高中数学中抽象函数的解法及练习

1、抽象函数问题相关解法由于函数概念比拟抽象,学生对解相关函数记号/(X)的问题感到困难,学好这局部知识,能加深学生对函数概念的理解,更好地掌握函数的性质,培养灵活性：提升解题水平,优化学生数学思维素质°现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：L换元法：即用中间变量表示原自变量X的代数式,从而求出/(X),这也是证某些公式或等式常用的方法,此法解培养学生的灵活性及变形水平.X例1：/()=2x+LjRf(x).x+x、h<2-u、2-x解：设=u,那么x=/./(w)=2+1=:./(%)=X+l1一、l-zz1-M1-X2 .凑配法：在/(&*)=(幻的条件下,把加&g

2、t;)拼凑成以g(“)表示的代数式,再利用代换即可求/*).此解法简洁,还能进一步豆习代换法.例2：/(工+')=工3+下,求/(X)XX解：f(x+-)=(x+-)(x2-1+)=(x+-)(x+,)23)又IX+,1=1XI+-!-N1XX厂XXxxf(x)=x(x2-3)=x33x9(lx|>1)3 .待定系数法：先确定函数类型,设定函数关系式,再由条件,定出关系式中的未知系数.例3./(V)二次实函数,且/'(x+l)+/'(工-1)=/+2工+4.求/(X).解：设/(x)=ax'+bx+c,那么/(x+l)+/(x-l)=t/(x+l)2+b(

3、x+)+c+a(x-)2+Z?(x-l)+c=lax1+2bx+2(+c)=x2+2x+4比拟系数得<2(a+c)=42a=1=a=-,b=22h=2"J"2J224 .利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性.求分段函数的解析式.例4.y=f(x)为奇函数,当x>0时J(x)=lg(x+l),求f(x)lg(l+x),x>0-lg(l-%Xx<0解：:/(X)为奇函数,f(x)的定义域关于原点对称,故先求XV.时的表达式./(一x)=lg(-x+l)=lg(l-x),vf(x)为奇函数,lg(l-x)=f(-x)=一/(x),当X<0时f(x)=

4、-lg(l-x)f(x)=<例5.一为偶函数,g(x)为奇函数,且有/(x)+g(x)=,求/(x)g(x).A-1解：:/(x)为偶函数,g(x)为奇函数,/(T)=/W.g(-x)=-g(x),不妨用X代换/(X)+g(x)=中的X,x-1X+1/(-x)+g(x)=!即f(x)-g(x)=-x-1显见+即可消去g(x),求出函数f(x)=再代入求出g(x)=X-1r-二、利用函数性质,解/(X)的相关问题1 .判断函数的奇偶性：例7/*+),)+/6),)=2/(¥)/(),),对一切实数工、y都成立,且/(O)W0,求证/'(X)为偶函数.证实:令=0,那么等式

5、变为/(、)+/(一y)=2/(0)/(y)在中令y=0那么2/(0)=2/(0)/(0)R./(0)=1./(y)+/(y)=2/(y)/.f(-y)=f(y):.f(x)为偶函数.2 .确定参数的取值范围例8：奇函数/(X)在定义域(1,1)内递减,求满足/(I-?)+/(1-/)<.的实数机的取值范围.解：由/(I-?)+/(1/)<0得/(I-2)一/(I一：/(X)为函数,/(I一一1)一1<1一7<1又/3)在(-1,1)内递减,rJ-l<m2-l<l=>0<w<l1-m>m2-13.解不定式的相关题目例9：如果/&quo

6、t;)=4/+力；+.对任意的,有/(2+r)=/2/).比拟/(I)、2)、/(4)的大小解：对任意I有/(2+1)=/2-r).x=2为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴又.其开口向上/(2)最小,/(1)=/(3)在2.+功上,/(X)为增函数A/(3)</(4),./(2)</(IXf(4)五类抽象函数解法1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数,是由线性函数抽象而得的函数.例1、函数/(X)对任意实数X,y,均有/(x+y)=/(a)+/(,),且当x>0时,/(戈)>0,/(-I)=-2,求/(戈)在区间-2.1上的值域.分析：由题设可知,函数/G)是沙=上

