量子力学典型例题分析解答(新)

1、量子力学例题第二章一.求解一位定态薛定谓方程1 .试求在不对称势井中的粒子能级和波函数佯Vg解薛定调方程：当王士K,下TO故有于图4111%了+乱UK0求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数解体系的定态薛定调方程为上Q2附d产对束缚态J-二解为于=月1-珈.T口8产hU在工二.处连续性要求啡*二空.-将呼1刈代入得力二营(o+)-)=*j加-次公=-等喙)吊Qt月又1:：一口f月t福办+j广而石=1-03分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为%)=,求束缚态的能级所满足的方程解束缚态下粒子能量的取值范围为当上.时丁-J.：当0工工工时乱工二6薛定谓方程为2m解为当工；:-：时L,

2、一二2_的6=一1+工勺力白打解dr-4,田W是甫的本征函数.本征值耳二印苏工-2. 设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动,如粒子的状态由波函数T工=sincos-xJetaa描写.求粒子能量的可能值相应的概率及平均值乎工=cos-a加aj1r.E,3X.sin十sin廿a宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数2sina=鲂+仍X注意：是否归一化波函数能量本征值上二出现五的几率出现餐的几率能量平均值=阳另一做法豆=2k&J耳十短2.衣,/,*2sincos(-7)-皿用口其仙工赤2ft,jo1+sin-ad1lr.知.兀j而产1rl7+皿75叫知+啊4q怩=阳,_门用工.=3.一维谐振子在1

3、=11时的归一化波函数为所描写的态中式中,式中式行是谐振子的能量本征函数,求1q的数值；2在必齐,态中能量的可能值,相应的概率及平均值；3.口时系统的波函数40时能量的可能值相应的概率及平均值解鼻二近.3十!工,稣二女中唯二;玛二L青田%=12,5;百=1工?瓦时,四衣X,正&0归一化,.,心5二-Ac?町二12,5；3口12三十一飞十ha2105=%OK0依,.=2a%02时,能量的可能值、4.设氢原子处于状态所以：fi-？即口-卜.13-1卫y=依屋+虫化+后仍相应的概率、平均值同2.呼田孔4*争/)1网中)求氢原子的能量,角动量平方以及角动量z分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学

4、量的平均值.解能量本征值期能量本征态斗,；.：一当n=24时乎乎=/(7+1)W-u=口+1)方=2WFh=2/户勺=2炉乎乎本征值为的；LJiK朋夫几=、4%=o-%=-方当,2?=力出现的几率为100%可能值为U都出现的几率分别为：44o5.在轨道角动量J?和工共同的本征态七8（1） .J24%.解:=f4S那千溺口士港上小八向心门=0=2#,匚二九=0,/二.三测不准关系%上3忖噂F1 .粒子处于状态,/式中J为常数,测不准关系才&2=y解先归一化L2喈1Ji动量平均值彘认为右,二2蜡囿1日,甲下,试求以下期望值求粒子的动量的平均值,并计算二二上2假设、i/严下Z河=自-对=7-2而+严

5、=尸-不常用积分式:第四章例题1.力学量的矩阵表示由坐标算符的归一化本征矢产及动量算符/构造成算符a和总方二国国卜咋十位日埒试分别：1.求2和?在态卜势下的期望值；2,给出方和忘的物理意义【解】1.设态矢田已归一化俚四=1亍三阳臼巧=促口附下六句口汨巧=联卯伊忸、*仍粒子位置几率密度心修眄T俚册科+师版阈利用1%的=1化到坐标表象=i#强Q何同尸犷+犷W*即国同v.哂尸请斗酢一尸啃加F2炉切,曲F端君伉_尸胜尸+J步卬尸t一流叫同尸-广胜伉二二d力中丑同尸一产】坐尸+卜尸室俨t产前尸一尸胜尸F田6产+曾巳中的而2.试证实：由任意一对以归一化的共腕右矢和左矢构成的投影算符E=lVXI1,是厄密算

6、符,2.有户,二/,3.p的本征值为0和1【证】1.厄密算符的定义户二户%=V=F=佃忸眇二5忸周丫也窗6三侧巧的俚附=卜忸乂中盼=?响忸-悝乂叫为厄密算符悝已归一化切巧二i斯=|4俚忸X巧=|巧俚卜/3.由?的本征值方程5无=九*=f=乂丸,又：罚小琳硝4即：中Tl=.八/悯二.2-万=oa=.1此题主要考查厄密算符概念,本征值方程,狄拉克符号的应用3.分别在坐标表象,动量表象,能量表象中写出一维无限深势井中宽度修基态粒子的波函数.此题主要考查波函数在具体表象中的表示【解】所描述的状态,基态波函数1.在X表象：2.自x-sin-n口三天三.aa0,aa(2).动量表象:|当=物伊乂下怛J3当

