苏教版八年级数学上册勾股定理

1、第三届全国中小学“教学中的互联网搜索优秀教学案例评选/参评教案设计课题：勾股定理苏教版八年级数学上册单位：江苏省淮安市淮阴区开明中学姓名：王静涛通讯地址：江苏省淮安市淮阴区北京西路15号区开明中学：223300联系：/2021、3、14苏教版八年级数学上册勾股定理知识目标1、体验勾股定理的探索过程,了解勾股定理的多种证实方法.2、会运用勾股定理解决计算直角三角形简单问题和实际的应用.水平目标通过学生实际动口、动脑、动手的操作,经历发现-归纳-验证-应用的数学体验,从而培养学生数学推理、数形结合、综合运用水平,进一步体会数学与生活实际的紧密联系.情感和价值观目标通过实例了解勾股定理的历史和应用,

2、体会勾股定理的文化价值,体会数学在生活实际的价值.利用互联网百度搜索收集勾股定理的相关资料,让学生感受到现代科技给人类带来的方便,从而提升学生对未来科技的不懈追求和无限探索.学习重点探索和证实勾股定理,并能进行简单的应用学习难点多种方法证实勾股定理,利用互联网百度搜索勾股定理的证实方法教材分析勾股定理是几何中几个最重要的定理之一,它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系,它可以解决许多直角三角形中的计算问题,是解直角三角形的主要依据之一,在生产生活实际中用途很大.它不仅在数学中,而且在其他自然科学中也被广泛地应用.学情分析学生对网络的应用已经普及,在平时的教学中,也经常让学生课前准备与教学内

3、容相关的互联网上的资料.小组合作学习教学模式下的课堂,学生能进行自主探究,互相讨论,互相合作学习,师生能共同完成教学任务,在这种教学模式下不断提升学生课堂参与率,提升学生数学水平,所有学生的数学水平显著增强.教法学法教法：创设-观察-发现-归纳-验证-应用教学方法/学法：小组合作学习、自主探究法课前准备教师准备：多媒体课件制作,准备教学案,把学生分成合作学习小组学生准备：利用互联网百度搜索勾股定理相关资料,课前制作四张全等直角三角形纸片,准备网格画图用纸教学过程一、情景导入小明的妈妈买了一部29英寸74厘米的电视机.小明量了电视机的屏幕后,发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽,他觉得一定是售货员

4、搞错了.你能解释这是为什么吗你能在你的网格纸上画出两个直角三角形吗要求一个直角三角形的直角边长分别是3和4,另一个直角三角形的直角边长分别是5和12.你测量一下这两个直角三角形的斜边长是多少你发现了什么今天我们就一起探索上述问题中有关直角三角形的勾股定理.设计意图：第一个引例让学生感受数学就在我们的身边,激发学生学习的欲望和兴趣,第二个引例用学生课前准备的网格纸,实际动手操作,亲身感受直角三角形三边的关系,也为下面勾股定理的证实做准备.二、探索和证实勾股定理活动1、勾股定理的导入勾股故事小组合作成果展示Bai<S7IS新画网页M/迫MF3ERM她图人,毕隹吾柿斯定理白皮一下宗教团体旷达言

5、士力厮之理三.度吊斗在敕国,把自循三第瞪的两自毫超能平行和等于科达的印方这一特性叫制与股定理革勾睨秣定理及都中沽苧M布亓拜城牛肝定理；Pytna9crasItioorem的竽达京中本耳中才2-2=丁24明7次牖然逑-蛔股击理-金早的如用事酒用-格局辕茸罐与中旬t4k«trakiu,com'ViHW434659him2Q12-31D1955年希腊发行了一张邮票,图案是由三个棋盘排列而成.毕达哥拉斯学派,它的成立以及在文化上的奉献.邮票上的图案是对勾股定理的说明图1.希腊邮票上所示的证实方法,最初记载在欧几里得的?几何原本?里.问题：同学们,你能在刚刚网格纸上的两个直角三角形画出

6、类似的图形吗学生展示成果：例如图/2问题：同学们,你发现正方形的面积之间的数量关系吗?小组讨论交流-小组代表发言-小组归纳结论学生归纳结论:以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和,等于以斜边为边长的正方形的面积.教师引导学生将“上面的面积转化成三角形边长的平方,归纳勾股定理的内容:勾股定理:如果直角三角形两直角边长分别为即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.设计意图：学生课前准备的在互联网上百度搜集的资料进行展示,通过画图动手实践,老师提出问题,学生小组讨论交流,总结归纳勾股定理的内容,让学生感受从特殊到一般的数学变化过程和数学转化的思想.问题：同学们,你能用手中的四个全等三角形