7、七(上,°)的抽象函数,所以求函数/G)的值域,关键在于研究它的单调性.解：设那么叼>0,.1尤>0时,/口)>0,.Jd-)>0,./(马)=/(与-=,(西-勺)+/(勺),./仇)-/出)=/区-11)>0,即/(七)勺),.寸为增函数.在条件中,令.v=r,那么/(°)=/(1)+/(一了),再令犬=)=0,那么/(O)=2/(0),A/(O)=0,故/(r)=/(x),/(a)为奇函数,(1) ="/(-1)=2,又/(-2)=2/(-1)=-4,：.f9的值域为-4,2o例2、函数/x对任意冗£氏,满足条件fx+

8、/y=2+/x+y,且当x>0时,/x>2,/3=5,求不等式"2-2"2"3的解.分析：由题设条件可猜测：/.V是y=x+2的抽象函数,且/X为玳调增函数,如果这个猜测准确,也就能够脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解.解：设修勒,那么的一>产?.时,兀,2./仇一片,2,那么/.2=/町-+占=-+/勺-2>2+/.1-2=/,即/何>/勺,./X为单调增函数.,./3=/2+1=/2+/-2=/I+/!-2+.1-2=3/1-4又.了=5,v-2以-2</.,.以2-2df-2<l,即1-2以-3<0,

9、解得不等式的解为-L2、指数函数型抽象函数例3、设函数八4的定义域是一孙+8,满足条件：存有11小,使得/修y何,对任何x和v,/a+=/W>/W成立.求：1/0：2对任意值X,判断fG值的正负.分析：由题设可猜测/4是指数函数尸二的抽象函数,从而猜测/0=i且/a>0解：令尸0代入/"»=/幻力力,那么/7了,./口一/=0.岩八X=0,那么对任意勺*不,有/S=/强=°,这与题设矛盾,.x>R.寸0=1.2令尸#0,那么八2K=J»="3尸2°,又由知/X的,；./>0,即/x>0,故对任意笳/X&g

10、t;0恒成立.例4、是否存有函数/a,使以下三个条件：®公>0,x£N：+力=/口/垃:2=4o同时成立？假设存有,求出的解析式,如不存有,说明理由.分析：由题设可猜测存有/"=",又由/2=4可得“=2.故猜测存有函数力=2=用数学归纳法证实如下：日时,“=川+1=川,川=加少=4,又.£.时,/>0,"=2=2,结论准确.假设k=无,321且e加时有力无=2、那么x=k+i时,+D=的1/=2-2=二*=计1时,结论准确.综上所述,X为一切自然数时=23、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数,即由对数函数抽象而得到的函

11、数.例5、设f是定义在0,+oo上的单调增函数,满足,加=/力*/37/5=L求：1/1：2假设fx+/a-8<2,求x的取值范用.分析：由题设可猜测/CO是对数函数沙=1°旦3'的抽象函数,/(1)=0,f=2.懈./=川97+/,=.(2) /7(3x3)=0/(3)=2,从而有/(X)+/(4-8)<f(9),即力工./4/(9),二仆)是(0,+8)上的增函数,故x(x-S)<9A>0I',解之得：8<.y<9o例6、设函数y=/(x)的反函数是y=g(x)o如果/(")=/()+/(/>).那么g(a+h)

12、=g(a)g()是否准确,试说明理由.分析：由题设条件可猜测y=f(x)是对数函数的抽象函数,又j,=/(x)的反函数是y=g(a),：.y=g(x)必为指数函数的抽象函数,于是猜测g(a+b)=g函)g函)准确.解：设/(“)=nf(h)=",由于g(a)是/(幻的反函数,耳(小)=mg(n)=b,从而烟+题=六)+/)=六=/房.虱,/(M.g()=g6+),以小分别代替上式中的即得g(a+b)=g(u)-g(£>)04、三角函数型抽象函数三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数.例7、己知函数/G)的定义域关于原点对称,且满足以下三条件:当为,句是定义域中

13、的数时,有八叼)7g:f3=-1Q,>0,a是定义域中的一个数)：当OVxV2a时,fCO<0o试问：(i)/a)的奇偶性如何？说明理由.(2)在(0,4a)±/(x)的单调性如何？说明理由.分析：由题设知/CO是V'的抽象函数,从而由V二一或gx及题设条件猜测：/Q)是奇函数且在(0,4/)上是增函数(这用里把看成4实行猜测).解：V/(X)的定义域关于原点对称,旦在为是定义域中的数时有/(工,一.(马)一修叼,(心)在定义域中.八一(覆一与)=/(一为)=+1_,(电),(不)+12)一了(公)="/(-x2)：.f(x)是奇函数.(2)设OVzVx

