陕西省安康市高新中学2020-2021学年高三上学期8月摸底考试理科数学试题

1、陕西省安康市高新中学2021-2021学年高三上学期8月摸底测试理科数学试题学校:姓名：班级：考号：一、单项选择题1 .(l+i)(2+i)(3+i)=()A.-10/B.10/C.-10D.102 .设集合4=划<<2,B=xeZ|x2-2x-3<0,那么AC|8=()A.1,2B.(-1,3)C.1D.1,24.某网店2021年全年的月收支数据如下图,那么针对2021年这一年的收支情况利A.月收入的极差为60B.7月份的利润最大C.这一年的总利润超过400万元D.这12个月利润的中位数与众数均为5.向量A4=3,2,AC=5,-1,那么向量而与衣的夹角为A. 45

2、6;B. 60°C. 90°D.120°6 .%4+14-1的展开式中的常数项为1XzA.-22B.-21C.207 .设q=ln2,b=log42,0=2一",那么D.21A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD.c>b>a8.正三棱柱ABC44G中,AB=衣吗,D是BC的中点,那么异而直线AD与4c所成的角为9.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保存宇宙秘密的最后遗产,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞,假设要测量如右图所示的蓝洞的口径A,6两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,

3、D,测得C£>=80,ZADB=135°,NBDC=NDC4=15.,ZACB=20°,那么A,8两点的距离为A.80>/3B.80C.160D.80610 .函数/x=cosx-lsinxl,有以下四个结论：“X是偶函数/“是周期函数/%在卜小o上是增函数/在况句上恰有两个零点其中所有正确结论的编号有A.B.C.®©D.11 .假设函数恰有两个零点,那么/X在-3,3上的最大值为A.-B.-C.2D.12 .设月,心分别为双曲线C:3一;二1.0力0的左,右焦点,A为.的左顶点,以月鸟为直径的圆与.的一条渐近线交于M,N两点,且N

4、M4N=135.,那么双曲线C的离心率为A.如B.有C.2D.752二、填空题x+2y013 .x,y满足约束条件«3x+y-5.,那么z=x+y的最大值为.x-3y+5014 .夕是第四象限角,2cos2o+5cosa4=0,那么tana=.2215 .椭圆千+5=1.0的左,右焦点分别为",外,椭圆上的点M满足AFxMF2=60°,且mE.MF；=4,那么.=.16 .三棱维PA8C的顶点都在球.的球面上,PA=PB=PC=5册,AB=8,BC=6,AC=10,那么球.的外表积为.三、解做题17 .等比数列?,是递减数列,且满足4=4,%+%=17.1求数列也

5、的通项公式；2设数列色的前项和为S,求S“的最大值及取得最大值时的值.18 .如图,四棱锥夕一ABCD中,四边形A8CQ是直角梯形,AB±AD,AB/CD,PC_L底而ABC.,PC=AB=2AD=2CD=4,E是PB的中点.(1)证实：平而£4C_L平面P3C：(2)求二面角8AE-C的余弦值.19 .某企业产品正常生产时,产品尺寸服从正态分布N(80,0.25),从当前生产线上随机抽取200件产品进行检测,产品尺寸汇总如下表：产品尺产/mm77,78,5(78.5,79(79,79.5(79.5,80.5(80.5,81(81,81,5(81.5,83件数2273080

6、36223根据产品质量标准和生产线的实际情况,产品尺寸在(-3b,/+3b以外视为小概率事件,一旦小概率事件发生视为生产线出现异常,产品尺寸在(4-35+3司以内为正品,以外为次品.(1)判断生产线是否出现异常,并说明理由：(2)用频率表示概率,假设再随机从生产线上取3件产品复检,正品检测费10元/件,次品检测费15元/件,记这3件产品检测费为随机变量X,求X的数学期望及方差.附：假设随机变量X服从正态分布那么尸(-bvXK+b)=0.6826,P(-2b<X<+2b)=0.9544,P(-3bvX<+3b)=0.997420 .在平面直角坐标系xOy中,M为直线y=x2上动