7、拼成一个大正方形吗2、勾股定理的证实勾股故事二小组合作成果展示Baigf口度新1W1网页贴口F0,痴伯MP3图U一为地因市务|赵夷弦国|百度一下走了夹弓交因百口帘!中国金早前一部料学善作一一第同薜茸蟀?的开义记载首一F?用金向商高谙豺韵学知识的泗通：目芝同：“让听说如U,州学步.匿棺同,就归清排一下：干二白串子可香,杷也.法用月孑去一股一收父重,那么忌惮才裾浮剧美干天地的城11厘扁位Miducnm/viRw128l162htm?O11-10-?4显我国古代著名的“超夹弦图的示意网,它杲由四个至等的直冏1足就国古代假设名的“赵灾蝇圉的示意圉,它是由四个仝等的囱丽三角形国成的.假设AG-,BC-6

8、.将四个自序三谕形中边区内的宜丽也分别向外延区一倍,谒用图勾股圆方图图3图4赵爽创制了一幅“勾股圆方图,用数形结合得到方法,给出了勾股定理的详细证实.最早对勾股定理进行证实的,是三国时期吴国的数学家赵爽.如图3,图4,在边长为c的正方形中,有四个斜边是c的全等直角三角形,它们的直角边分别是a,b.说明我国古代数学家赵爽在他所著的勾股圆方图注中,利用这个图证实勾股定理./问题：你能用这两个图形的面积证实勾股定理吗小组合作讨论证实过程-小组代表展示证实结果-其他小组点评/设计意图：给学生一个开放性的问题,用课前准备好的四个全等直角三角形拼一大正方形,学生方法会有很多,选出代表性强的例子,让学生完成

9、勾股定理的一种证实方法.小组合作学习可带动小组的每个学生的参与,可用集体的智慧完成有难度的证实过程,老师引导学生用正方形和四个直角三角形的面积关系去证实结论.问题：同学们,还有其他勾股定理的证实方法吗/各小组在准备的资料中查找其他证实方法勾股故事三(小组合作成果展示)百度拓同网再贴吧乐逼MP3图片视瘪地囹更筌.卜勾服定理证实方星一百度1F为股定理的证实力法探究百度文库勾做定理自勺证四方汨蟀友-钗句股定理的证实方.金屏注为勾照定理又叫华氏定理一在一rs®三诸胞中荆达油长的平文泻于阴圣白话边边关甲方之和.T京剧约141")!次wdnku.baidu.uoiriAdgMr/0Sc

10、fca80d4d8dl5abtf23.2021-4-18/眼立迎证即内也图Ldcic2页例克.104力次红雎定瞠16釉让明77击d口匚T中.刈脏gM,汽为IF定班的证理16种为洒一due3至刷照一19611次史典史睇相工必柏二勾质定理的IO月方法勾捌至I里是初洋几何电51一今星本定:理y这个定理占I,分幽殳的旧史,例F变斗束,这种S美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话.G斗(ab)(ab)g(a22abb2)2a24b2abs2gabgab；c2ab1c26S22a24b2abab1c22,22abc问题：同学们,你能说说这些证实勾股定理的方法有什么共同特征吗(小组讨论交流-小组

11、代表发言-教师归纳总结：面积割补法,数形结合法)设计意图：勾股定理证实是本节课的重点,用多种方法解决问题,开拓学生的思维.通过探索勾股定理证实的过程,以小组为单位合作交流,充分表达课堂中学生为主体,教师问题引导为主线,从而实现对主要知识点的探索.三、勾股定理的简单应用例题飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩5000米,飞机每小时飞行多少千米/四、根底稳固练习填一填1、在RtABCK/C=901假设a=5,b=12,那么c=、;2b=8,c=17,贝US3b=.2、以下各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少.注：以下各图中的三角形均

12、为直角三角形3、如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm那么正方形A,2B,0,D的面积之和为cm学生独立思考完本钱环节问题,以学生口答和上黑板演示过程为主设计意图：例题是前后照应,解决实际问题,表达了数学来源于生活,又效劳于生活,练习第1、2题是勾股定理的直接运用,意在稳固根底知识.练习第3题是拓展性问题,本环节意在培养学生“用数学的意识.运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.五、课堂小结问题：这节课你学到了哪些知识和数学思想方法?你对这些知识有什么感悟,体会到了什么?小组讨论交流-小组代表发言-教师总结归纳思想方法：面积法,特殊-一般

13、-特殊,数形结合等六、课后练习1、如图,在NAB计,/ACB=9qAB=5cm,BC=3cm,CAB与D,求：1,AC的长；2/ABC勺面积；3CD勺长.2、要登上8m高的建筑物,为了平安需要,需使梯子底端离建筑物6m至少需要多长的梯子画出示意图上,且与AE合,你能求出CD勺长吗?3、如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cmBC=8cm现将直角边AC沿直线A所叠,使它落在斜边AB设计意图：课后练习作业设计包括了三个层面：作业1是为了稳固根底知识；作业2是会画图用勾股定理解决实际问题,扩展学生的知识面；作业3是为了拓展思维,进行课后小组合作探究而设计,通过这些题目可让学生进一步熟悉和掌握