7、)=切亦乂阳.君6=力/gi仿珈=H启喂)【看严m一层?一小11t万B3.能量表象卬向44CD氏=11-3悝的骂何当=尔小疝禺00同样一个态在不同表象中的表示是不同的,不同的表象是从不同侧面来进行描述的.4.取产和工的共同表象,在二1角动量空间中写出广,4,乂-的矩阵此题主要考查算符矩阵的求法无L1M育同【解】尸,乙的共同本征函数为几3就瓯】包力三在？二1空间十1/0,-1(D.二,一丫个几二小+1,44三匕(1-1|1-1)=&0即=(i+iR|x+i)=2100、产=2炉010出01同样-ft(l34|L0=o(if+：|r|1,+1=aU00、Z2=fioooQ0-b(2)利用:Z|j/

8、w)=AJ下腑)士物+1)|/fs1)利用正交归一条件停曷色上隹)(u|tl0)=(O1|Z+|)=AJO4_=方.o理【00同样,000、l_=fi4ioo0五01rt4(3) 44利用：区二之土也,工一4:1白2工矩阵：1.0)010亚32iJ矩阵：1立双7-N/切丁,口喊口旗品通1=%-/2ftooolroio黑100卜争1012Qoj21cl冏+郅川2白0QR:12eU5.体系的哈密顿量百n,试求出(1) .体系能量本征值及相应的在育所在的表象的正交归一化的本征矢组(2) .将声对角化,并给出对角化的么正变换矩阵【解】-002e-E0=0(1).久期方程s02s-E解之-,3,_设正交

9、归一的本征矢oc本征矢化F将对应归一本征矢7-：6电,力3即为后的本征函数集(2).点对角化后,对角元素即为能量本转换矩阵为6. 证实：将算符矩阵F对角化的转换矩阵的每一列对应于算符的一个本征函数矢量.【证】户算符的本征矢：同脚刖那么F算符在自身表象中为一对角矩阵：叫二侧方=4%对另一表象力学量的本征矢辰?“二卜庐阳/二佃,=m忸s乂fw汪sS*m=(/?|)传情刎#的本征矢依.A7. AE为厄密算符.加=即=1与十茴=.求算符且且的本征值,在A表象下求算符且月的矩阵表示.解:1二/工1设4的本征值为丈,本征函数为1二1A=l同理算符a月的本征值也为i在A表象,算符幺的矩阵为一对角矩阵为本征值

10、,即利用oj0-1B为厄密算符M二B,0%、闻.;印二1II*;21%、底二】取：回产1另1第五章例题重点：微扰论1. 一根长为f,无质量的绳子一段固定于支点,另一端系质量为的溶质点声,在重力作用下,质点在竖直平面内摆动.i在小角近似下,求系统能级；ii求由于小角近似的误差产生的基态能量的一级修正./日=掰承=W2g/l-0工切7斤解：i势能：2系统的哈密顿量在小角近似下：,.一七K=勺犷二_七二十/犬2m2&=赤十fFii假设不考虑小角近似H=-ia+物g/Q-l以尸da)H-=掰g?(1cgsHj：1r3/=0比2-4=加方周=.,12,-,体系能级为金二人,十1力一十族Jq*十圮二驳？+

11、1后茎十活益口+-+-2-ii微扰法力二中+犷中=上+城HP必启0的精确解为本征函数A仇本征能量工一.I:按微扰论.一-一】,一利用了公式溃Jfc双十W2一附+1幽一1一万/一q+阴+1,溶+1,能量二级修正为/最Ly士吟=更+酬寸万时4.1N-3斤而前+弟卢3瞄=Ld7+.一徵+12-,+ra+l=-A2-.届22a在二级近似下/矽磴+磴+*it=iQ+1方*七+海岫+jM2一2D*21直“-F-wsg?3j2ty二+/4.三维谐振子,能量算符为Hf数.如这振子又受到微扰,闺工二1的作用,求最低的两个能级的微扰修正.2摘2,试写出能级和能量本征函并和精确值比拟.解:1设,Q的能量本征函数为代

