运用“三点法”求解动点路径长问题

1、运用“三点法求解动点路径长问题初中数学中动点路径问题,一般有两种情况：线段或圆弧.本文提出一种求动点路径长的方法一一三点法,“三点指动点的起点,终点与过程点.该方法分为三步:(1)精准作图,运用刻度尺,圆规及量角器等工具作出位置较为精准的“三点.(2)大胆猜测,假设“三点共线,那么动点路径为线段；假设“三点不共线,那么动点路径为圆弧.(3)小心验证,根据画出的“三点图,运用相似三角形、“定角定长定圆等方法对猜测进行严格的证实一、知识准备1、根本概念如图1,在RUABC中,AC=6,BC=8,/C=90,点P是边AB上一动点,点D是AC延长线上的一个定点,连结PD,过点D作DE_LPD,连结PE

2、,且nDEE当点P从点A运动到点B时,点E运动的路径长为Ei在图1中,点P是“主动在边AB上开始动的点,称为“主动点；点E是跟着点P在运动的点,称为“从动点.又点P从点A运动到点B,当点P与点A重合时记作点R,称为“主动点的起点,此时E1称为“从动点的起点,此时作出符合要求的图形(如图2),称该图为“起点图；当点P与点B重合时记作点P2,称为“主动点的终点,此时E2称为“从动点的终点,作出符合要求的图形(如图3),称该图为“终点图.区别于起点P1,终点F2,将图1中的点P称为“主动点的过程点,此时E称为“从动点的过程点,相应地把图1称为“过程图.将起点图,终点图,过程图放在同一个图形中,将这个

3、图形称为“三点图(如图4).4月仍.渔FJE图3图42、定角定长定圆固定度数的角对着固定长度的线段时隐含着一个固定大小的圆,此时定线段为定圆的一条弦,定角为弦所对的一个圆周角.引例1如图5,线段AB=4,点C是平面上的一个动点,使/ACB=901作出点C的运动路径图5图6由“90.角所对的弦是直径可以得到点C的运动路径是以AB为直径的圆,且不与点A、点B重合如图6.引例2如图7,线段AB=4,点C是平面上的一个动点,/ACB=45,作出顶点C的运动路径.图7图X当点C位置不同时,/ACB度数不变,根据“同弧或等弧所对的圆周角相等,可以将ZACB看作弦AB所对的一个圆周角,圆心O必在弦AB的垂直

4、平分线上,且/AOB=2/ACB=90,计算可得半径OA=2j2.所以,点C的运动路径是优弧ACB,且不与点A、点B重合如图8.引例3如图9,线段AB=4,点C是平面上的一个动点,/ACB=120作出顶点C的运动路径.图9图10作出NACB的补角NACB为60.,/ACB的位置不同时度数为定值.类比弓I例2,可将/ACB看作弦AB所对的一个圆周角,圆心O必在弦AB的垂直平分线上,且/AOB=2ACB=120:计算可得半径OA=4J3.在所以点C的运动路径是劣弧Ab,3且不与点A、点B重合如图10.二、方法归纳例l如图11,在FtABC中,AC=6,BC=8,NC=90.点P是边AB上一动点,点

5、D是AC延长线上的一个定点,连结PD,过点D作DE_LPD,连名nPE,且tanZDPE=-,当点P从点A运动到点B时,点E运动的路径长为.51.精准作图由于tanDPE=2,所以通过计算很难得到5/DPE的度数不借助方f算器,但可以运用量角器测量图12中/DPE生22.在图11的根底上,先作起点图.当点P与点A重合时记作点P1,在图中作出ZDPQ=22*如图12,过点D作DE1_LPD交射线AQ于点E1如图13.当点P与点B重合时记作点F2,运用类似的方法在图13的根底上作出终点图,并去掉多余局部,得到一幅完整的三点图如图14.A3)图132、大胆猜测通过三点图发现点E1,点E,点E2根本在

6、一条直线上如图14,所以可以大胆的猜测点E的运动路径是一条线段,点E运动的路径长就是线段E1E2的长度.于是提出猜测一“在三点图中,从动点的起点,终点,过程点三点共线时,从动点的运动路径为线段月PJd片图14图i5在三点图中,从动点的起点,终点,过程点三点不共线时,就初中数学而言,不共线的三点确定一个圆,这里提出猜测二“在三点图中,从动点的起点,终点,过程点三点不共线时,从动点的运动路径为圆弧.当运动路径为圆弧时,考虑寻找固定度数的角与固定长度的线段,运用“定角定长定圆的方法作出运动路径3.小心验证在图15中,由于/E1DE+/RDE=90：/RDP+NRDE=90,ZPDP=/E1DE.DE

7、1DEDPi-DP .DEE1;DPP1.同理AE2DE:AP2DP,可得/DEE2=/DPP2.又DPP1DPP2W80,.DEEiDEE2W80.,点Ei,点E,点E2三点共线.E1DE2+jPDE2=90*,/RDP2+/RDE2=90, /PDP2=/E1DE2.DE1_DE2=2DP1DP25 AE1DE2:APDP2,E1E2=2 PP2=10, E1E2=4.通过上述论证得到结论一：“当主动点在一条线段上运动,从动点也在一条线段上运动时,主动点的起点、终点、某个定点构成的三角形和从动点的起点、终点、某个定点构成的三角形相似.因此可以先求出主动点的运动路径长再乘以相似比得到从动点的

8、运动路径长.三、运用求解例2如图16,在FtdCOD中,/COD=90.OC=OD=2,以O为圆心,AB为直径的圆经过点C,点D.连结AD,BC相交于点P,将RMCOD从OA与OC重合的位图16图17在图16的根底上先作起点图,当点C与点A重合时记作点Ci,此时点D在点Di,位置,BC-ADi,交于点此时点与点A重合如图17.再作终点图,此时点C与点Di重合记作点C2,点D与点B重合记作点D2,AD?与BC?交于点P2,点B与点B重合如图18.通过三点图,发现点点P,点P2三点不共线,考虑从动点的运动路径为圆弧,但需要运用“定角定长定圆的方法加以证实(P1)A(Ct)(P1)(A)图18图19

9、在APAB中,AB=4为定长,由于/COD=90.所以/COA+/DOB=90,又“同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半1得到CBADAB90=45,2置开始,绕着点O顺时针旋转90q那么交点P所经过的路径长是.所以/APB=135口为定角.所以点P在以AB=4为弦,/APB=135口为圆周角的定圆上运动.类比引例2,NAPB的补角/APB=45口也为定角,可将NAPB看作弦AB所对的一个圆周角,圆心O必在弦AB的垂直平分线上,且ZAOB=2ZAPB=90i.又由于“直径所对的圆周角为90o,所以O是弦AB的垂直平分线与圆O的一个交点所以半径OA=2.2.所以点P的运动路径是劣弧AB如图19,根据弧长公式得到l=9022=、2二.180通过上述论证可以发现,主动点C1,点C2与点O构成的扇形C1OC2圆心角为900,半径为2;从动点P1,F2与点0构成的扇形POP2的圆心角为900,半彳仝为2匹.由于两个扇形的圆心角都为900,所以扇形C1OC2:扇形P1OP2,相似比为1：J5,因此扇形的弧长之比90、2也为1：J2.主动点c的运动