14、勾股定理.七、课后教学反思数学来源于生活,来源于实践,让生活中处处有数学的思想走进我们的课堂,进一步增强“书本世界与学生“生活世界的联系,改变学生学习数学苍白无味的状态,给数学课堂增加“营养.让学生根据数学上的问题到现实世界中去寻找生活素材,让数学贴近生活,用具体、生动、形象、可感知的实例来解释数学问题,使学生体会到数学的价值.反思本节课,在内容上关注生活素材,让学生在具体的情境中发现、使用勾股定理.在教学过程中利用互联网百度搜索给出几种著名的证法和勾股定理的相关历史,感兴趣学生的课前探索,感受到数学证明的灵活、优美与精巧,感受勾股定理的丰富文化内涵.这一课的学习主要通过创设情境-发现问题-小

15、组讨论-成果展示-组问点评的小组合作学习课堂教学模式,让学生自主地探索知识,从而将其转化为自己的,真正做到了先激发兴趣,再合作交流,最后展示成果的自主学习.小组合作学习要尊重学生意愿,合理组建合作学习小组；任务明确,落实到人,分工合作；把握小组合作学习的时机；给弱势群体以更多的关心,给予更多的时机.小组合作学习并不是仅仅意味着安排学生按小组坐在一起去完成一个任务,他需要教师对小组活动过程的各个方面,尤其结合学科的特点给予认真地思考和关注.合作学习是学生的一种学习方式,同时也是教师教学的一种组织形式,学生的合作是否有效,同教师的参与与指导是分不开的.因此,在学生开展合作学习的时候,教师不是&qu

16、ot;袖手旁观",而是微笑着走到学生中间去,在组间巡视,对各个小组的合作进行观察、参与和帮助,对各小组合作的情况、讨论的情况做到心中有数！同时,针对学生合作中出现的各种问题进行及时有效的指导,帮助学生提升合作技巧,顺利完成学习任务.或对开展得很顺利的小组予以及时的表扬；对合作交流中偏离主题或遇到困难的小组提供及时的点拨；对完成任务的小组进行检查等等.学生的小组合作学习有了教师的参与与指导,防止了"华而不实的无效合作场面,学生的合作更得法,交流更有效！新课程标准的课堂教学要让学生作为课堂教学的主体,参与到课堂教学中来,充分展现自己的个性,施展自己的才华,使学生在参与和体验的过

17、程中真正成为学习的主人,养成勇于探索、敢于实践的个性品质.在本节课的设计上,也很好地表达了这一点,教师用可题引导方式使学生主动探究勾股定理的内容,发挥学生的主动性,课堂效率有了明显提升.2222222经典例题透析类型一：勾醐京理的吉接用法L在RtAMC中,ZC=P(T*1)Fdu-10,求thQ)干M,h=P.求贽(3)己知-力,t二力求*思路由摧；写解的过程中.一定要先写上在哪个宜第二南处.注意勾股定理的变施使用.球所:(1)在A3sc中,/c=g(r,*6,-8(22在ZLABC中,ZC=M0,a=40,b=?Fc=V0+6_=41(3)在ZiAB二中,ZC=30°!c=25；b

18、=戌a=/一4=20举一反三【变式】：如图上出入467刀口",应取旧UX】*f那么AE的长是务小【督奚】.乙AI>=J3r二gw-AjlAL-CD2=Z5U又,上ABC=9胪且由勾照定理可得AB2-ajC?-BC2=)6二出二4,AB的长是4好文gL让好朋友也#pII类型二：勾股定理的构造应用2、如图,已如；在MBC中.Z3=60°a4C=70.JS=30求；阳的长思路点捻由条件打二60°,想到构造含3俨角的直角三南形,为此作出H5C于d,那么有3D=-A5=15二弹,2再由勾股定理计算出工值床的长,进而求出作的.：作/DJ加于口310/5=60°

19、,IBD=AS=15:在%A中,如果一个税角等于3N.朋.二9俨-6伊二初,(必A的两个现甭互余：-I那么它所对的直角边等于斜边的一半).根指嗯定理在她日中,AD=荷丁=物下=1功根据幻腔定理,世她C二中,cd=Vac2-ad1=3'-15=65/.找=劭+凶=65+15=80A里【变式1】如图,；NC=9此AM=CM,MPLAB求证：BP*=AP+BCB解析：连结b此根据勾股定理,在必A3MP中,BP2=BM2-PM2.而在此M旅中,那么根据勾股定理有成二A/-A尸；冲=BM2-(AM2-AP2)=BM2-AM2+AP2又；AM-CM(),二刎二必+W胃在也LBCM中,根据勾股定理有

