铅锤高求三角形面积法

1、作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好方法二次函数教学反思最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题,经过研究,我发现作三角形铅锤高是解决三角形,同学们很快掌握了这种面积问题的一个好方法.在课堂上我还幽默地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀方法现总结如下：如图1,过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽a,中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高h.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:SABCah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半ABC1例1.2021深圳如图,在直角坐标系中,点A的坐标为一2,0,连结OA,将线段OA绕原

2、点O顺时针旋转120°,得到线段OB.1求点B的坐标；2求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；3在2中抛物线的对称轴上是否存在点C,使BOC的周长最小假设存在,求出点C的坐标；假设不存在,请说明理由.4如果点P是2中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么PAB是否有最大面积假设有,求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；假设没有,请说明理由.解：(1)B(1,4)设抛物线的解析式为y=axx+a,代入点B1,招,得a且,因此y迎X业x33333,因此直线AB为y2.33叵/,当x=1时,y333如图,抛物线的对称轴是直线x=-1,当点C位于对称轴与线段AB的交点时,BOC的周长最小设直

3、线人8为丫=1«+13.所以kb点,解得2kb0.因此点C的坐标为一1,我/34如图,过P作y轴的平行线交AB于D.SPABSpadSpbd-(Ydyp)(XBXa)2132.33223cxxx33-23-223333x例3.2021江津如图,抛物线yxbxc与x轴交于A1,0,B-3,0两点,1求该抛物线的解析式；2设1中的抛物线交y轴于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得QAC的周长最小假设存在,求出Q点的坐标；假设不存在,请说明理由.3在1中的抛物线上的第二象限上是否存在一点巳使PBC的面积最大,假设存在,求出点P的坐标及PBC的面积最大值.假设没有,请说明理由.x32

4、1 29.3x-28当x=-1时,PAB的面积的最大值为述,此时P1Y32824例2.2021益阳如图2,抛物线顶点坐标为点qi,4,交x轴于点A3,0,交y轴于点B.1求抛物线和直线AB的解析式；2点P是抛物线在第一象限内上的一个动点,连结PA,PB,当P点运动到顶点C时,9求CAB的铅垂图CD及Scab；3是否存在一点巳使SapaB=E&cab,假设存在,求出P点的坐标；假设不存8在,请说明理由.一12Scab-323平万单位23假设存在符合条件的点P,设P点的横坐标为x,PAB的铅垂高为h,那么229129hy1y2x2x3x3x3x由&pab=Sacab得一3x3x3化

5、简82833o315伶：4x12x90解得,x一将x一代入y1x2x3中,解得P点坐标为一,一2224解：(1)将A(1,0),B(-3,0)代y21bc=0xbxc93bc0c3,抛物线解析式为：yx22x3(2)存在.理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x1对称2直线BC与x1的交点即为Q点,此时4AQC周长最小yx2x3x1.C的坐标为：(0,3)直线BC解析式为：yx3Q点坐标即为的解yx3x1_.Q(-1,2)y2(3)答：存在.理由如下:2设P点(x,x2x3)(3x0)SBPCS四边形BPCOSBOCSra边形BPCO9-H-c假设S2四边形BPCO有取大值,那么SBPC

6、就取大,-S四边形BPCO=SRtBPES直角,形PEOC1一BEPE21-OE(PE2OC)1212332=-(x3)(x2x3)-(x)(x2x33)=-(x-)2222w3927_日上927当x一时,S四边形BPCO取大值=SBPC取大=228283215315当x时,x2x3点P坐标为(一,一)24249272892728(2)同学们可以做以下练习:1.(2021浙江湖州)如图,矩形OABC的长OA=J3,宽OC=1,将AOC沿AC翻折得APG(1)填空：/PCB=度,P点坐标为(,);(2)假设P,A两点在抛物线y=x2+bx+c±,求b,c的值,并说明点C在此抛物线上；3

7、(3)在(2)中的抛物线CP段(不包括C,P点)上,是否存在一点M,使得四边形MCAP的面积最大假设存在,求出这个最大值及此时M点的坐标；假设不存在,请说明理由.22.(湖北省十堰市2021)如图,抛物线yaxbx3(aw0)与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使CMP为等腰三角形假设存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标；假设不存在,请说明理由.(3)如图,假设点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.图图3.(2021年恩施

8、)如图11,在平面直角坐标系中,二次函数yx2bxc的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式.(2)连结PO、PC,并把POC沿CO翻折,得到四边形POPC,那么是否存在点P,使四边形POPC为菱形假设存在,请求出此时点P的坐标；假设不存在,请说明理由.(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大并求出此时面积.解：(1)将B、C两点的坐标代入得3bc0c3b22解得：所以二次函数的表达式为：yx2x3c3/0(2)存在点P,使四边形POPC为菱形.设P点坐标为(

9、x,x22x3),PP/交CO于E假设四边形POP/C是菱形,那么有PC=PO./3连结PP贝uPE±CO于E,OE=EC=万y=2.2210210x22x3=3解彳Hx1=2,x2=2(不合题意,舍去)222P点的坐标和四边形ABPC的最大图11.P点的坐标为(21023)2(3)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,设P(x,x22x3),易得,直线BC的解析式为yx3那么Q点的坐标为(x,x-3)1S四边形ABPCSABCSBPQSCPQABOC211-QPOE-QPEB221c1,2c、c43(x3x)32223375=-x228-3当x一时,四边形ABPC的面

10、积最大2315.此时P点的坐标为一,一,四边形ABPC的面积24的最大值为75825.(2021绵阳)如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A(4,0)、B(2,0),与y轴交于点C,顶点为D.E(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G.(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标；(2)在直线EF上求一点H,使4CDH的周长最小,并求出最小周长；(3)假设点K在x轴上方的抛物线上运动,当K运动到什么位置时,EFK【解析】(1)由题意,得16a4b40,解得a1,b=-1.4a2b40,2所以抛物线的解析式为y1x2x4,顶点D的坐标为(1,-)

11、.22而CD12g4)2(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M.由于EF垂直平分BC,即C关于直线EG的对称点为B,连结BD交于EF于一点,那么这一点为所求点H,使DH+CH最小,即最小为DH+CH=DH+HB=BD=BM2DM23石3-2CDH的周长最小值为CD+DR+CH=3132设直线BD的解析式为y=k1x+b,那么2k1b10,k1b12,所以直线BD的解析式为y=0x+3,由于BC=2而,2一3解得k1-,b1=3.2CE=B.2=J5,RtCE曲COB,得CE:CO=CG:CB所以CG=,GO=.G(0,).同理可求得直线EF的解析式为y=1x+-22联立直线BD与EF的方程,解得使CDH的周长最小的点H(3,).481 C(3)如图