7、点,过点作M抛物线C:的两条切线初4,/超,切点分别为A,B,N为A8的中点.(1)证实:MN_Lx轴：(2)直线A8是否恒过定点?假设是,求出这个定点的坐标：假设不是,请说明理由.21 .函数/(x)=lnx+aF+(+2)x+l,aeR.1讨论函数/X的单调性；2假设/x<0,求整数的最大值:3证实：ex-xnx+2x3-x2+x->0.x=tcosa22 .在直角坐标系xQ,中,直线/的参数方程为,/为参数,乃y=tsinax=2+2cosd曲线G的参数方程为?.八8为参数,以原点.为极点,x轴正半轴为极y=2sin,轴建立极坐标系,曲线c2的极坐标方程为夕=2cos62&g

8、t;/3sin0.1写出直线/与曲线G的极坐标方程；2假设直线/交曲线&于.,A两点,交曲线G于.,B两点,求A8的最大值和最小值.23 .a>0,b>0,c>0,函数/x=la-xl+lx+Z?l+c.1当a=c=2时,求不等式/x<8的解集；2假设函数/x的最小值为3,证实：/+/之3.参考答案1. B【分析】利用复数的乘法运算法那么运算求解.【详解】由题得+i2+i3+i=l+3i3+i=10i.应选B【点睛】此题主要考查复数的乘法运算法那么,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理水平.2. D【分析】首先求出集合4,再根据交集的定义计算可得；【详解】

9、解：8=xeZ|X.-24一3V.=xeZ|-1vxv3=0,1,2,由于A=x11«x2AAAB=1,2.应选：D【点睛】此题考查一元二次不等式的解法,以及交集的运算,属于根底题.3. A【分析】/根据函数解析式知：/X为奇函数且0,£上恒正,即可得正确选项.【详解】/t=3cost+1=_011=_/x,故X为奇函数,-XX/冗、当工,£0,彳时,/x0,又/兀0,应选：A.【点睛】此题考查了根据函数解析式识别函数图象,属于简单题.4. C【分析】由图中的数据逐一分析选项,可得答案.【详解】对于A选项：第11月份的收入最高：为90万元,第3月份和第4月份的收入

10、最低：为30万元,所以月收入的极差为60万元,故A选项正确；1至12月份的利润分别为20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,所以7月份的利润最大,为60万元,故B选项正确：总利润为380万元,故C选项不正确；这12个月利润的中位数与众数均为30,故D选项正确：应选：C.【点睛】此题考查拆线统计图的识别,以及理解并计算统计的数字特征,属于根底题.5. C【分析】求出=A分=(2,3),进而可求而豆亍=3x2+2x(-3)=0,即能求出向量夹角.【详解】解：由题意知,=分=(2,3).那么而及=3x2+2x(-3)=0所以丽_LB?,那么向量可月与炭的夹角为90&#

11、176;.应选:C.【点睛】此题考查了向量的坐标运算,考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时,通常代入公式6. A【分析】先根据二项式定理得工-1展开式,再求对应常数项.【详解】由于!一1中央=尸1kJr所以+展开式中的常数项为j.6.二(-l)S+bC(-l)7=-22应选：A【点睛】此题考查二项式定理应用,考查根本分析求解水平,属根底题.7. A【分析】根据指数函数与对数函数的性质,分别判定.,b,c的范围,即可得出结果.【详解】11/1Y-1a=In2>Iny/e=,b=log,2=tc=Iv,2222:.a>b>c.应选:A.【点睛】此题主要考查比拟对数与指数的大小,熟

12、记指数函数与对数函数的性质即可,属于根底题型.8. B【分析】取用G中点E,连接4E,CE,根据正棱柱的结构性质,得出4E/A.,那么NCAE即CE为异而直线AO与4.所成角,求出tanNC4E=7w,即可得出结果.【详解】解：如图,取用G中点七,连接4E,CE,A由于正三棱柱ABC-BCX,那么BB"L底而,而AEu底面ABC,所以B81_L4E,由正三棱柱的性质可知,AG为等边三角形,所以4E_LBiG,且4七.耳.1=后,所以4E_L平面BBC.,而ECu平面881GC,那么那么AEA£),ZAjFC=90°,NC41E或其补角为异面直线与4.所成角,设A3