14、2V2u,那么0V内一xiV2a,在(0,2u)±/(x)VO,勺十1/5/足,/也一内均小于零,进而知,一,叼中的/61-/12<°,于是/Rv/Q一在0,2a±/x是增函数./7伽-.=2%+1.1=小可十】又丁丁24,.»“=一1,.J/2.,./=0,设2“VxV4«,那么0Vx-2/V2u,小一明二q"3j°了2.一/左"/to,于是/Ct>0,即在2小4</±/.v>0o设为VxV&V4m那么0<4一占2八从而知/即,/4均大于零./X2力<0,V/

15、为一1二2,/勺一/C>2°,即/Al</x2,即/x在2,4u上也是增函数.综上所述,/x在0.4上是增函数.5、辐函数型抽象函数箱函数型抽象函数,即由解函数抽象而得到的函数.例8、函数/CO对任意实数ry都有/但=/.v/y.且八一1=1,/27=9,当.工元<1时,/口已1°J.1判断f0的奇偶性：2判断fx在0,+x上的现调性,并给出证实：3假设“2°且+1,假设,求的取值范围.2分析：由题设可知fX是黑函数尸二'3的抽象函数,从而可猜测/X是偶函数,且在0,4-00上是增函数.解：1令=-1,那么/一x=/x/-I,V/-1=1

16、,/-x=/x,/a为偶函数.“,0<A<l"巧=/迎？=/&,八叼2设°'占才2,X2,X2X2W了cl时,/幻uOJ,.均,/x】VfX2,故/x在0,+8上是增函数.727=9,又/3X9=3X*973,/,/=/39七.八习=的.八以+1&范+143,.；q2U+L3e0j8,.8+33,即屋2.巡20,故"屋2.抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出r一些表达函数特征的式子的一类函数.由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一.木文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一

17、、定义域问题例L函数,二的定义域是1,2,求fx的定义域.解：点三的定义域是1,2,是指14及42,所以/马中的J满足1W一.4从而函数fx的定义域是1,4评析：一般地,函数,忒力的定义域是A,求fx的定义域问题,相当于了忒力中x的取值范围为A,据此求L的值域问题.r-1外沟("刈例2.函数的定义域是Lb勺,求函数2的定义域,解：/的定义域是f2,意思是凡被f作用的对象都在f2中,由此可得1工1咤!(3幻工2=(9,工31工(；)“=1三万工?加隹式3初1,11所以函数3的定义域是4评析：这类问题的一股形式是：函数f(x)的定义域是A,求函数,(税(目)的定义域.准确理解函数符号及其

18、定义域的含义是求解此类问题的关键.这类问题实质上相当于(目的值域B,且EG4,据此求x的取值范困.例2和例1形式上正相反°二、求值问题/(2)=1,6)=-u、_门、例3.定义域为次,的函数f(x),同时满足以下条件：5：可+刃,求f(3),f(9)的值.解：取工二2一二3,箭二2)+3)14/(2)=X/(Q=-/(?)=-由于5,所以5又取五二h二3O/(9)=/(3)+/(3)=-得5X-2V-3/(2)=1)/(6)=1评析：通过观察与未知的联系,巧妙地赋值,取五一4沙一这样便把条件5与欲求的f(3)沟通/起来.赋值法是解此类问题的常用技巧°三、值域问题例4.设函数

19、f(x)定义于实数集上,对于任意实数x、y,/a+>)=/5)/b)总成立,且存有勺士匕,使得/(占)=/(£),求函数/(工)的值域.解：令刀二沙二°,得/(°)=/(°)产,即有/(°)=°或/(°)二L假设/=0,那么/=/(不+0)=1AX)1A0)二0,对任意方wK均成立,这与存有实数勺*七,使得了01)¥/(阳)成立矛盾,故必有")=1.由于/(了+>)=/5/(力对任意六旌夫均成立,所以,对任意ewR,有/«=环+$=/A2NQ乙乙乙乙乙下面来证实,对任意工七艮/(力=

