求线面角的三种常见思路方法

1、求线面角的三种常见思路方法舒云水本文以2009年卷理18题为例，介绍求线面角的三种常见思路方法，并对这三种方法作比较分析.如图1,在正三棱柱ABCABiG中，AB&AA，点D是A1B1的中E在A1C1上，且DE±AE.(I) 证明：平面ADE平面ACC1A1；(II) 求直线AD和平面ABCi所成角的正弦值.(I)证明略.下面主要谈(H)小题的解法.思路1：直接作出线面角求解.分析：因为本题几何图形是特殊的几何体一一正三棱柱，点D在特殊位置上线段A1B1的中点，所以本题比较容易作出线面角.如图2,取AB的中点F，连结DF,DC1,C1F，则面DFC1面ABC，过D作DHCF于

2、h,贝DH面ABC，连结AH，贝UHAD是AD和平面ABC1所成的角.解法1如图2,设F是AB的中点，连结DF,DCi,GF.由正三棱柱ABCABC1的性质及D是A，的中点知，AR±C1D,ABi±DF.又CiDIDFD,所以AiBi上平面CiDF.而ABIIAiBi,所以AB上平面CDF.又AB平面ABCi,故平面ABCi上平面CiDF.过点D作DH垂直CiF于点H,贝DH上平面ABCi.连结AH，贝UHAD是直线AD和平面ABCi所成的角.由已知AB72AA，不妨设AA72,贝UAB2,DF42,DCi招，CiF5,AD"A2AD2V3,DHDFDCi克*逸.

3、CiF55所以sinHAD也里0.AD5即直线AD和平面ABCi所成角的正弦值为画.5思路2:用等体积法求出点D到面仲的距离h，左为所求线面角的正弦值.分析如图3,连结CD,BD,即得四棱锥DABCi.用等体积D到平面ABC,的距离h,&为所法，即VdABCVc,dab,容易求出点求线面角的正弦值.解法2:如图3,连结C1D,BD.因为平面AB©平面ABi,CiDABi,所以CiD平面ABi.不妨设AA42，贝UAB2,DCi73,ACiBCi拓，ADBD=后.易求SADB厄,SABC施.ABCi设D在平面ABCi的射影为H,DHh,连结AH，贝UHAD是直线AD和平面ABC

4、i所成的角.因为VdabciVcidab,所以有3hSABCiCiDSABD,所以sinHADDHi0AD5即直线AD和平面ABCi所成角的正弦值为血.5思路3:坐标向量法.解法3如图4,设O是AC的中点，以。为原点建立空间直角坐标系，不妨设AA扼，则AB2,相关各点的坐标分别是A(0,1,0),B(T3,0,0),Ci(0lV2),D,】显.22uuu皿uuir.31_勿知AB=(5/3,1,0),AC1(0,2,V2),AD，,2.22r设平面ABCi的一个法向也为n(X,y,Z),则有ruum_nrAB、.3xy0,ruuuunrAC12y2z0.解得xy,z2y.3r-故可取n(1,、

5、3,6).ruur_ruuurn-AD2、3J0所以cosn,AD-rtuu.|n|AD|而把5由此即知，直线AD和平面ABCi所成角的正弦值为近.5评析：上题图形比较特殊，容易作出线面角，三种方法中解法1解法最简洁，解法1是首选.上题容易建立空间直角坐标系，容易求点的坐标，解法3也是不错的选择.方法2相对来说计算稍复杂一些，是最后的选择.下面对上题的“n小题”作两种变式，并对三种解法作比较评析.变式1:如图5,将题设条件“点D是A1B1的中点”改为“点D1是梭ABi上一点，AD-AiBi,其他不变.4解法1：如图6,分别取A1C1,AC的中点M,N,设MN与AC1交与点G,在AB上取点F,使

6、AF易证FNAB,DFAB，又FN1一-AB，连结DF,FN,FG.4DFF，所以AB平面MNFD,又AB平面ABC1，所以平面MNFD平面ABC1，过D作DHFG于H,则DH平面ABCi，连结AH,则HAD是直线AD和平面ABC1所成的不妨设AA42,则ABi3，GF.AN2AF2AA12A1D232角.12GN-CC12FNADsinsinDFHsin(90GFN)cosGFN1025155DHDFsinDFH2_5_3£55sinHADDH疽AD15即直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为解法2:如图7,连结BD，取A1B1的2.3015图8中点F，连结C1F，则C1FA1B1

7、,C1F平面DAB.2o3不妨设AA、2,贝uAB2,CiF、.3,AD.AAAD2-易求SADB'、2,SABC1V5.设D在平面ABCi的射影为H,DHh,连结AH，贝HAD是直线AD和平面ABCi所成的角.因为VdABC1Vc1DAB,所以有133hSABC1V5h插,C1FSABD,所以sinHADDH2一30AD15即直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为瓯.15解法3:如图8,同原题解法3建立空间直角坐标系，设AA克,点A,B,C1,AB,AC1及平面ABC1的法向量n的坐标同前面解法3.不同的是:UNIT.31-AD=世.44、TUUIT所以cosn,ADTUUT-n-A

8、D2、32、.30-TUUUr-|n|AD|血3152由此即知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为瓯.15评析：与原题解法1比较，变式1的解法1的作图与运算明显要复杂一些.比较变式1的三种解法，解法2和解法3比解法1要简单一些，解法1是最后的选择.变式2：原题题设不变，将结论改为“求直线AE和平面ABCi所成角的正弦值”.图9解法1：点E不是特殊点，它在平面ABCi的射影不好定位.可利用垂面法，作出点E在平面ABC1的射影.如图9,过E作EFAC1于F,在平面ABC1过F作FGAC1交BC于G,连结EG，贝UAC平面EFG，又AC1平面ABC1，所以平面EFG平面ABC再过E作EHFG于H

9、，贝UEH平面ABC1,连结AH,贝UHAE是直线AE和平面ABC1所成的角.这样虽然作出了线面角，但要求出EH运算很复杂，决定放弃此法.解法2:如图10,不妨设AA2,贝UAB2,AEJAA2A1E2-,A1E1A1D1,EC1-.2222取AC的中点F,连结BF，易知BF平面AEC1,BF<3.32一勿求SAEC1-,SABC15.设E在平面ABC1的射影为H,EHh,连结AH,贝UHAE是直线AE和平面ABC1所成的角.因为VeABC1VbAEC1,所以有1ABC1AEC1,-BFS35h孚h空20EH30所以sinHAEAE10即直线AE和平面ABC1所成角的正弦值为藉解法3:如图4,同原题解法3建立空间直角坐标系，设AA42,点A,B,Ci,AB,丽及平面ABCi的法向量n的坐标同原题解法3.不同的是:uum1_AE=0,-,22所以cosruumn,AEruurnAE-ruuu-|n|AE|由此即知，直线AE和平面ABC-所成角的正弦值为籍.评析：解法1的作图与运算很复杂，不可取.选择解法2和解法3比较合适.综观原题与它们的两种变式的三种解法，各有千秋，都应掌握好.对于一道具体的题目