13、=2,那么胡=&,%E=6,ce=6Ce那么tanZC4,E=I,1 AE耳：.ZCAiE=.应选：B.【点睛】此题考查通过几何法求异而直线的夹角,考查计算水平,属于容易题.9. D【分析】利用等腰三角形性质以及正弦定理求出AO,.8、再根据余弦定理求A,8两点的距离.【详解】DC在aAOC中,ZADC=ZADB+Z.CDB=135°+15°=150°ADAC=180°-ZACD-ZADC=15°/.AD=DC=80在BOC中,ZDCB=ZACB+ZACD=n00+5°=35oZDBC=180°-ZBCD-ZBDC=

14、30°BDDC80sin135.86当句时,令/3=0,得cosx=binx|,所以tanx=±l,且xe7t冗2'2以/(X)有两个零点玉=-1,%2=,所以止确.综上所述,正确结论的编号有.应选：C【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性和零点,属于中档题.11. B【分析】通过求导可知：fx)=x1-ax=x(x-a)=O,x=0或x=.,假设=0,那么/(x)=,/单调,不符题意,显然.工0,由/(X)恰有两个零点,所以必有一个极值点为零点,只能是x=a处为零,代入即可得解.【详解】fx)=x2-ax=x(x-a)=0,工=0或x=a,假设4=

15、0,那么=单调,不符题意,故工0,/(x)恰有两个零点,必有一个极值点为零点,只能是x=处,/()=0,解得=2,.J(x)在x=0处取得极大值为上又"3)=1,./(X)在3,3上的最大值为士,应选：B.【点睛】此题考查了利用导数研究函数的零点问题,根据零点个数求参数范围,考查了分类讨论思想,整体计算量不大,属于根底题.12. D【分析】设以"A为直径的圆与渐近线y=相交于点用用,'0毛>0,根据对称性,得到aNtolY,联立方程求点和Na/,根据题中条件,求出Z?=2.,即可得出离心率.【详解】设以"A为直径的圆与渐近线y=相交于点用用,为>

16、;0,a根据对称性得"一及,一0,b由°=一7"解得知3-,那么Na,b.K+%=c?.Aa,O,.NMA马=90°,.NMAK=45°,记右顶点为8a0,连接8M,那么耳巴,【点睛】此题主要考查求双曲线的离心率,熟记双曲线的简单性质即可,属于常考题型.13.3【分析】有约束:条件得到可行域,即目标函数与可行域有交点时,在x、y轴上的截距最大,即可求z=x+,的最大值.【详解】由约束:条件可得可行域如下:,z=K+y过点1,2时取得最大值3.故答案为：3【点睛】此题考查了线性规划,根据约束条件求目标函数最大值,属于简单题.1.1. 近3【分析】

17、利用倍角公式可得cos=3,再利用同角三角函数的根本关系求出Sina=_正,即可得44答案：【详解】3由2cos2a+5cosc-4=4cos2a+5cos-6=0,解得cosa=,4是第四象限角,sina=且,tana=-叵.故答案为：上.3【点睛】此题考查倍角公式和同角三角函数的根本关系,考查运算求解水平.15. V6【分析】设|丽|=小,|丽卜,由M"Z*=4得m360.=4,可得?=8,由椭圆定义可得：团+=2,在“6鸟中,结合余弦定理可得：鸟二/27cos60.=42_,联立即可得解.【详解】如图：设I砺卜?,I丽卜,由MEMF=4得7cos60°=4,可得&qu

18、ot;?=8,又7+=2.,在"中,由余弦定理可得：=nr+n2-22cos60.=4/一/,式平方减去式得/=6,/.b=y/b.【点睛】此题考查了椭圆根本量的计算,考查了向量数量积的应用,题型是解椭圆焦点三角形,利用了余弦定理和椭圆定义的结合解题,是固定题型,属于根底题.16. 180万【分析】由可知3c为直角三角形,尸._1平面48.,设球.的半径为R,进而利用勾股定理求出R的值,即可求出球.的外表积.【详解】解：如图,取AC中点.,连接产.,BD,那么由可得A82+3C2=AC?,A3C为直角三角形,BD=-AC=5,2由于R4=PC,所以P£)_LAC,pd=y)