20、°设存有X.&R,使得了".)=.,那么"°)=一.)二/(10)/(1.)二.这与上面已证的/9)=°矛盾,所以,对任意工亡五'人力/°所以丁>°评析：在处理抽象函数的问题时,往往需要对某些变量实行适节的赋值,这是一股向特殊转化的必要手段.四、解析式问题V1">/(A)+/()=1+/例5.设对满足工=5犬=1的所有实数x,函数满足I,求f(x)的解析式./W+/()=1+Q)解：在X中以元代换其中X,得：八二十八-)二出XX-1X1再在(1)中以X-1代换X,得“1、工一2一2+3化

21、简得：工一12a(a-1)评析：如果把X和才分别看作两个变量,怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键.通常情况下,给某些变量适当赋值,使之在关系中“消失,进而保存一个变量,是实现这种转化的重要策略.五、单调性问题例6.设fx定义于实数集上,当兀0时,月1,且对于任意实数x、y,有/.+/=/幻./,求证：/在R上为增函数.证实：在/.+=/?力丁&中取五二3=0,得0=了0产假设/0=0,令去0,、=0,那么/二°,与：月1矛盾所以八°叫即有"=1当尤口时,/10.当一口时,一x.,/一力1.而/-»=/=1又当工=0时,/0=10所以对任

22、意恒有琦°设一8舟为+OD,那么无2-G0,/fe一工11所以丁一兀>o所以/&=加1+te-玉=/XJ所以=/用在R上为增函数.评析：一般地,抽象函数所满足的关系式,应看作给定的运算法那么,那么变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与式或所给关系式及所求的结果相关联c六、奇偶性问题例7.函数"六凡'=°对任意不等于零的实数讣句都有/为公=/51+/心,试判断函数fx的奇偶性.解.取修=一1,毛2=1得,一1二/一1+/0,所以/Q=°又取修=方=一1得：D=八7+八7,所以八一1=°再取勺二X,占二1那么/一切二/一

23、1+月,即/一了二/用由于了无为非零函数,所以/X为偶函数.七、对称性问题例&函数二,满足八幻+/一力=2002,求广1灯+广12002月的值.解：式即在对称关系式/3+方+/以一/=2'中取S=0,/?=2.2,所以函数y=/.0的图象关于点°,2002对称.根据原函数与其反函数的关系,知函数'的图象关于点2002.0对称.所以广匕+1001+广】1001-X=0将上式中的xMTOOI代换,得八+尸2002-力=0评析：这是同一个函数图象关于点成中央对称问题,在解题中使用r下述命题：设a、b均为常数,函数沙二/a对一切实数x都满足/0+幻+/.一=28,那么

24、函数二八外的图象关于点a.b成中央对称图形.八、网络综合问题例9.定义在.R匕的函数fx满足：对任意实数m,n,总有八搐十力=/网.,目.当x0时,0fxlo1判断fx的单调性:设j=/切|点一九1,3=(九刈/卬-历=1,6均,假设月I3=0,试确定a的取值范用.解：在/+=/(利/中,令祖=b甩=口,得/ID=/Q)'/(°),由于/Q)*°,所以八°)二1.在/加+甩)二丁(阿),/(力)中令洗=I,"F由于当工>口时,°"(力(1所以“小;口时一1>°,o</H)<1而/«/

25、(幻=/.)二1所以八一乃又当x=o时,八°)=1>°,所以,综上可知,对于任意xeR,均有了>°.设一8?为<2<4W,妙工2->0,0-1)<1所以/GO=/i+(4_1)1=/3)/区-为)<-所以y=/Q)在r上为减函数.(2)由于函数y=f(x)在R上为减函数,所以,(')J®)/(工+尸)/(I)即有1+入1又/(._?+隹)=1二/(°),根据函数的单调性,有ax-y+贬=.由月13=%所以直线以一+血=0与圆面,=之1?1无公共点.所以有心2+1,解得-IfaMl评析：(1)要讨

