求数列通项公式的十种方法,例题答案详解

1、求数列通项公式的十一种方法(方法全，例子全，归纳细)总述：一.利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法)、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法(目的是去递推关系式中出现的根号)、数学归纳法、不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式)、特征根法二. 四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三. 求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。四. 求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。五. 数列的本质是

2、一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法1.适用于：an1anf(n)这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。2.若an1anf(n)(n2),a2af(1)则&a2f(2)LLan1anf(n)n两边分别相加得an1af(n)例1已知数列(an)满足an1an2n1,a1,求数列(an)的通项公式。解：由an1an2n1得an12n1则(anan1)(an1an2)L(a3a2)(a2a)a2(n1)12(n2)1L(221)(211)2(n1)(n2)L21(n1)1_(n1)n2-2(n1)1(n1)(n1)112nanan所以数列(an)的通项公式为an:由a

3、n1ann231得an1ann231则an(anan1)(an1an2)L(a3a2)(a2a)a1n(2311)(23n21)L(2321)(231)n12(33n2L32；31)(n1)3c3(13n1)2-(n1)313n33n133n1所以an3nn1.3,求数列解法3an例2已知数列(an)满足an13n(an)的通项公式。解法二：an3an23n1两边除以3n1,得牛3n1an3n则哭13nan2n33a3nan3an1)1an(32(n(鱼an1(2_±33n1an2、3n2)户2(3n2a3、3n3)3111冒)3n2)1疔L(3L31、332)3因此冬2(n13n3

4、2c则ann33评注：已知a1a数、分式函数，求通项1(13n3131n1-322an1,anan1)若f(n)是关于n的一次函数,若f(n)是关于n的二次函数,若f(n)是关于n的指数函数,若f(n)是关于n的分式函数,f(n),其中1223nf(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函累加后可转化为等差数列求和累加后可分组求和累加后可转化为等比数列求和累加后可裂项求和。例3.已知数列an中，an0且Sn二(an2an，求数列'*)的通项公式.Sn1(a解：由已知2SnSnSn1化简有SnS：1气由类型(1)有氐S12又S1a得a112n(n1)Sn，所以2，又an0Sn.2n(

5、n1)an则2n(n1),2n(n1)此题也可以用数学归纳法来求解二、累乘法1.适用于：an1f(n)an这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2.若显f(n),则冬ana1f(1),虫f(2),LL,星a2anf(n)两边分别相乘得，扣例4已知数列aif(k)(an)满足an12(n1）5nan,a13,求数列an）的通项公式。an12(n1)5nan,a3,所以an0,则驰2(n1)5n,故ananan12(nan1L%a?an2a2a11)5"12(na2n9.91n221Q1)5L2(21)52(11)532n1n(n1)L32n(n1)32n152n!5(n1)(

6、n2)L213解：因为an1n(n1)所以数列an）的通项公式为an32n52n!.例5.设an是首项为1的正项数列，且221an1n去同0(n=1,2,3,)，则它的通项公式是an解：已知等式可化为:(an1an)(n1)an1nanan0(n(n+1)an1nananan1an2时,an1ananan1a2评注:an1an2a1土口a=n本题是关于an和an1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与an1的更为明显的关系式,从而求出an练习.已知an1nann1,a1求数列an）的通项公式.答案：an(n1)!(a11)-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式

7、an1nann1，转化为an11n(an1)，若令bnan1,则问题进一步转化为bn1nbn形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.三、待定系数法适用于an1qanf(n)基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。an1cand,(c0苴中a')型(1)若c=1时，数列an为等差数列；(2)若d=0时，数列an为等比数列；来求.(3)若0时，数列an为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列待定系数法：设anc(an)得an1can(cD，与题设an1cand，比较系数得(c1)d，所以d»c°)。-所以有:a

8、n土c(an1土)c1因此数列dan一ca11构成以1为首项，以c为公比的等比数列,an所以(a号)c1an(a即：规律：将递推关系cand化为dan1一-c1c(an上)为cj了dian-c1从而求得通项公式土)c1逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系an1cand中把n换成n-1有ancan1d两式相减有an1anc（anan1）从而化为公比为c的等比数列（an1an,进而求得通项公式.an1%c（a2那,再利用类型（1）即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂例6已知数列an中，a11,an2an11(n2）,求数列an的通项公式。解法一：Qan2an11(n2),an12(an11

9、)又Qa12,an1是首项为2,公比为2的等比数列即an2n1解法二：Qan2an11(n2),an12an两式相减得an1an2(anan1)(n2），故数列an1an是首项为2,公比为2的等比数列，再用累加法的练习.已知数列*中,ai2,an11二an,22求通项an。1n1ane)n11答案：22.形如：翥1P%（其中q是常数，且n0,1）若p=1时，即：an1anqn，累加即可.若p1时，即：an1pnanq求通项方法有以下三种方向:n1i.两边同除以p.目的是把所求数列构造成等差数列an1FT3-即：pannqPS,令bnanbn1bnp,则ii.两边同除以.目的是把所求数列构造成等

