角平分线的性质定理

1、 沪科版八年级上册沪科版八年级上册数学数学 第第1515章章 轴对称图形与等腰三角形轴对称图形与等腰三角形 15.4 15.4 角的平分线角的平分线 ( ( 第第2 2课时课时 角平分线定理及逆定理角平分线定理及逆定理 ) ) 安徽省滁州市第九中学安徽省滁州市第九中学 叶金山叶金山（qq:1585683455qq:1585683455） 复习提问复习提问1 1、什么叫角平分线什么叫角平分线？oBCA12复习提问复习提问 2 2、点到直线距离、点到直线距离: :从直线外一点从直线外一点到这条直线的到这条直线的垂线段垂线段的的长度长度，叫做叫做点到直线的距离。点到直线的距离。OPAB 在半透明的纸

2、上画在半透明的纸上画BAC，对折，使角的，对折，使角的两条边完全重合，然后用直尺画出折痕两条边完全重合，然后用直尺画出折痕OD. 从上面试验可以看出，角是轴对称图形，对从上面试验可以看出，角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线所在的直线称轴是它的角平分线所在的直线.BCAD 不利用作图工具，请你将一张用纸片做的角分成两个不利用作图工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？相等的角。你有什么办法？ 如果前面活动中的如果前面活动中的纸片换成木板纸片换成木板、钢板钢板等没法折的角，又该怎么办呢？等没法折的角，又该怎么办呢？用尺规作图的方法作出角的平分线用尺规作图的方法作出角的平分线已

3、知：如图，已知：如图，AOB。求作：求作：AOB的平分线。的平分线。OABCMN画法：画法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于，交于交于分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 1/2 的长的长为半径作弧两弧在为半径作弧两弧在的内部交于的内部交于作射线作射线射线即为所求射线即为所求BA.CE D画法：画法：以以C为圆心，适当长为为圆心，适当长为半径作弧，交半径作弧，交B于于D,E分别以分别以D，E为圆心大于为圆心大于 1/2 DE的长为半径作弧两弧交于的长为半径作弧两弧交于F作直线作直线F直线直线F即为所求即为所求FAD过直线外一点作这条直线的垂线过直线外一点作这条

4、直线的垂线BE.kc画法：画法：任意取一点任意取一点K，使，使K和和 C在在B两两 旁旁3分别以分别以D，E为圆为圆心大于心大于 1/2 DE的长为半径的长为半径作弧两弧交于作弧两弧交于F4作直线作直线F。即为所求。即为所求2以以C为圆心，为圆心，CK长长为半径作弧，交为半径作弧，交B于于D,EF角平分线的性质角平分线的性质 已知：如下图，已知：如下图，OC是是AOB的平分线，的平分线，P是是OC上任意一点，上任意一点，PDOA，PEOB，垂足，垂足分别为分别为D，E。求证：求证：PD=PE。12ABDEPOC定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等

5、PD=PE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)。证明：证明：OC是是AOB的平分线的平分线(已知已知)，1=2(角平分线的定义角平分线的定义)。 PDOA，PEOB(已知已知)，PDO=PEO=90(垂直的定义垂直的定义)。在在PDO和和PEO中，中，PDO=PEO (已证已证)，12(已证已证)，OPOP(公共边公共边)，PDO PEO (AAS)。12ABDEPOC已知：如图已知：如图, ,PDPDOAOA，PEPEOBOB，点点D D、E E为垂足，为垂足，PDPDPEPE求证：点求证：点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上OCB1A2PDE证明：证明： PDOA，PE

6、OB，点，点D、E为垂足，为垂足，在在Rt PDO 与与Rt PEO中中PDO= PEO=Rt PD=PE（已知）（已知）OP=OP（公共边）（公共边）RtPDO PDO1=2 即点即点P在在AOB的平分线上的平分线上 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？这个角的平分线上呢？ 到到一个角的两边的距离相等的点一个角的两边的距离相等的点， 在在这个角平分线上这个角平分线上例例1: 1: 已知：如图，已知：如图，ABCABC的角平分线的角平分线BMBM、CNCN相交相交于点于点P.P.求证：点求证：点P P在在BACBAC的

7、角平分线上的角平分线上ABCMNPDEF证明：过点证明：过点P作作PDAB于于D，PEBC于于E，PFAC于于F，BM是是ABC的角平分线，的角平分线，点点P在在BM上，上，PD=PE（角平分线上的（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）点到这个角的两边距离相等）同理，同理，PE=PFPD=PF AP平分平分BAC 已知：如图，已知：如图，ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的平的平分线相交于点分线相交于点F F。 求证：点求证：点F F在在DAEDAE的平分线上。的平分线上。CD A B F E OQP变式变式 CD A B P E 例例2. 已知：如图，已知：如图，ABC的

8、外角的外角CBD和和BCE的平分线相交于点的平分线相交于点P。 求证求证：（：（1）点）点P到三边到三边AB，BC，CA所在直线所在直线的距离相等；的距离相等； （2）点）点P在在DAE的平分线上。的平分线上。又又 点点P在在CBD的角平分线的角平分线 PM=PK（）同理同理 PN=PK PM=PK=PN（2） PM=PN（已证）（已证） AEPN ADPM(已知已知)MNKCD A B PE 证明证明：（1）例例3. 要在区建一个集贸市场，使它到公路和铁要在区建一个集贸市场，使它到公路和铁路距离相等，且离公路和铁路的交叉处路距离相等，且离公路和铁路的交叉处500米，该米，该集贸市场应建在何处

9、？（比例尺集贸市场应建在何处？（比例尺 1：20 000）公路铁路2.5cm解：设要截取的长度为解：设要截取的长度为m,则：则： 200001500X解得：解得：0.025 0.025 m 2.5cm则点即为所求的点则点即为所求的点例例4.如图，已知如图，已知ABC的外角的外角DAB和和 ABE的平分线相交于点的平分线相交于点F， 求证：点求证：点F在在DCE的平分线上的平分线上ABCFED证明：过点证明：过点F作作FGAD于于G，FHBE于于H，FMAB于于M，点点F在在DAB的平分线上，的平分线上， FGAD，FMAB，FG=FM又又点点F在在ABE的的平分线上，平分线上，FHBE， FM

10、AB，FM=FH，FG=FH，点点F在在DAE的平分线上的平分线上FABCEDGHM 如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。ADCBBD CD（） 如图，如图， DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。ADCBBD CD（） AD平分平分BAC, DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，（ ） DBDC在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。ADCB不必再证全等不必再证全等1.1.如图，在如图，在ABCABC中，中，D D是是BCBC的中点的中点,DEAB,DEAB，DFACDFAC，垂足分别是，垂足分别是E E，F F，且，且BEBECFCF。求证：求证：ADAD是是ABCABC的角平分线。的角平分线。ABCEFD 2.在在ABC中，中， C=90 ，AD为为BAC的的平分线，平分线，DEAB，BC7，DE3.求求BD的长。的长。EDCBA3.如图，在如图，在ABC中，中，C=90 AD是是BAC的平分线，的平分线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=