26、论函数的不调性必然涉及到两个问题：一是f(o)的取值问题,二是f(x)>o的结论.这是解题的关键性步骤,完成这些要在抽象函数式中实行.由特殊到一般的解题思想,联想类比思维都有助于问题的思考和解决.抽象函数专题练习抽象函数专题复习1.函数y=/a)(xeR,华0)对任意的非零实数占,心,恒有八为为)=/(内)秋招),I,1XI,试判断./U)的奇偶性.2定义在2,2上的偶函数,/.)在区间0,2上单调递减,假设/(I求实数,的取值范围3 .设f(x)是R上的奇函数,且f(x+3)=f(x),求f(1998)的值.4 .设函数f(X)对任意eO,i都有f(X1+&)=f(*)/(X2

27、),f(1)=2,求f(!).心,*T5 .f(x)是定义在R上的函数,且满足：f(x+2)1f(x)=1+f(x),f(1)=1997,求f(2001)的值.6 .设f(x)是定义R在上的函数,对任意x,y£R,有f(x+y)+f(xy)=2f(x)f(y)且f(0)=0.(1)求证f(0)=1；(2)求证：y=f(x)为偶函数.7 .定义在H上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为(2,6),试判断(4,8)是y=f(2X)的递增区间还是递减区间？8 .设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意a,b,当a+bM,都有/.八">>0ab(1) .a>b,试

28、比拟f(a)与f(b)的大小；.假设f(k3)+/(3-9-2).对XW-1,1J恒成立,求实数k的取值范围.9 .函数/(x)是定义在(,3上的减函数,/(“2-5由、)«/("+1+(：0$.)对工£/?恒成立,求实数的取值范围.10 .函数/(%),当x,ye/?时,恒有f(x+y)=f(x)+f(>')(1)求证：/*)是奇函数；假设/(-3)=a,试用“表示f(24).11 ./(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,beR,都满足：/(/?)=af(b)+bf(a).求/(0),/的值；(2)判断f(x)的奇偶性,并证实你的结

29、论；(3)假设/(2)=2.%=花口.?eN、,求数列明的前项和l.n12 .定义域为R的函数f(x)满足/(/(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.假设/(2)=3,前;7/(0)=4求人幻；(2)设有且仅有一个实数x(),使得/(%)=%,求函数f(x)的解析表达式.13 .函数f(x)的定义域为R.对任意实数机,“都仃/(?+)=/(?)+/()+!,【./(!)=0.当x>1时,222/(x)>0.求1)；(2)求和/(I)+/(2)+/+.+/()(eN.)；14 .函数/(x)的定义域为R,对任意实数2,都有f(m+n)=/(?)/(),且当x>0时,0<

30、f(x)<1.(1)证实：/(O)=l,fi.v<aij,f(x)>l；(2)证实：/(x)在R上单调递减；设A=(x,),),(x2)/(y2)>/(1),8=(丸),)|/(以一/+2)=1,.£/?,假设408=中,试确定的取值范围15 .函数.f(x)对任意实数x,y,均有/(x+y)=/(x)+/(y),且当x>0时,f(a)>0,/(-l)=-2,求.f(x)在区间-2,1上的值域.16 .函数/C)对任意见沙£区,满足条件/(x)+/(y)=2+/*+y),且当x>0时,/(x)>2,/(3)=5,求不等式_2&

31、#169;-2)<3的解.17、设函数沙二/月的定义域为全体R,当x<0时,/W>K且对任意的实数x,y£R,有了7fa,=成立,数列4满足为二/.,且“即neN*I求证：>=/是R上的减函数：II求数列SJ的通项公式：III假设不等式/J丁L:一彳一-可三0对一切nwN均成立,求k的1+的1+电一1+曲J2«+1最大值.18、设函数/只满足/0=1,且对任意乙,eR,都有I求,x的解析式；II假设数列SJ满足：,且6=1,求数列外的通项;HI求证：-<1十C2,3eM.2I19、假设数列值满足*姆二4其中d为常数,那么称数列吗为等方差数列,等

32、方差数列满足4>0,=L4=3.I求数列4的通项公式:f21Jin求数列.；弓的前总项和答案：1 ,解：令丫=1'r=X,得/X=f1+fX为J求/1的值,令丫=1,r=1'那么./1=人人人人,川枳一1,即川=0,再令=丫=1得/U=AltA1=纨-1/1=0代入式得Aix2大一x=/W,可得AD是一个偶函数.2 .分析:根据函数的定义域,一,机£2,2,但是1机和小分别在2,0和0,2的哪个区间内呢？如果就此讨论,将十分复杂,如果注意到偶函数,那么/有性质/(x)=/(A)=/(ld),就可防止一场大规模讨论.|1"w|>|m|<0&l

