解析几何测试题及答案解析

1、2021届高三数学章末综合测试题(15)平面解析几何(1)一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的)1 .圆x2+y2+Dx+Ey=0的圆心在直线x+y=1上,那么D与E的关系是()A.D+E=2B.D+E=1C.D+E=-1D.D+E=-2X解析D依题意得,圆心一,一万在直线x+y=1上,因此有一,一£=1,即D+E=-2.2 .以线段AB：x+y2=0(0WxW2)为直径的圆的方程为()A.(x+1)2+(y+1)2=2B.(x1)2+(y1)2=2C.(x+1)2+(y+1)2=8D.(x1)2+(y1)2=8解析

2、B直径的两端点为(0,2),(2,0),圆心为(1,1),半径为、/2,圆的方程为(x-1)2+(y1)2=2.x223.Fi、F2是椭圆7+y2=1的两个焦点,P为椭圆上一动点,那么使|PF|PF2|取最4大值的点P为()A.(2,0)B,(0,1)C.(2,0)D,(0,1)和(0,1)|PF|+|PE|2,解析D由椭圆定义,|PF|+|PE|=2a=4,|PF|PE|W一=一L2=4,当且仅当|PFi|=|PE|,即R0,1)或(0,1)时,取“.22,一xy4.椭圆r+25=1的焦点分别是Fi、F2,P是椭圆上一点,假设连接Fi、F2、P三点恰好能构成直角三角形,那么点P到y轴的距离是

3、()16B.3C.322一一xy-兀解析A椭圆行+瓦=1的焦点分别为Fi(0,3)、F2(0,3),易得/FiPF><-2','22/PRF2=+或/PEF1=j点P到y轴的距离d=1xp|,又|yp|=3,2+2=1,解得|xp|22162516=,应选A.55.假设曲线y=xy221t=1n>0,n>0的右焦点与抛物线y=8x的焦点相同,离心率为那么n2的一条切线l与直线x+4y8=0垂直,那么l的方程为A.4x+y+4=0B.x4y4=0C.4x-y-12=0D.4x-y-4=0解析D设切点为(x°,y0),那么y'|x=x0=2

4、x°,2x0=4,即x0=2,切点为(2,4),方程为y4=4(x2),即4xy4=0.6."m>n>0是“方程mxny2=1表示焦点在y轴上的椭圆的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件rD.既不充分也不必要条件解析C方程可化为x+y=1,假设焦点在y轴上,那么!>0,即m>n>0.11nm7.设双曲线看一看=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,那么双曲线的离心率为5B.5C.勺解析D双曲线的渐近线为y=±bx,由对称性,只要与一条渐近线有一个公共点ay=x2+1,即可由b得x2bx+1=0.y=x,aaab

5、2.A=4=0,即b=4a,e=a228PM7+3=1±-F1、F2为该椭圆的两个焦点,假设/RP*60；那么PF.江=()A.3C.23D.2解析D.$PEF2=b2tan602-=3xtan30°=出=?PF|Pfe|sin60.>-L.LL1一29.设椭圆与十m.|PF|P同=4,PFPE=4X2=2.此椭圆的方程为(2+*12十*10=2,解析B抛物线的焦点为(2,0),由题意得c1m2,2x2y2.m=4,n=12,方程为y6+12=1.10 .设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB为C的实轴长的2倍,那么C的离

6、心率为()D.3C.222解析B设双曲线.的方程为A步,2焦点F(-c,0),将x=c代入a2y=b2一1可得y2=a?,|AB=2X?=2X2a,b2=2a2,c2=a2+b2=3a2,e=-|=>3“皿必/42x2y211 .抛物线y=4x的准线过双曲线a?b2=1(a>0,b>0)的左顶点,且此双曲线的一条渐近线方程为y=2x,那么双曲线的焦距为()新课标第一网B.2/5D.2:'322解析B二,抛物线y2=4x的准线x=1过双曲线看一告=1(a>0,b>0)的左顶点,.a=1,.双曲线的渐近线方程为y=±=±bx.二双曲线的一条

7、渐近线方程为y=2x,.b=2,c=a2+b2=小,双曲线的焦距为2、/5.2x2212.抛物线y=2px(p>0)上一点M1,m)(n>0)到其焦点的距离为5,双曲线争一y=1的左顶点为A,假设双曲线的一条渐近线与直线AM平行,那么实数a的值为()解析A由于M(1,m在抛物线上,M=2p,而M到抛物线的焦点的距离为5,根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x=号的距离也为5,1+P=5,p=8,由此4可以求得m4,双曲线的左顶点为A(g0),kAg而双曲线的渐近线方程为1+,ax411y=土,根据题意得,一.a=3.1a1+.a-a9二、填空题(本大题共4小题,每题5分,.共20分

8、.把答案填在题中横线上)13.直线11：ax-y+2a+1=0和12：2x-(a-1)y+2=0(aR),贝Ulil2的充要条彳是a=解析14直线11-L12?a,-=1,解得a=-.a-13l：y=k(x+3)与圆Ox2+y2=4交于A,B两点,|AB=2,那么实数k=解析|AB=2陋,圆用径为2,Oiijl的距离d=寸2'2=.即|3k|k2+1解得k=土手.15.过原点O作圆X2+y26x8y+20=0的两条切线,设切点分别为P、Q,那么线段PQ的长为解析如图,圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=5,.|OM=5,|OQ=25-5=2乖在OQMh,2|QAIOM=2|OQ-