10、差数列。即:an1n1qannqP、nq，然后类型1,累加求通项.bn令anq，则可化为Hbq勺.然后转化为类型5来解,iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列n设an1q1p(ann、p）.通过比较系数，求出,转化为等比数列求通项注意：应用待定系数法时，要求pq,否则待定系数法会失效。例7已知数列第满足为12an41,求数列篮的通项公式。解法一（待定系数法）:设an13nn1、2(an3)比较系数得14，22,则数列an43是首项为a14315，公比为2的等比数列,52n143n152n1解法二（两边同除以两边同时除以3n1得:2 an13n1a3n432,下面解法略解法三（两边同

11、除以1):an1an两边同时除以2n1得:-（-）n32,下面解法略3.形如an1pankn（其中k,b是常数,°)方法1:逐项相减法（阶差法）方法2:待定系数法通过凑配可转化为(anxny)p(an1x(n1)y).;解题基本步骤:1、确定f(n)=kn+b2、设等比数列bn（anxny）,公比为p3、列出关系式(anxny)p(an1x(n1)y)即bnpbn14、比较系数求x,y5、解得数列佰。Xny）的通项公式6、解得数列*的通项公式8在数列an中，a11,去13an2n,求通项an.（逐项相减法）解:an13an2n,n2时，an3an12(n1)两式相减得an1*3(an

12、an1)2令bnan1an,则bn3bn12利用类型5的方法知bn53n即an1an53n115an-再由累加法可得23n1n亦可联立dan解出例9.在数列中,a3,2an2an16n3，求通项an（待定系数法）解：原递推式可化为2（anXny)an1X(n1)比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为2bnbn1所以bn是一个等比数列，首项b1a16n992，公比为bn即:1nan6n99()n1nan9Bn6n9故224形如an1PananbnC（其中a,b,c是常数，且a°）基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。例10已知数列an满足an

13、12an3n24n5,ai1,求数列an的通项公式。2解：设an1x(n1)y(n1)z2(an2xnynz)比较系数得x3,y10,z18,2所以an13(n1)10(n1)182(an3n210n18)由司31210118131320,3n210n1802则%1"I一皿182,故数列an3n210n18-一2一an3n10n18为以_2_a1311011813132为首项，以2为公比的等比数列，因此_2_an3n10n1832n1n42，则an223n10n18。5.形如an2pan1qan时将an作为f（n）求解分析：原递推式可化为an2an1(P)(an1an）的形式，比较系

14、数可求得，数列an1an为等比数列。例11已知数列去满足为25an16an,a1,a22，求数列an的通项公式。解：设an2an1(5)(an1an)比较系数得2,不妨取2，（取-3结果形式可能不同，但本质相同）则an22an13(an12an）,则an12an是首项为4,公比为3的等比数列n1n1n1an12an43所以an4352练习数列a,n中,a18,a22,且满足an24an13an0求an答案：*113n四、迭代法anrpan(其中p,r为常数)型例12已知数列an满足禹1a3(n1)2n,a缶的通项公式。解：因为an13(n1)2nan,所以3n2n1anan13(n2)2Lan

15、333(n2)(nan3La%/3"332(n1)n2(n2)(n1)1)n#3)(n2)(n1)32(n1)n2(n2)(n1)an23)(n2)(n1)123LL(n2)(n1)n212LL(nn(n1)1n!22又ai5,所以数列(an的通项公式为ann(n1)3n1n!225注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。五、对数变换法适用于an1rPan(其中p,r为常数)型p>0,an0例14.设正项数列an满足a11,%2an1(n>2).求数列an的通项公式.解：两边取对数得：logan12logan1logan12(log2n11),设bnlog

16、；n1,则bn2bn1bn1n19n是以2为公比的等比数列，b1log211bn122Iogan12n1logancn121.an2?n11练习数列*中，a11an2Jan1(n>2),却:列an的通项公式.答案：_222nan21例15已知数列an满足an123na5,a7,求数列a的通项公式。解：因为ani23na；,a7,所以an0,an10。两边取常用对数得|gan15lgannlg3Ig2设Iganix(n1)y5(lganxny)(同类型四)比较系数得，x史,y耍史4164由lga1耍1耍实lg7lg31lg3_0,得lganlg3lg3lg2-n0,416441644164

17、所以数列lgan瓯nig3lg2是以lg7瓯业g为首项，以5为公比的等比数列，41644164则lgan耍nig3ig2(lg7lg3lg3lg2cn1)5,因此41644164Igan(lg7匪安安)S1箜n炽安4164464111n11lg(7343希24)5n1lg(3、3佑2、)111n11一一&n1一lg(73431624)lg(3431624)5n4n15n11lg(75n13162丁)5n4n15n11则an75n13162。六、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例16已知数列an满足an1虱，a11，求数列an的通项公式。an2:求倒数得111,111,1

