幂函数的典型例题

1、学无止境 最全文档整理 经典例题透析 类型一、求函数解析式 2 例 1.已知幕函数y = (m2 m1)xm ，当(0,，)时为减函数，则幕函数 y= _ . 2 解析：由于y =(m2m -1)xm，m为幕函数， 2 所以 m -m -1 =1，解得 m = 2，或 m = -1 . 当 m =2 时，m2-2m-3-3 , y=x在(0, )上为减函数； 当m=-1时，m2-2m-3=0, y = x0 =1(x0)在(0, )上为常数函数，不合题意，舍去. 故所求幕函数为y=x. 总结升华：求幕函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幕函数的定义是关键. 类型二、比较幕函数值大小 例 2.

2、比较下列各组数的大小. 4 4 3 3 _ - _ - _ _ (1) 3.14 3 与二 3 ; (2) (一、2) 5 与(-、.3) 5. 4 4 4 解： 由于幕函数y =一3&0)单调递减且3.14 ：，. 3.14一3 二一3. 3 (2) 由于 y=x这个幕函数是奇函数. f(-x)=-f(x) 3 3 3 3 3 因此，(- .2) 一5 = -( . 2) 5 , (_、3) 一5 二-C 3) _5，而 y = 5 (x0)单调递减，且.2 八 3 , 3 3 3 3 3 3 - ( . 2) _5 (、3)一5= -(、2)一5 ： -(、.3)一5 .即(一2)

3、一5 ： (-.3)一5. 总结升华： (1) 各题中的两个数都是“同指数”的幕，因此可看作是同一个幕函数的两个不同的函数值，从而可根 据幕函数的单调性做出判断. (2) 题(2)中，我们是利用幕函数的奇偶性，先把底数化为正数的幕解决的问题 当然，若直接利用 x0 上幕函数的单调性解决问题也是可以的 举一反三 【变式一】比较0.8.5, 0.90.5, 0.9亠5的大小. 思路点拨：先利用幕函数y=x0.5的增减性比较0.80.5与0.90.5的大小，再根据幕函数的图象比较 0.90.5与 0.9 亠5的大小. 解：；y =x0.5在(0, )上单调递增，且 0.8： 0.9 , 0.80.5

4、 ：0.901 作出函数y =x0.5与y二x在第一象限内的图象， 易知0.90.5 99心学无止境 最全文档整理 0.5 0.5 0.5 故 0.8 0.9 0.9-. 例 3.已知幕函数y=x , y = xn2 , y = xn3, y = xn4在第一象限内的图象 分别是 Ci, G, C3, C4,（如图），贝U ni, n2, n3, n4, 0, 1 的大小关系？ 解：应为 nin20n31(3 2a厂, 即0，得 m3 或 m0 , 得到 x3 或 x3 时，/ u=(x-1) 2-4, 随着 x的增大 u增大， 3 32a 0 (1) 0 (2) 3 -2a a a +1 3

5、 2a : 0 *a+1c0 (3) 3 -2a 0 (3 _2a) a a +1 学无止境 最全文档整理 又 y = u 4在定义域内为减函数， y 随着 u的增大而减小， 3 即X3, 二时，y =(X2 -2x-3)一4是减函数，而 x -二，-1时，原函数为增函数 总结升华： 1. 复合函数的讨论一定要理清 x , u , y 三个变量的关系. 2. 对于这样的幕函数与二次函数的复合，要先考虑幕函数的定义域对自变量 举一反三 1 【变式一】讨论函数 f(X)=xm2 m (m N )的定义域、奇偶性和单调性. 解：(1) ； m2 m = m(m 1)(m N )是正偶数， 2 .m m 1是正奇数. .函数f (x)的定义域为R . (2) ； m2 m 1是正奇数， 1 1 2 2 .f(-x) =(-x)m m 1二-xm m -f(x)，且定义域关