20、bm'-cmFcL,即c2+川.【变式己如t如图,Z：B=Zli=9D*,ZA=cO".AB=4.CO=2,求！四边制鱼EC口的面枳.分析：如何构造苴角三招北是解本逮打先键,可以连结AC,或延长DC交干F,或延长AD、EC交于点E,根据本也给定的片应选后的神,送一步投据此题给定的边选第三种较为荷聿工解析；延长AI>、DC交于员,/ZA=Z60QpZ&-5C",二/即30°o,AE-2AD-3,CE>2CD-4,.BEa-AEaAB1343M8pBE-48-4(3w",DE1=匚Ecrf=日与工.二CE二加J版二Eaeb=Sa5

21、em二口厂2AB/BE2CDLDE-类型三二勾股定理的实际应用用勾股比理求两点之间的距离问跑图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地玷出发,沿北偏东«D*方向走了和05nl到达B点,然后耳沿北偏西却,方向走了刘Um到达目的地C点.求.两点之间的距离,2确定目的地C在营地A的什么方向口蟀所二口过B点作EE7/AD/.ABE=t50°'.'3d+ZCBJA+ZABE>180*ZCBA=50°atlAABC为直角三芾形由可得;BOOClnijAB=5M晶由勾股定理可得：AC3BCJ+AB'所以AC=7BC2-hAB3=J5O(PM5Ho石A=

22、00i0(m)(,)在RtAABC中,BC=5箕m,AC=1000m/.ZCAB=30°ZDAB=d0"-'1ZDAC=SO*即点C在点A的北偏东3Q0的方向【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高小米,宽1.6米,萋开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通这嚎工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通只要看当卡车位于厂门正中间町其高主是否小于CFL如下图,点D在离厂门中线0.3米处,且CD_LA3,与地面交干H.解：OC=l米大门宽度一半,口0=口,米卡车宽度一半在RtAOCD中,主勾殷定理瘴:Cc=7oc3-O=jl3-O=o6?hiCH=0E+NY=29米：

23、>251米.因比高度上有J米的余量,所以卡车能逋过厂门,C二用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了阪善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电眼改造,某地有四个村庄*B.CD.且正好位于一个正方形的四个顶点.现方案在四个村后里合架设一枭统滕,他们设计了四种架设方案,如图实战局部,请你帮助计算一下,哪种架设方菜最省电战,(1)(2)(3)(4)里路点拨；解答此题的用路是；最省电线就是畿般长最短,通过利用勾股定理计算然路长.然后进行比拟,程出结论.翩h设正方形的边长为1,那么图1X图2中的总线路长分别为AB+SC+CD-3-AB+BC+CD-3图门中在RtAABC中心商+B?二

24、也同理阳二也,图中的脂箱长为2亚比2122图中,延冬EF交时于H,IljFHIBC.BH=CH3人腑=!fiZFBH-2及勾股定理得：R刖=也EA=ED=FB=FC=36,比图中总统路的长为4EA+EF=1+右总2,73273>2,823>2.732,图4的连懒疆短,apu的架设方斐最省电统举一年【虹】如鼠,一圆柱体的喷面周长为加,高AE为4mI,BC是上底面的直置.一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的1W面照行到点C,试求出爬行的最蔻路程.提问：勾股定理;,AC=d"+8L=M+10,=2您之1M；7cm?勾股定理?.答：最通碍程均为-0.71cm-类型四：利用旬股定理作长为人

25、的坡段5.的蜷段.用路点拨二由勾股定理得直传边为1的等腰直角三自顺斜边长就等干戊f直角边为啦和1的直角三角形斜边作法：如下图作直串达会.t单位长、抖等腰豆耆£¥,使A.B为耕边:<2以AB为一条直角边,作另一直角边为：的直用叫风斜边为44门顺次这样做下去,最后做到直角三角形班这样斜边幺反加I、42,配3的长度就是M叔4反举一反三【变式】在数轴上表示抓的点,解折:可以把血看作是直角三角形的斜边,伽了t°,为了有利于画西让其他两边的长为整数,而1.又是9和】这两个完全平方数的和,得另汴两边分别是3和k作法：如下图在数轴上或到A点,使OA=3,作ACJ.0A且截取