9、IQM,25x5.|AQ=丫5丫=2,|PC|=4.16.在ABC中,|BC=4,ABC的内切圆切bc于d点,且|BD|而=班,那么顶点A的轨迹方程为铲解析以BC的中点为原点,中垂线为y轴建立如下图的坐标系,E、F分别为两个切点.那么|B日=|BD,|CD=|CF,|AE=|AF.|AB|AC=2W,点A的轨迹为以B,C为焦点的双曲线的右支(yw0),且a=2,c=2,b=2,、工x2y2.方程为=1(x>J2).2222【答案】|-y2=1(x>2)三、解做题(本大题共6小题,共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤)17. (10分)在平面直角坐标系中,圆心在直线y=x

10、+4上,半径为2册的圆C经过原点O(1)求圆C的方程；(2)求经过点(0,2)且被圆C所截得弦长为4的直线方程.解析(1)设圆心为(a,b),b=a+4,a=-2,那么一2解得,ca+b=2小,b=2,故圆的方程为(x+2)2+(y2)2=8.(2)当斜率不存在时,x=0,与圆的两个交点为(0,4),(0,0),那么弦长为4,符合题意;当斜率存在时,设直线为y-2=kx,2k2那么由题意得,8=4+以2,无解.1+k综上,直线方程为x=0.18. (12分)(2021合肥一模)椭圆的两个焦点坐标分别为Fi(-73,0)和F2(q3,0),且椭圆过点1,-23.(1)求椭圆方程；(2)过点一6,

11、0作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于MN两点,A为椭圆的左顶点.试5判断/MAN勺大小是否为定值,并说明理由.22解析(1)设椭圆方程为当十七=1(a>b>0),aba2-b2=3,由c=43,椭圆过点1,-当可得1新课标第一网a2+4b2,L口】、十X22解得b2=1,所以可得椭圆方程为7+y2=1.46(2)由题息可设直线MN勺万程为:x=ky-,5,6x=ky-,5221264联立直线MNfl椭圆的万程：2化间得(k+4)yky芯=0.7+y2=1设Mxi,yi),N(x2,y2),64,12k那么y1y2=_2TTT,y1+y2=5k2+4,又A(2,0),那么AMAN=(x

12、+2,y0(x2+2,y2)=(k2+1)yy2+2k(y1+y2)+16=0,525一一兀所以/MAN5.19. (12分)椭圆C的中央为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别为7和1.(1)求椭圆C的方程;(2)假设P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,悬=e(e为椭圆离心率),求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.解析(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a,c,a-c=1,a=4,由,得解得a+c=7,c=3.22椭圆方程为x6+7=1.(2)设Mx,y),Rx,y1),其中xC4,4,曰x2+y22g3由得x2+y2=e,而e=4,故16

13、(x2+y2)=9(x2+y2),由点P在椭圆C上,_2/日2112-7x得中=16一,代人式并化简,得点M的轨迹方程为9y2=112.,47,、y=±-3-(-4<x<4),轨迹是两条平行于x轴的线段.20. (12分)给定抛物线y2=2x,设A(a,0),a>0,P是抛物线上的一点,且|PA=d,试求d的最小值.2一解析设P(xo,yo)(xo>0),那么yo=2x.,d=|PA|=qx0a2+y0=qx0a+2x.=x0+1a2_l_2a1.a>0,x0>0,(1)当0<a<1时,1a>0,此时有x0=0时,dmin=y1-

14、a2+2a1=a;新课标第一网(2)当a>l时,1aw.,此时有x0=a1时,dmin=d2a1.21. (12分)双曲线的中央在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为小,且过点(4,®),点m3,m在双曲线上.(1)求双曲线方程；(2)求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)求F1MF的面积.解析(1).双曲线离心率e=y2,设所求双曲线方程为x2-y2=入(入W0),那么由点(4,一回)在双曲线上,知入=42(诉)2=6,双曲线方程为x?y2=6.(2)假设点M3,m在双曲线上,那么32m=6,m=3,由双曲线x2y2=6知F1(2/,0),F2(-2小,0),.MfF

15、-MF=(23-3,m(2/3-r3,-n)=ni-3=0,MFF±MF,故点M在以F1F2为直径的圆上.(3)S；AFMF=；|F1F211m=2V3x4=6.22.(12分)实数m>1,定点A(-m,0),Rm,0),S为一动点,点6与A,B两点连八、,1线斜率之积为-.m(1)求动点S的轨迹C的方程,并指出它是哪一种曲线；(2)当m=啦时,问t取何值时,直线l:2xy+t=0(t>0)与曲线C有且只有一个交点？(3)在(2)的条件下,证实：直线l上横坐标小于2的点P到点(1,0)的距离与到直线x=2的距离之比的最小值等于曲线C的离心率.解广析(1)设S(x,y),那

16、么ksA=NksB=.x+mx-m22,1y1-x2由题息,得x2M=-话,即m+y=i(xw±m.m>1,轨迹C是中央在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点),其中长轴长为2m,短轴长为2.2一(2)当m=、月时,曲线C的方程为、+y2=1(xw±、/2).2x-y+1=0,由x22消去y,得9x2+81x+212-2=0.5+y=1,令=641236X2(121)=0,得1=±3.-1>0,1=3.此时直线l与曲线C有且只有一个公共点.(3)由(2)知直线l的方程为2xy+3=0,设点Ra,2a+3)(a<2),d表示P到点(1,0)的距离,d2表示P到直线x=2的距离,那么d='a1+2a+3=5a2+10a+10,cb=2a,d22-aa+2a