19、PC2-CD2=7150-25=545-网为PD?+BD2=BP?,所以PDB为直角三角形,那么尸£>_L3£>,由于8£>cAC=£),所以P£)_1_平面ABC.球心.为尸.上一点,设球.的半径为R,连接04,即O4=R7=R,那么由.42=4.2+0.2,可知r2=52+(56R,解得R=3j?,表而积S=4;r(36=180九.故答案为：180小【点睛】此题考查外接球表而积的求法,考查空间想象水平,运算求解水平,属于中档题.17. (1)4=4：(2)当,=3或4时,S取最大值12.【分析】(1)根据等比数列的通项公式

20、求出首项和公比,即可得答案：(2)求出a=8-2,再利用等差数列的前项和公式,再利用二次函数的性质,即可得答案:【详解】(1)设公比为人由%=4可得.冈2=4,>0,0v,v1,an>0,41出+4=17,.+4q=17,解得°=一,q4：.a=4-(11=4f(2)bn=log,an=log,4"-"=82,Sn=n(6+S-2n)=-n2+7n=-/?-')+»22)4.当=3或4时,S取最大值12.【点睛】此题考查等比数列的通项公式、等差数列前项和公式、二次函数的性质,考查函数与方程思想,考查逻辑推理水平、运算求解水平.18.

21、(1)证实见解析：(2)匹.15【分析】(D先由线面垂直的性质证实AC_LPC,再由线而垂直的判定定理以及面而垂直的判定定理证实即可：(2)利用向量法求二而角8AEC的余弦值即可.【详解】(1).尸C_L平而ABCQ,4.(=平面人8.£),1.4._1尸.'AB=4,AD=CD=2,AC=BC=2y/2>:.AC2+BC2=AB2,s.ACVBC.8CnPC=C,.AC,平面尸8C,.ACu平而EAC,平面E4C_L平面尸8C.(2)建立如下图空间直角坐标系.一型,那么4(2,2,0),5(2,-2,0),尸(0,0,4),E(l,2),G4=(2,2,0),在=(1

22、,一1,2),而=(0,<0),AE=(-l,-3,2).X+y=0设万=(x,y,Z)为平而E4C的法向量,那么万己=厉在=0,即工),+20取x=2得元=(2,2,2),同理可求得平而明七的法向量比=(2,0,1),【点睛】此题主要考查了证实面而垂直以及利用向量法求二面角,属于中档题.19. (1)生产线出现异常,理由见解析：(2)数学期望为与,方差为匕.864【分析】(1)根据题意,得到正常产品尺寸范闱是(78.5,81.5,求出正常情况下次品的数量,根据题中条件,即可得出结果；(2)先由题意,求出该生产线的次品率,记这3件产品中次品数为y,那么y服从二项分布B3,-L|,X=5Y

23、+30,根据二项分布的期望和方差的计算公式及性质,即可得出结果.(40；【详解】依题意,有=80,b=0.5,所以正常产品尺寸范围是(78.5,81.5,又200x(10.9974)比0.52件,超出正常范围以外的零件数为5件,故生产线出现异常.2依题意,尺寸在78.5,81.5以外就是次品,故次品率为总=£.1、记这3件产品中次品数为y,那么y服从二项分布83,'=1.3-丫+15丫=5丫+3.,4U/那么打丫有乂二上,£y=3xx=-,''4040',40401600所以X的数学期望是EX=5EY+30=元,8方差是OX=5"O

24、y=25x4=UZ.','J160064【点睛】此题主要考查正态分布的应用,以及根据二项分布求期望和方差,属于常考题型.20. 1见解析2直线AB过定点,2.2【分析】1设出A,3两点的坐标,利用导数求得切线的方程,设出M点坐标并代入切线M4的方程,同理将M点坐标代入切线M3的方程,利用韦达定理求得线段A3中点N的横坐标,由此判断出轴.2求得N点的纵坐标?羽,由此求得N点坐标,求得直线A8的斜率,由此求得直线48的方程,化简后可得直线48过定点：,2.【详解】1设切点AX,x：,8卜2,*,y=2x,切线M4的斜率为2为,切线M4：y-xf=2.¥1x-x1,设M(/

