0.ab24=0如果双曲线的b22226 .共渐近线的双曲线系方程：0、=乳人#0的渐近线方程为与2yb2aba渐近线为x土上=0时,它的双曲线方程可设为ab11例如：右双曲线一条渐近线为y且过PO,-,求双曲线的万程?2122解：令双曲线的方程为：L_y2=M九#0,代入3,二得二匕=1.42827 .直线

7、与双曲线的位置关系：区域：无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条；区域：即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的直线,合计区域：2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条；区域：即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条;区域：即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线注意：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.假设直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号22假设P在双曲线=1,那么常用结论1：P到焦点的距离为m与n,那么P到两准a2b2PF1线的距离比为m:n.

8、简证：匕=e=md2PF2n：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.三、抛物线方程.设p>0,抛物线的标准方程、类型及其几何性质：2-y=2px2-y=2pxx2=2py2.x=-2py图形x七焦点准线F(-,0)2x=2F(p,0)2px=2F(0,-)2pyp范围x>0,yRx<0,y£RxWR,y>0xR,y<0对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e=1焦点1PF|=：%1|pf|吟Hx1IlPFl+y1lPFl="巾1注意：ay24by+c=x顶点(4ac-b-b-).4a2ay2=2px(p00)那么焦点半径|pf=P2+-;x=

9、2py(p=0)那么焦点半径为PF=y+g通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的y2=2px(或x2=2py)的参数方程为3-,2x=2pty=2ptdx=2pt2y=2pt关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB为过抛物线y2=2px(p>0)焦点的弦,A(xi,yi)、B(x2,y2),直线AB的倾斜角为0,那么：X1x2=y1y2=p2;|AB|=以AB为直径的圆与准线相切；焦点F对A、B在准线上射影的张角为sin190°；+|FA|FB|P四、圆锥曲线的统一定义.1.圆锥曲线的统一定义：平面内到定点当0FeF时,轨迹为椭圆；F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹.当e=1时

10、,当e>1时,轨迹为抛物线;轨迹为双曲线;当e=0时,轨迹为圆(e=£,当c=0,a=b时).a2 .圆锥曲线方程具有对称性于原点对称的.由于具有对称性,所以欲证.例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关AB=CD,即证AD与BC的中点重合即可.3 .当椭圆的焦点位置不明确,而无法确定其标准方程时,可设方程为22xy,八十=1(m>0,mnn>0且n),这样可以防止讨论和繁杂的运算,椭圆与双曲线的标准方程均可用简单形式mx+ny2=1(mg0)来表示,所不同的是：假设方程表示椭圆,那么要求m>0,n>0且n;假设方程表示双曲线,那么要求mn

11、<0利用待定系数法求标准方程时,应注意此方法的合理使用,以防止讨论.4.双曲线是具有渐近线的曲线,复习中要注意以下两个问题：(1)双曲线方程,求它的渐近线方程,将双曲线的标准方程2x2a4=1中的常b222xy数1换成0,即得-=0,然后分解因式即可得到其渐近线方程ab7=0;假设ab求中央不在原点,对称轴平行于坐标轴的双曲线的渐近线方程,只需将双曲线方程别配方,然后将常数“1换成“0,再分解因式,那么可得渐近线方程,例如双曲线x,y分2_2V232=0,即y±3(x+2),因此,如果双曲线的方(x+2)彳=1的渐近线方程为(x+2)3程已经确定,那么它的渐近线方程也就确定了.

12、2求渐近线的双曲线方程,渐近线方程为ax±by=0时,可设双曲线方程为2222ax-by=九九#0,再利用其他条件确定九的值,求法的实质是待定系数法,如果已知双曲线的渐近线,双曲线方程却不是惟一确定的.5、在建立抛物线的标准方程的坐标系时,以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立坐标系,这样不仅具有对称性,而且曲线过原点,方程不含常数项,形式更为简单,便于应用.五.直线和圆锥曲线的位置关系：相交,相切,相离.1 .直线/与圆锥曲线C位置关系的判断：判断直线j与圆锥曲线C的位置关系时,将直线,的方程代入曲线C的方程,消去y也可消去x得一个关于变量x或y的一元二次方程ax2+bx