12、入方程小亶工小三封52-土呼3Tg+攻幻殖W理+呼攻-切2M+3制+/-1里*里呼=宜卯5下口印司层产/2“田手卡密(力130M4()13中3)12=E-+ma?32fa+-4-fi333+-用公*匕2#TW22田822甲2千里缶-1那中口里对=中如2/J2在a1-三联0+：阳田少1田5=丹3222T&)=T(z)M.1W-(z)+ma?z2p.2E二痴弓+%中号网工Az=凡y(2).基态的微绕修正对基态波函数中叔二%S)%砂基态能级的零级2,无简并X.=J-(Jk+1(5r.十乐8r,)m寸2掰0?W-Is%=,产产演“M%今；掰加?冬卜风闻/冷勺口能量的二级修正唯一不等于零的矩阵元为(螭冏

13、嘲f=-(三度简窑器01011JL,_QT&i呼ul计算门的不为零的矩阵元为*210X010摩丸、ho.40久期方程可求出能量的一级修正上(4).精确解身二.1令典-4同是寒窗苦读,怎愿甘拜下风！门omw一工loo广工oi=u掰出口门001引010五2=5翘3=40和04H.-fioj0040001J-ftfis043砂0=00靖?=0靖=.痴赞=-*+工耀山彳了二+沙2+户2m2c+片+.-八铲+/吵=59一姬36月=T-H储4(2甥港322相祖武二苏.+令%号=(砥+然田】+(%+3充叱一(“、好铲r-4w心飞叮)+(7-H肉A?,样22ws2封二国,0-多(勺=(%+;)内或1二方曲但十

14、,1、L._AJ+(总E+由11+24323二方叱+加)-：00基态%=方第一激发态-ZJ11511+R+(,+-)*1j?+432)+的斗；)内虫靠A*(1+%)+=宓必勺-%)3.1 由的R出232a?+Aqj-ha)416工丸工rA-nnj-nm-1一方q01024165比35.设粒子的势能函数是坐标的n次齐次函数,即,?祝外儿三把K芫,y试用变分法证实,在束缚态下,动能T及势能V的平均值满足以下关系2T=nV维里定理证设粒子所用的态用归一化波函数于O*描写那么T=同.总一二工攻/心V=呼工乂力/伏,力乎工,乂工今1=T取试态波函数为/I=?公,私心由归一化条件/横而=|cIJ?*=i4

15、1|Cj忸&勿,武上彳=1叫1,$rz=J/ax-v2犬日艰丫盅=吃皿电脸塌十方脸旗飞火功了灾笈尸7=J5a/x闾0加力宓=J*里,办,对L,衣,期,曲安知,秒,玲5巩触观新川触=上tJ*GU&,触於既加尢软及却,角dQM加d位=叩亘=Tz+rz=好T4；r“=27-孽Q-i沅=0dk二当九二1时,试态波函数即是粒子所处的束缚态波函数.-再应在尤=1时,取极值2胃-/=06,氢原子处于基态,加上交变电场邑三旦四4?,左八电离能,用微扰论一级近似计算氢原子每秒离几率.解:解这一类问题要搞清楚三个要素,初态末态是什么？微扰矩阵元初态：氢原子基态末态：自由状态上.忒斗二点广旬范为能量为百沌,在单位立

16、体角的末态密度.微扰=/产+厂时次=|屈&以4M二居I可刷万叫喊卬.=悝三叼8咽为05上加3“屯CO瓜分?d田研R炉侬;户jy=r,总:-A说二周7.转动惯量为I,电偶极矩为为十.2加3A/4#汽dCldE：臾.由产展或HC鸣32声甜D的平面转子,置于均匀场强Ea&x方向中,总能量算符成直=-七工-0乂为一基态能量近似值.八好H解:方法一21J=-r与一位谐振子的能量本征方程有,舞I博0,成为旋转角从x轴算起如果电场很强,步很小,求旌C门户1小7-De0SHrDe1/肃212成二旌里小口17T+白S犬丁=巨+0公乎*2-Q4田+溶/中二百卯2口H步2比拟m&?-Ds方法二用变分法,取归一化的试

17、探波函数J10支,初=F6*-加工城工文t-233由口？口五匚口几必/人加州主1uhd&=-D/双国一)(1一HZ=Tnn=与一.4/4下型困=05Z所得结果与方法二一致.8.设在豆表象中,丑的矩阵表示为其中&.&,试用微扰论求能级二级修正解:在耳口表象中,.0、育口=0里0L0.之00WH=006Oy%=琰+4+二国n1,H为二成+以温+Z二胡+U+E：-胡第六章例题1 .有关泡利矩阵的一些关系的证实注意应用一些结论cfq.ct*nJfa1).(2).【证】(1)k%y=0%.-%二玉%2w叫=2%仃产/(2).寸P；十寸P；十o产y十十4%+O产/ha+匕产的十辰均(3).,bj1*下4b