18、1、,一为等差数列，首项1an12anan1an2an1ana11/1),2-(nann1an2解七、换元法适用于含根式的递推关系1例17已知数列an满足an1一（1164anJ124为）,a1,求数列为的通项公式。解：令bn19&'则an"1)代入an11(14anJ124an)得1612(bn2411)-1164(bn1)bn24即4b；1-2(bn3)因为a24an0,则2bn1bn3,即bn17bn2可化为bn13一(bn3),2所以bn3是以b13Ji24%J124132为首项，以】为公比的等比数列，因此2bnn11n2,132侦)侦)，则bnH)2224a

19、n1n2（2）3，得an八、数学归纳法通过首项和递推关系式求出数列的前法加以证明。n项,猜出数列的通项公式，再用数学归纳例18已知数列an满足an1an8(n1)(2n1)2(2n3)2'&-，求数列an的通项公式。98(n1)饵牛.由an1an22n1n(2n1)2(2n3)2aia28(11)88224a3a2-2-一2(211)(213)8(21)25252448a4a3_2.一2(221)(223)8(31)325482549844980(22-21)(233)49498181由此可猜测a(2n1)21(121,下面用数学归纳法证明这个结论。(2n1)(2)ak1当n1

20、时,(211)21(211)2-,所以等式成立。9假设当nk时等式成立,ak(2k1)221,则当n(2k1)2k1时,8(k1)22(2k1)2(2k3)222(2k1)21(2k3)2ak8(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k1)2(2k3)2(2k3)212(2k3)222(k1)1212(k1)12由此可知，当nk1时等式也成立。根据(1),(2)可知，等式对任何n都成立。九、阶差法(逐项相减法)1、递推公式中既有Sn,又有a”分析：把已知关系通过an5,nSn§1，n转化为数列an2n或&的递推关系，然后采用相应的方法求解。例1

21、9已知数列an的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn1,(an1)(an2),且a2,a4,a9成等比数列，求数列an的通项公式。解：.对任意1)(an2)1,nN有Sn(an6.,当n=1时,c1，Sja(a1)(a62)，解得ai1或ai2当n>2时,2)1&1(an11)(an16-整理得:(anan1)(anan13)an各项均为正数，anan1当a11时，an3n2,此时a2a2&9成立2a2时，an3n1，此时a4a2&9不成立，故ai2舍去所以an3n2练习。已知数列an中，an10且Sn(an221)，求数列an的通项公式.答案：SnSn1an(a

22、n1)2(an11)2an2n12、对无穷递推数列例20已知数列an满足a11,ana12a23a3L(n1)an1(n2)，求an的通项公式。解：因为ana12a23a3L(n1)an1(n2)所以an1a12a23a3L(n1)an1nan用式一式得an1annan.则an1(n1)an(n2)故京n1(n2)所以an逐&an1an2L鱼aa2a2n(n1)L43屁n!2a2.an由ana2a23&L(n1)an(n2),取n2得a2a2a2，则a2a，又知a1,则a21,代入得ann!n。2所以，an的通项公式为ann!2D,使f(Xo)Xo成立，则称Xo为十、不动点法目

23、的是将递推数列转化为等比(差)数列的方法不动点的定义：函数f(x)的定义域为D,若存在f(x)x0f(x)的不动点或称(Xo,f(Xo)为函数f(x)的不动点。分析：由f(x)X求出不动点xo,在递推公式两边同时减去Xo,在变形求解。类型一：形如an1qandan的通项公式。an112(an1),类型二：形如anaanbcand分析:(1)f(x)耳cxd若有两个相异的不动点递归函数为p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q,再将两式相除得kJ,其中qanq(aiqpq)kn1(appq).apc.k，ann1aqc(%p)k(aq)(2)若有两个相同的不动点p,则将递归关系式两边减去不

24、动点p,然后用1除，得1,k,其中kan1panp2cod例22.设数列an满足a12,an15an4n一，求数列an的通项公式.72an例21已知数列an中，a11,an2an11(n2),求数列解：递推关系是对应得递归函数为f(x)2x1,由f(x)x得，不动点为-1分析：此类问题常用参数法化等比数列求解解：对等式两端同时加参数t,得：,5an4an1t2an75)an7t2an7(2tan-5F7t42t5,7令t丑42t,一_、ant代入an1t(2t5)得2an7an1相除得an1an1an,an129工2an72a,11an1a,即23an2an213an111）是首项为2,解之得t=1,-25n7a1a12公比为的等比数列，an1=1an2一431n解得an43n示11方法2:an113an12an7两边取倒数得1an112an73(an2(an令bnan1则bn例23已知数列(an)满足an解：令21x4x241得4x2动点。因为24an121an4an121an2434ana12a13ann11I一。特征方程法形如a1m1,a2an,其特征方程为3。1)3bn，1)93(an1)an,转化为累加法来求.21an4an124一，20x240a14