26、AC=1,以OC为半径,以.为圆心做弧,张与数轴的交点B即为而©类型五.遗命题与句股定理逆定理仅写出以下原命题的逆命题并判断是否正确1 .原制愚君有四川脚,正确2 .原翁题：对顶角相等正确3-腌题编垂直平分线上的意到这条线段两端距离相等.正确4.原命题：角平分线上的点,到这个角的两邮E高相等.正确思路点提掌握原命题可逆命题的关礼Of：1.逆命题二有四只脚的是猫不正确2逆俞题：相等的角是对顶角?不正确3,逆命题；到线段两端臣高相等的点,在这条戌段的垂直平分或匕,IE破4.逆命题：到儡两边距离相等的点,在这个角的平分线匕正端总结升华：此题是为了学习勾股诞的逆命题做准备.7、如果AABC的

27、三边分别为a.h口且满足各七%由0=6h鸵+1g判断AABC的形状.睇点摭要郛断A型的形状稼悯一、c的关急而题肿只有某件抖再凸5月小+1%油只有从该条件入手,解决问题.解析：由aa+ba+caD=6a+8lrlQci得：京名第升b“H16+Wlk+25=0,Jg0-41©冷必；®犷妾0,巾4泡网彩%*a-3jbNlS.V/+一,J+#二说挡勾般定理的定定理,得2ABC是直角三俅形.总结升隼：勾股定理的逆定瑁是通过数量关系祠究图形的便置关系的,在证实中也常要用到.举一反三【变式1】四边形ABCD中,NB二如'AB=3,BC=4,CD=12,AD=ll求四边形处CD的面

28、茄.【答案】耕AC7/6=93*,AB=3,BO4.AC2=AB：+BC7=25?勾股定理?,角cl匚D：=1吓,AP=1«9-.k'cdLad?眦般皿二+"UCD-A££Ci-ACCD=36.ZACO?勾股定理逆定理:【变苴2已如4dB的三边分别为小一白加力M%?限力为正整数,且判断AABC是否为直第三弟形.分析:此题是利用勾殁定理的的逆定理只要证实/+凭一即可证组：,-才y+加娟="d'+/+4aA?=博,/y所以区才总是直角三角形.【受式3如图正方形ABCdE为BC中点,F为AB上一点,且BF=4aB.请问FE与DE是否垂

29、直?请说用心隋案】#:DE1EF,证先饺BF=ai那么BE=EC=2&AF=3%ABIa,/.EF"二BF十BE二a+4a二5aiDE3=CE3+CDJ=4aJ+1/二即a)谢DF(如却DF&F,AD、99+：/二乃上.'.df3=eAd3FElDEo经典例题揩析类型一：勾股定理及其逆定理的根本用法k假设直角三带形两直角边的比是3：4,斜边长是即,求此直角三弟形的面积.思雷点拨！在直角三用形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,可以先通过比值麻如数,再根据勾股定理冽出万程,求出来知数的值进而求面粮.解析:设此直角三房形两直角边分别是3z-犯,根毋题意将:t3

30、l)a+(4a)a=2Da化简-si=16j.直角三角形旅面积=2,稔="=%总结升华；直第三席形边的有关计算中,常常要设料1翔格后用与股定理列方程(组)求解.举一反三【变式J等边三靠形的边核为2,求它的面积.【答案】如图,等这AABC,作ACUBC干D注：等边三鲁形面根公式：假设等边三角形边长为a那么其面积为4那么：BD=2BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)：AB=AC=BC=2(等边三角形各边都相等)在直角三南形小口中,A=AD3+BDaJ即：J32=AB2-BD2=4-：=3EAD=A1Sc=2虹片打【变式2】直常三角形周长为12cm斜边长为5cm求直角三角形的

31、面积口【答案】彼此直角三角形两直角边长分利是七y,根据题看得：卜+J+5T2(1)"六,Q)日得：x+y=7,(好y/=49,办2即+区二490)(>(2),豫到二Q11二的三励怖被2到=2=6(/)【变式可走嗔角三角形的三边长令剔是向,口以口埒求ri,麒点捻首糠询定触(最长的边)长什3,航利用跚定颤熠求解.,此直角三角形幽边长为04由勾院理可得(ntl)'+(n+2)a=(n+3)3化简得：d4,产±2,且当产一2时,1=-1<0,：,11=2斯升华：睛靛三觎栅喧角边的平方樽于魂诃妒方,在胆贿给出哪繇直角迦僚掰迪的翩下,首先要先雕斜边,直角也【变式4以

32、以下各瞰为边长,能组成直自三角形的是(：A8,15,17B、45,iM5,C1(D、CQ40解机憾可直接用勾股定醐鳏理来进行判断对效雕大的可以肌,卬械版/47=(c-a)(C4a)一甑例如；对于选择D,7丰(40+39)5(40-39),以备3940为速长不懒嘘角三角捌触似尴其债鼠【咨都A【翅5】四iABCD中,4=9,AB4BC4CD=12,AD=13,1四跳ABCD的邮,解:麟AC,：ZB=9DeiAB=3,BCM二壮AE?+B也5?勾般定理)：.AC=5:必必69,AD2=16S二骁归宿皿*"ACD=9(勾股定理豌理)11四疔$o=A?BC+2AC2CD*翘二,勾股定理的应用2