25、,1-2),那么有t2Xi=2%|化简得X；-2fxi+f-2=0,同理可的x；-2tx2+,一2=0.",一是方程炉一2/x+f-2=0的两根,石+/=方,中2="2,xN=>=t=xM,：.MN_Lx轴.(2) :=；(x；+¥)=；(玉一士X2=2一f+2,.N,2/2-/+2).e/kAB=x+x>=2f,直线y-(2T+2)=2f(xT),即-y-2=2/(x-l),直线A3过定点(L2).2【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查直线过定点问题,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.21. (1)分类讨论,答案见解析：(2)-

26、2：(3)证实见解析.【分析】(1)求导可得：/'(x)=1+2ax+a+2=(-'+十"(x>0),再分“NO和<0进xx行讨论,即可得解；(2)讨论时,不符题意,：假设0,由(1)可知/(x)在上单调递增,在一1,+s)上单调递减,可得-构造函数：g(x)=lnx+x,求最值即可得解；(3)由(2)的结论,可知.=一2时,/()=lnx-2x2+l<0,进行放缩可得：exxInx+x>ex2大,+x+2x*x-+x1=cxx"+2x1,再研究u(x)=ex-x2+2x-(x>0)9即可得解.【详解】/、,/、1(2x+l)(

27、av+l)z、(1)f(x)=+2ax+a+2=(x>0),XX假设心0,那么/'(x)>0,在(0,+巧上单调递增；假设avO,由/'(x)>0,得.<x<-L；由/'(x)<.,得x>-./(X)在°,一)1上单调递增,在,+8上单调递减.a(2)假设.20,那么/(1)=2+3>0,不满足/(x)«0：I1'假设“<0,由(1)可知“X)在.,一一上单调递增,在上单调递减,aa/1设g(x)=lnx+x,那么g-<0,g'(x)=Li,Xg(x)在(0,+8)上单调递增

28、,且g(l)=l>0,1存在唯一的飞£-J,使得g(x0)=O.当X£(O,Xo)时,g(x)<.,当xeQo,)时,g(x)>o,.<一1?%,a.工一,£(一2,-1),即整数的最大值为一2.(3)由(2)可知=一2时,/(x)=lnx-2x2+l<0,Inx<2.2一1,/.-xInx>一2+x>xInx+2xx"+x1>e*2x+x+2工.v*+x1=cx+2x1设(x)=e"x2+2x1(x>0),那么'(x)=决一2x+2.设Mx)=e-2x+2,那么(%)=之一2

29、,当X£(0,ln2)时,力'(不)<0,当xe(ln2,+oo)时,/?,(x)>0,./?(x)在(0,ln2)上单调递减,在(In2,+s)上单调递增,/?(工).=/7(ln2)=ln2-21n2+2=4-21n2>0,w在(0,+8)上单调递增,.(1)>(0)=e.-1=0,即eA-x2+2x-l>0.ex-xlnx+2x3-x2+x-l>0.【点睛】此题考查了利用导数研究函数的单调性和最值,考查了分类讨论思想和恒成立思想,同时考查了放缩和转化思想,对计算水平的要求非常高,属于难题.22. (1)I:=a(peR,0<a&

30、lt;,)；C:p=4cos；(2)最大值4,最小值2.【分析】(1)直线/过原点,由参数方程得其倾斜角后可得极坐标方程,曲线G先消参化为普通方X=PCQS0程,再由公式.八化为极坐标方程.y=psin6(2)用直线/极坐标方程代入曲线G的极坐标方程,可求得两交点的极坐标,由极坐标的意义可得弦长,结合三角函数性质可得最值.【详解】解析：(1)直线/的倾斜角为.,其极坐标方程为6=.(.wR,0Kav4),-,x=pcosO曲线G的普通方程为(x2)2+y2=4,即/+),2一41=0,由«,得y=psinO"2=42850,为极坐标方程为夕=4.056.(2)直线/交曲线G于.,A两点,6=a由乙,解得A(4cosa,a),p=4cos88=a直线/交曲线C于.,8两点,由<-,p=2cosa-213sina解得3(2cosa-2gsina,or),?.IAB1=pA-/?«|=12