13、+c=0.当aw0时,假设A>0,那么/与C相交；假设A=0,那么,与C相切；假设A<0,那么有1与C相离.当a=0时,即得到一个一次方程,假设方程有解,那么直线1与C相交,此时只有一个公共点假设C为双曲线,那么1平行于双曲线的渐近线；假设C为抛物线,那么1平行于抛物线的对称轴.注意：当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时,直线和双曲线、抛物线可能相切,也可能相交.2 .直线被圆锥曲线截得的弦长公式：斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AR设的,见,8孙刈,那么弦长公式：7-.Jmab当tMU时,弦长公式还可以写成：X工注意：利用这个公式求弦长时,应注意应用韦达定理.六.求曲线的方程.1

14、 .坐标法的定义：用曲线在直角坐标系中,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,上点的坐标x,y所满足的方程危切二.表示曲线,通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.2 .坐标法求曲线方程的步骤：建系一设点一点满足的几何条件坐标化一整理化简成最简形式一证实可省略,但必须删去增加的或者补上丧失的解3 .求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、代入法、参数法等.七.规律方法指导.1.三种圆锥曲线定义、标准方程及简单几何性质的比照椭圆双曲线抛物线定义1.到两定点Fi、F2的距离之和为定值2a2a>|F后|的点的轨迹1.到两定点Fi、F2的距离之差的绝对值的为定值2a

15、0<2a<IF1F2I的点的轨迹2.与定点和定直线的距离之比为定值e的点的轨迹0vev12.与定点和定直线的距离之比为定值e的点的轨迹e>1与定点和定直线的距离相等的点的轨迹图形43X1Zbi0OXk/4弋方程标准方程=>0)?y3F-二1八.淮>0aby2=2/参数方程参数8为离心角x-cjsec8参数g为离心角x=2声4一物t为参数范围1件,yeRA>0中央原点O(0,0)原点O(0,0)顶点(a,0)(a,0),(a,0),(a,0)(0,0)(0,b),(0,b)对称轴x轴,y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴,y轴；实轴长2a,虚轴长2bx轴焦点Fi(

16、c,0),F2(c,0)Fi(c,0),F2(c,0)百.ol焦距2c(c-J必2c(c=+/)离心率=(0<e<1)a>1)a'e=1准线且cK二±一一匕2渐近线hy=±xa2 .有关圆锥曲线综合题类型：(1)求圆锥曲线方程一般求曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量的步骤：定形一一指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置,如果位置不确定时,考虑是否多解.此时注意数形结合,在图形上标出条件,检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确等.定式一一根据“形设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程

17、为mX+ny2=1(m>0,n>0).定量一一由题设中的条件找到“式中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小.此处注意n个未知数,列够n个独立的方程,并注意“点在线上条件及韦达定理的使用.注意：求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维水平,解决好这类问题,除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外,命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题,解决这类问题常用定义法和待定系数法(2)求取值范围或最值函数方法-将待求范围参数表示为另一个变量的函数,注意求函数的定义域.

18、方程与不等式组-n个未知数,列够n个独立方程或不等式,注意归纳总结列不等式的方法：利用几何性质求参数范围；利用不等式性质(结合几何性质)求参数范同.3 .解析几何问题中,解决运算问题的几点举措：解析几何图形结构、问题结构多,且易于发散,一旦形成为图形或知识点的综合,往往最具运算量、最为繁难复杂.因此,有时即便是明确了解法甚至较细的步骤,解题过程当中也常常被卡住,算不到底、算不出正确结果也是常有的事.因此,如何解决运算量问题,对于解题成功与否至关重要.解决运算问题,可以有以下举措：1不断提升运算和恒等变形水平.注意培养观察问题、分析问题、转化问题、解决问题的水平,防止思维定势,提升思维灵活性；具体审题中多收集些信息,综观全局,权衡利弊,再决定解题策略；增强练习运算根本功,不断提升恒等变形的水平.2善于运用平面几何性质来解题问题.解题处理方式不同,可能繁简大相径庭,假设考虑问题的几何特征,充分利用图形几何性质,对于解决运算量会大有裨益,这一点对于圆锥曲线综合题的处理很重要.3注意解析法与各种数学方法结合.当所求点的坐标直接解决有困难时,往往引进参数或参数方程起到解决问题的桥梁作用,引进适宜的参数,进行设而不求的计算方式,在解析几何中是普遍的,但应注意不断积累消参经验；相应元替换法也是常用的策略八.二次曲线