33、t;|l-w|<20<|/n|<2解：；f(x)是偶函数,/(I可得卜时帆),於)在0,2上是单调递减的,于是即,化简得一1勺<io1-2,+厂>nr_-2</h<24解:由+巧)=、)必J3 .解：由于f(x+3)=f(x),所以f(x+6)=f(x+3)+3)=f(x+3)=f(x),故6是函数f(x)的一个周期.又f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,所以f(x)=O从而f(1998)=f(6x333)=f(0)=0.门知f(x)=f(内,e0.一2/(|)=ir(|)2'f(1)=2,11同理可得1122.25解：从自变量值2001和1

34、实行比拟及根据条件来看,故易联想到函数f(x)是周期函数.由条件得f(X)壬1,f(x+2)=1+/“)f(x+4)=_l+f(x)_13=_!_1一.小)fix)所以f(x+8)1"/(x+4)=/U)所以f(x)是以8为周期的周期函数,从而f(2001)=f(1)=1997说明：这类问题出现应紧扣条件,需用数值或变量来迭代变换,经过有限次迭代可直接求出结果,或者在迭代过程中发现函数具有周期性,利用周期性使问题巧妙获解°6证实：(1)问题为求函数值,只需令x=y=O即可得.(2)问题中令x=0即得f(y)+f(y)=2f(0)f(y),且f(0)=1.所以f(y)+f(y

35、)=2f(y),所以y=f(x)为偶函数.说明：这类问题应抓住f(x)与f(x)的关系,通过条件中等式实行变量赋值.7 .解：由y=f(x)是偶函数且在(2,6)上递增可知,y=f(x)在(-6,-2)上递减.令u=2x,那么当x£(4,8)时,u是减函数且uc(6,2),而f(u)在(-6,2)上递减,故y=f(2x)在(4,8)上递增.所以(4,8)是y=f(2x)的单调递增区间.8 .解：(1).由于a>b,所以ab>0,由题意得八“)+/(4)>0,所以f(a)+f(-b)>0,又f(X)是定义在R上的奇函数,所以f(-b)=-f(b),f(a)a-b

36、-f(b)>0,即f(a)>f(b)(2).由(1)知f(x)在R上是单调递增函数,又%.3)+f(3'_9'-2)°,得f(k-3r)<f(9r-3v+2),知学,所以k3r令t=3,J3'所以及什？J而1+2之2及,即kV2&13'tt9,解：/(J-sinx)W/(a+l+cos'x)'0'a2-sinx<36/4-1+cos2x<3=a2-sinx>«+l+cos2xa2-3<sinxa-2<-cos2x=<a2-a-l>cos2x+sinx=

37、>/一3«-1.一2<0(/-a->4i-Vio2-&<a<>/2<a<2=-yjl<a<i-Vwr、i+a/Toa<或a>2210. (l)证实：令),=_.得/(xX)=/(X)+/(T)O/(X)+/(T)=/(.)令x=y=.'那么/(0)=2/(0)n/(0)=0,/(x)+/(-x)=0/(-x)=-f(x),/(x)是"函数°(2)7f(24)=f(3)+f(21)=2/(3)+/(18)=.=8/(3)又:/(3)=a=/(3)=a=/(24)=8a11. (1

38、)解：令a=b=0,那么/(0)=0令a=b=l,那么/(D=2/(l)=/(l)=0证实:令=/,=_,那么,()=2/(-1),f(1)=0,/(-1)=0令a=,那么y(-x)=V(-l)-fM=/(x)/Q)是奇函数.(3)当"学0时,f(ab)_f(b)f(a),令,、_/(x),那么g(a“)=g(a)+g();十8x)abbax故g(a")=g(a),所以/(a")=4g(/)=/g(a)=1勺2)=2J(l)=/(2+)=2/(扑;2)=0佃T"2)v故%+巩T)(2*)2(1Vz、4=一=一j一-l(tN*)1-212 .解：,对任意x