33、、如图,公踣MN和公路PQ在点P处交汇,且NQ卬=3,点A处有一所中氧班=16也,假设拖拉机行驶It-周围I.恤以内会受到噪音的最咻那么拖拉现在公路MN上沿PN方向行驶归学校是否会受期重更嵬曲靖说用理由如臭爱影响,巳如拖粒机的速度为IBhwh,那么学枝爰影响柳目为多少秒Kpo麒点摭口：野撕拖拉机的脑是否影髀枝儿期上是看A到公翻蹒是否小于1加什门帕那么受歌团大干皿由那么不翅脸枷健嫌AB并计算其技阻要求出学校需响的耐拆题求施枝彬悖校儿的聊旃驶的用苗因此螂找到糕机行至哪一点升域解行至哪一点询糕响学柢解析作AB1IM垂足为乐在M&ABF中1；/ABP=9U",ZAPB30°

34、/P=：60-):,ab2ap=80o(在直南三危形中,3r所对的直僖边等琮边的一半)；点A至恒线MN的距离小于100叫,这所中学会受郛唳声的金喉如图,假役拖拉机在公潞MNlffiPN方向行驶到点C处学校不始受到耿虬那么AC=MQ(m),峋险定理得；I?=面用痂；BC=60(瞋拖拗桁驶到点D处翻开邮离题南郎么,AD=10响,BD=SO(fli),：.CD=120(m)fl拖拉机行醐IO18kTn/h=5m's尸120m+5血尸24弘答:拖拉机在会解MN上沿PN方向俺时,甥锹到嚏声珈,翔麹醐时间为24机总结升华:勾腕理是求我段嵌度雒重要的方法,假设国械少直解件那么可我过作醐垂娜施榷直角三

35、角形嫩利用勾段定电他们仅仅少走了螭d根设2步为m>.却踩埼了花宜.解析：他们想来走的路为"4=血举一反三【变式I】如图学校有一块长方形花园,有极少数人为了避产揭隹而走“捷径,在花园内走出了一条“路,谈走"捷径"的路长为sm,那么工i/3rMI=5故少走的周长为7-5=2m又由于2步为一所以他朽仗愎少走了4步樨.【答案】4:变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形同格,它的每一个小三角形都是边长为1的三三角形.这样的三角形秣为单凝三启形口U直接写出单位正三角形的高与面积占5图中的平行四边形AECD含有多少八单但正三角形平行四边形4%D的面积是多少；3求出图中

36、线较AC的长可作情助娃.出几色色【答案】1单位正三角形的高为3,面积是了24o24X=6732如图可直接得出平行四边形AICD含有24个单位正三带形,因此其直枳4,一忒L邛一?过A作AK_LBC于点K如所示,那么在RtAACK中Y/.KC-1+14-AC=jAldJ孚+；=而22,故八,类型三：数学思想方法一转化的思想方法我们在求三角形的边或角,或进行都论证在常常作唾籍,杓造直角三角形,隼可题转化为直角三角非问题来解决.工如下图,AABC是等鹿直麻三带布,AB二似LD是斜边BC的中昂E、F分制是AE、且C边上的点,且DEIDEB*12"F41线段EF的长S思路点推：现己知CF,要求E

37、F,但这三条线段不在同一三角形中,所以关铤是线段的转11匕根据直角三角形雕征三角彩的悔有特知性质,襁先连接0解：般AD.由于NEAC=SQ',AB=aC.又由于Q为心比.的中线:AD=DC=DB.AD1BC.且/BA*NC".由于/江密/衣0尸=9/,又由于/CDF+/ADF=9r.所以NELA二NCDF,所以AAEDMACFD(ASA/折以AkFC=5,触AF=EEL2*在批AAEF中p根解股定理悻；料网招小明停所以EF=0D总城升华：比题考直了等腰直角三禽无性质及勾股定理等如眼.通过此翳我们可以了番当己知的线段相所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同一

38、直.南三角形中求解,施的瞒旅4如下图,改AABC中,Zc=9f1a+0+1MbJ触思龄点拣由叶卜升十,再找出4、0的关解阿求出一的富解；在必ABC中,ZA=SOd,ZB=900NA=31,那么啰由勾股定电得由于前二3+亚硼业+6二升收b举邛积1,昨物=&岳3,c=2&=20总结胖;蛙角三角形也酎的锐赫所邨勘边是斜邮-七举一尼"麦式】如下图蹿矩搠一边如,触D蹄BC边的启F处酶AB士血BC=10cm,tEF的长口解;由于&KDE与AAFE关于您对机所以A>AF,DE>EL由于四边形ABC是矩瓶m/B=ZC=909,在RlZkABF,_AF/D=B,1Q