18、jJ=斓+*+淄：+/呢山+%CT+bjfb/j1+%./&+b产,yiS+=厂人+CT.GF+fqQ吗)+%(j%)+icr尸后,(4).田二(*J=4-蝙GTw+wJ=0q+ijrGT*.=一2上,=4QnV_?_,2 .证实：F15/-L叩19并利用此结论求归口3本征值【证】口iir仃新十仃.22十叮白仃加叮山营如十%仃如+1rbm工十b猛仃前口口量+白_301口；|711fb加十口奸%尸仃打52i十行13上口仃打十51离口吊仃心叮初十次也口7如仃1#=篇=3+仃如,疗口尸,十%尸乜5尸,b力.+b1st7b加,叮力二3+i%方%+i/%H&5JQi%J=3-2自房设bl,仃3的本征函数

19、为Z那么L1-.二,.伍3J=川G己丘=下又卜2信金,=3-2观.-.把=3-2%尸+2工一号-0冗二15二一3,3,设为工常数,证实户三82+?4sM工【证】将再展开成仃工的募级数,有中1*181产户疗？承田室叫:,与N1,总为偶数q=1；*为奇数与二名上式W普+噫乜-1口产-炉团如1h涮5状+.4.求自旋角动量在任意方向袁方位角为40的投影的本征值及本征矢在鼻表-、=SrsinScosrf+s.sinsin+S.cosfi象,*宜尸【解】在鼻r表象中2J0,Ap0、5oTf在0H表象中的矩阵表示为0)AfOsmg匚.$嫉H2Vsinesm雄d-21.012lainsinflcos步一ism

20、5sin$-cos.象sine-c-?Sa.设J的本征值为工,相应本征矢为,本征方程为Sill的7、%)21sina-co&Ja2)解久期方程cos日一尤2方rinEU1CE2-sin囹N2hCOSP-A2ft=0,Z=+2上代入本征方程cos由1+sin跌一%sin出洋口I-cc:=a上丐(1-cos切与-sm3由归一化条件.+口口三1Fi(sin8y(sin针2-2ccs(14sin12)sine8cos21-GOS6&sin.日22对应的本征矢为ecos2sin产2A同样：-对应的本征矢为.esin29-cos-e2十方八一八通过此题讨论我们发现,鼻的本征值为之,自旋算符占在任意方向上的

21、分量与的本征值也士生&八【是2.也进一步推广,对任一种角动量算符J,如有产的本征值为而斗帽,兀的本征值为醯行阳-J*,+那么丁在任意方向上的分量球的本征值的可能值也为5.有一个定域电子不考虑轨道运动受均匀磁场作用,磁场指向正“方向,磁作用势为A由84五H=%sx=一2,设上二0时电子的自旋向上,即求0时I的平均值.解设自旋函数工3在表象中eEQ)=2AGhB4fO11n=7_,=五0?体系的哈密顿算符可表示为2口UOj那么自旋态所满足的薛定谓方程为d、力、流以=/双E1丫尤4s)=haj曲曲同理值)=Acoso/+esin过b()=AcosalA-jSsin面或0,自旋鼻.T破0三一山二.4+

22、曲也&三.X0)=o再由da(t)di-iojb()-j4面血展十法出c8位二-i&iAcos+5asin-A=B百二一工S=-15=0“&)=g由b(t)=-JSUlO3tKgcosflit01一cosffieWJS,；.=(t)=(ccsaiisinelM二|工-sin2做2号二4工.二-cos2c/2靠式)6.在自旋态力中,求解j一瓦而、戈)立)储力1=1其中式I门已归一化从,求(1).同时测量户为2炉,为方的几率.(2) .电子自旋向上的几率.(3) .,和制平均值.解首先验证态函数是否归一化erfwfffl后一/)V5,+扇隔+1510105同时测量白为2电子自旋向上的几率：邛房+盍-0邛南+击Lf+.匕而1111公1酒&J+上%+上XG2+r3sin财出xfiJU匕;%十看J1T十UC=114为方的几率io*27=-+=-J+510105./w小吟支用仁卜及+盍立邦新fo口元；十亲卑一耳;力7106o、2j8 .考虑由两个相同粒子组成得体系.设可能的单粒子态为独典,叽,试求体系的可能态数目分三种情况讨论1.粒子为玻色子；2粒子为费米子；3粒子为经典粒子.解玻色子构成的系统,系统态函数必须是对称的a.如两个粒子处于同