39、eR,函数八%)满足/(/*)_/+初=/g)_%2+%,且/=2A/(/(2)-22+2)=/(2)-22+2,那么/=1v/(0)=t7>A/(/(0)-02+0)=/(0)-02+0=6/-02+0=>f(a)=a出:对任意1心函数/*)满足/(/*)-42+幻)=/(入)_/+尸有且仅有一个实数汇使得/(%)=%对任意xeH'有/(工)一/+工=%上式中,令户芍,那么八/)_玉：+/=%,/(Xo)=x°,故,_4；=OAxo=O或x0=假设%=0,那么/a)F+x=.,那么制=/一门但方程工=工有两个不相同的实根与题设茅盾,故与工.假设/=1,那么/()

40、-/+工=1,那么/(乃=/_工+1,此时方程x2_x+l=x=(X-l)2=0有两个相等:的实根,即有且仅有一个实数小,使得/(/)=/,f(x)=x1-x+(xeR)13 .(1)解：令1,那么11111m=2/(2+2)=2/q)+5=/=2,/(I)=1,fn+1)=/(1)+/(«)+|=1+/()+；=/()+1乙乙乙乙'/5+1)-/.?)=1,数列/()是以1为首项为公差的等差数列,故2/+/(2)+/(3)+/5)=-1)=/!=222任取和占w凡且再行那么/(x2)-/(x1)=/(x2-A：1)+x1-/(x1)=/(x2-x1)+/(x1)+l-/(x

41、1)=/(x2-x1)+i/x2-Xj+->0*'/弓</函数/X是R上的单调增函数.14、,(1)证实：令6=0,=1,那么/(0+1)=/(0)/,当x<0时,一x>0,那么:当x0时Ov/(%)<1/(1)>0-e-/(0)=r7±,x>00</(x)<l/(-X+x)=/(-X)/(X)=/(x)=证实：任取X2凡且再<占厕/(占)一/(为)=/(一再)+再一/(再)=/(占一再)7(2)一/(再)=/(七一再)-1/(司)x2-x,>0*A0<0</(x2-x,)<1,故/(x2-x

42、1)-l<0'XV/(i)>°,"(zf)-1"(芍)故>f函数/(X)是R上的单调减函数.A=(x,y)|/(x2)/(y2)>/(I)=>(x,y)|/(x2+y2)>/(I)由(2)知,/*)是R上的减函数,工炉+丫2VlB(x,y)|/(or_y+2)=l,awH,(x,y)cix-y+2=O,tze/?)方程组卜2+y2<1无解,即直线or_y+2=0与单位圆r+俨<的内部无公共点lor-y+2=0|2|yjcr+1=旌3=<Wa&B故“的取值范围是一>115、解：设为两,那么强

43、-修0,当QO时o,的f>0,V/(a2)=/fo"而)+勺=/(电修)+勺),"出-/=/4-勺>°,即/盯>/勺一"外为增函数.在条件中,令、=一刀,那么/(0)=/(二),(一工),再令x=y=O,那么/(0)=2/(0),/./(0)=0,故/(X)=/(x),/(x)为奇函数,A/(1)=-/(-1)=2,又-2)=2/(-1)=-4,Af(X)的值域为-4,2°16、.解：设修<町,那么的->0,;当尤时,/(兀)2,/(町-)>2,那么=A(2-+狗=-)+/(勺)-22+-2=/(修),即/(

44、右)>/(勺),/(x)为单调增函数.v/(3)=/(2H)=/(2)+/(I)-2=/(I)+/(I)-2+/(I)-2=3/(1)-4,又"(3)=5,:"1)=3./(-24一2)/_24一2<1,即以2-2弓一3<0,解得不等式的解为-1<“<3.17、设函数沙二丁(了)的定义域为全体R,当x<0时,/(元)1,且对任意的实数x,yeR,有/(大+j)=/./物)f(a1)=5成立,数列满足的=/(.),且“一%)(nGN*)21(I)求证：'=/(1)是R上的减函数；(II)求数列的通项公式：(IH)假设不等式.丁L:一彳丁一;一7占彳三0对一切口£2均成立,求k的1+%)(1+的).(1+曲)J2九十1最大值.解析：(I)令工=TK,得r(T)=:(T)"),由题意知了(一1)工0,所以/(0)=1,故Q=/(0)=l.当x>0时,-x<0,/(0)=/(-力,/(力二1,进而得.</(力<L设,与金衣且为<%,那么与一o</(x2