39、皿AE=Scm?所以那二“0、沙二7二6(族).所以内二犯-邓二106二软吐期二瓯那么即二龙二阳灿.在RiAECF中,妒+游二那即'+*=("±解得1=30朗=DE=-i)cm=5cm琳回的长为5皿33333勾股定理知识点一：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.(即：a2+6=c2)要点诠释：“勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用：(1)直角三角形的两边求第三边(2)直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边(3)利用勾股定理可以证实线段平方关系的问题知识点二：勾股定理的逆定理如果三角形的三边

40、长：a、b、c,那么有关系a2+t2=c2,那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：(1)首先确定最大边,不妨设最长边长为：c；(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,假设c2=a2+b2,那么/XABCM以/C为直角的直角三角形(假设c2>a+t2,那么zXABCM以/C为钝角的钝角三角形；假设康扑6,那么ABC%锐角三角形).知识点三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关.知识点四：互逆命题的概念如果一个

41、命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.规律方法指导1 .勾股定理的证实实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证实的.2 .勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目.3 .勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误.4 .勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a,b,c有以下关系：a2+t2=c2,MB么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法.5 .?应用勾股定理的逆定理判定一个

42、三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算通过学习加深对“数形结合的理解.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.例：勾股定理与勾股定理逆定理勾股定理练习一.填空题：1 .在RtABg,ZC=901假设a=5,b=12,贝Uc=2b=8,c=17,MSaab=2 .假设一个三角形的三边之比为5：12：13,那么这个三角形是按角分类./3 .直角三角形的三边长为连续自然数,那么其周长为./4 .传说古埃及人曾用m拉绳的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形那么你拉出的直角三角形三边的长度分

43、别过_厘米,厘米,厘米,其中的道理是/5 .命题“对顶角相等的逆命题为它是命题.填“真或“假6 .观察以下各式：32+4二日；82+£=16152+8=172;242+12=26"；你有没有发现其中的规律请用你发现的规律写出接下来的式子：07 .利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图的图形,这个图形被称为弦圈最早由三国时期的数学家赵爽给出的.从图中可以看到：大正方形面积=小正方形面积十四个直角三角形面积.因而c2=+,化简后即为c2=J.B8一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点,那么它所行的最短路/线的长是.二.选择题：9.观察以下几组数据:18,

44、15,17;27,12,15;312,15,20;7,24,25.其中能作为直角三角形的三边长的有组A.1B.2C.3D.410 .三个正方形的面积如图,正方形A的面积为A.6B.4C.64D.811 .直角三角形的两条边长分别是5和12,那么第三边为A.13B.E9C.13或59D,不能确定/12 .以下命题如果a、b、c为一组勾股数,那么4a4B4c仍是勾股数；如果直角三角形的两边是5、12,那么余边必是13;如果一个三角形的三边是12、25、21,那么此三角形必是直角三角形；一个等腰直角三角形的三边是a、b、c,a>b=c,那么a2：b2：c2=2：1：1.其中正确的选项是A、RG

45、、,D13 .三角形的三边长为a+b2=c2+2ab,那么这个三角形是A.等边三角形；B.钝角三角形；C.直角三角形D.锐角三角形.14 .如图一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,那么两船相距A、25海里B30海里G35海里D40海里15 .等腰三角形的腰长为10,一腰上的高为6,那么以底边为边长的正方形的面积为A、40B80G40或360D.80或36016 .某市在旧城改造中,方案在市内一块如下图的三角形空地上种植草皮以美化环境,这种草皮每平方米售价a元,那么购置这种草皮至少需要A、450a元B

46、225a元G150a元D.300a元第16题图第14题(A) CDEFGH(.ABCDGH(B) ABEFGH(D)ABCDEF17 .如图1,在单位正方形组成的网格图中标有ABCDERG叫条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是18 .1在数轴上作出表示近的点2在第1的根底上分别作出表示1-J万和物+1的点19 .有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出尺,斜放就恰好等于门的对角线长,门宽4尺,求竹竿高与门高.20 .一架方梯长25米,如图,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米,1这个梯子的顶端距地面有多高2如果梯子的顶端下滑了4米,那么梯子的底端在水平方向滑动

47、了几米/第20题图21 .如图5,将正方形ABC折叠,使顶点A与CM上的点M重合,折痕交ADTE,交BCfF,边AB折叠后与BC&交于点G如果M为CM的中点,求证：DEDMEM=34:5.3、如下图,ABCM等腰直角三角形,AB=ACD是斜边BC的中点,E、F分别是ABAC边上的点,且DELDF假设BE=12CF=5求线段EF的长1、如图,这是一个供滑板爱好者使用的U型池,该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱而成,中间可供滑行局部的截面是半径为4m的半圆,其边缘AB=CD=20威E在CD±,CE=2m边缘局部一滑行爱好者从A点到E点,那么他滑行的最短距离是多少?的厚度

48、可以忽略不计,结果取整数/h2、将一根24cm勺筷子,置于底面直径为15cm杯中,如图所小,设筷子露在杯子外面的长度为hcm那么h的取值氾围是.Ah<17cm/B.hi>8cmC.15cmCh<16cmD.7cmCh<16cm3、如图,在RtABC中,A90,D为斜边BC中点,DEDA4、如图,在等腰直角ABC的斜边上取异于B,C的两点E,EF,BE,CF为边的三角形是直角三角形./EB高8cm的圆柱形水F,求证：EF2BE2CF2F,使EAF45,求证：以5、如图,在ABC中,BAC22_2BD2CD22AD290,ABAC,D是BC上的点,求证：A/K/第章?勾股定

49、理?测试题一、选择题：每题4分,共40分1、以下四组数据不能作为直角三角形的三边长的是A.6、8、10B,5、12、13/C.12、1&22D,9、12、152、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是图A钝角三角形B、锐角三角形C、直角三角形D、等腰三角形3、如图1,带阴影的矩形面积液平方厘米丁A9B.24C.45D.518厘米4、如果梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以到达该建筑物的高度是A.12米B.13米C.14米D.155、等腰三角形的一腰长为13,底边长为10,那么它的面积为6、一直角三角形的木版,三边的平方和为1800cm那么斜边长为A80mB、30m

50、C、90mD、120m7、等边三角形的边长是10,它的高的平方等于8、直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米,那么斜边上的高是A6厘米B、8厘米C、80厘米D、空厘米13139、RtaABg,/C=90,假设a+b=14cmc=10cmMRtABC勺面积是A、24cmB36cmC48cm、D60cm10如图,在直角三角形中,e90°,AC=3将其绕B点顺时针旋转周,那么分别以BAB勃半径的圆形成一环,该圆环的面积为A、B、3C、9D、6二、填空题：每题3分,共15分11、zdABCfr,假设At+AB2=BC2,那么/B+ZC='12、假设三角形的三边之比为3：4：5,那

51、么此三角形为三角形.13、如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其彳中最大的正方形的边和长为7cm那么正方形A,B,C,D的面积之和为2cm15、正方形的面积为100平方厘米,那么该正方形的对角线长的平方为、解做题：共45分16、如图,从电线杆离地面6m处向地面拉一条长10m的缆绳,这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远6分18、小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m当它把绳子的下端拉开5m后,发现下端刚好接触地面,那么旗杆的高度是多少7分19、19.如图正方形网格中的9BC假设小方格边长为1,请你根据所学的知识1求AABC勺面积判断4AB久什么形状

52、并说明理由.8分20、如下图,折叠长方形一边AD点D落在BC4白t点F处,BC=1配米,AB=8®米,求FC的长.7分22、8分中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理,而且很早就尝试对勾股定理作理论的证实.最早对勾股定理进行证实的,是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅“勾股圆方图,用形数结合的方法,给出了勾股定理的详细证实.在这幅“勾股圆方图中,以弦为边长得到正方形ABD是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的.每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a,那么面积为b-a2.于是便可得如下的式子：总角?以=/="'十4x彳

53、口右/“口+二产/1你能用下面的图形也来验证一下勾股定理吗试一试!2你自己还能设计一种方法来验证勾股定理吗?一、选择题1 .一个Rt的两边长分别为3和4,那么第三边长的平方是或25/2 .以下各组数中,以a,b,c为边的三角形不是Rt的是/=7,b=24,c=25=7,b=24,c=24=6,b=8,c=10=3,b=4,c=53 .假设线段a,b,c组成Rtz,那么它们的比可以是/：3：4：4：6/：12：13：6：74 .,一轮船以16海里/时的速度从港DA出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港DA出发向东南方向航行,离开港口2小时后,那么两船相距5 .如图,正方形网格中的小BC假设小方格边长为1,那么ABCMA.直角三角形/口口ILLMbB.锐角三角形一一二*c.钝角三角形t±zD.以上答案都不对,/6 .如果Rt的两直角边长分别为n21,2n其中n>1,那么它的斜边长是+1+17 .RtABCfr,/C=90,假设a+b=14cmc=10cm贝URtABC勺面积是8 .等腰三角形底边长10cm,腰长为13,那么此三角形的面积为9 .三角形的三边长为a+b2=c2+2ab,那么这个三角形烟B.钝角三角形D.锐角三角形10 .,如图,长方形ABCDP,AB=3AD=9将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为E