最新初中几何证明题五大经典(含答案)

1、精品文档精品文档经典题（一）1、已知：如图， O是半圆的圆心， C、E是圆上的两点， CDXAB , EFXAB , EG ±00. 求证：CD=GF.（初二）证明：过点G#GH±AB于H ,连接0E EGXCO, EFXAB/ EGO=90 ° , / EFO=90 ° ./ EGO+Z EFO=180° E、G、O、F四点共圆 ./ GEO= Z HFG / EGO= / FHG=90 ° . EGOA FHGEO GO =FG HGGH± AB , CD LABGH / CDGO CO二HG CDEO CO 二FG C

2、D EO=COCD=GF 2、已知：如图， P是正方形 ABCD内部的一点，/ PAD = /PDA=15° 。求证： PBC是正三角形.（初二）证明：作正三角形 ADM ,连接 MP . / MAD=60 ° , / PAD=15°/ MAP= / MAD+ / PAD=75 ° . / BAD=90 ° , / PAD=15 ° . / BAP= / BAD- / PAD=90 ° -15° =75 °/ BAP= / MAP MA=BA , AP=AP . MAPA BAP/ BPA= / MPA

3、, MP=BP同理/CPD=/MPD, MP=CP . / PAD = Z PDA = 15°PA=PD , / BAP= / CDP=75 ° BA=CD . BAPZ CDP/ BPA= / CPD / BPA= / MPA , / CPD= / MPD/ MPA= / MPD=75 ° ./ BPC=360 ° -75° X 4=60° MP=BP , MP=CP BP=CP .BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形 ABCD中，AD = BC, M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交 MN 于 E、F.求证：/

4、 DEN = Z F.证明：连接AC,取AC的中点G,连接NG、MGF CN=DN , CG=DGGN / AD , GN= 1 AD2 ./ DEN= / GNM AM=BM , AG=CG .GM / BC, GM= 1BC2. F=/GMN AD=BC.GN=GM ./ GMN= / GNM ./ DEN= / F经典题（二）OM ±BC 于 M .1、已知： ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且 （1）求证：AH =2OM ;（2）若/ BAC =600,求证：AH=AO.（初二）证明：（1）延长AD交圆于F,连接BF,过点O作OGLAD于GOG± A

5、FAG=FG AB =AB ./ F= Z ACB又 ADBC, BEX AC / BHD+ / DBH=90 °/ ACB+ / DBH=90 °/ ACB= / BHD.F=/BHDBH=BF 又 AD，BC. DH=DF. AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2 （ GH+DH ） =2GD又 ADBC, OM± BC, OGXAD四边形OMDG是矩形OM=GD AH=2OM（2）连接 OB、OC. / BAC=60 .BOC=120 °OB=OC , OM ±BC1 ., _/ BOM= / BOC=6

6、0/ OBM=302BO=2OM由（1）知 AH=2OM AH=BO=AO2、设MN是圆O外一条直线，过 O作OALMN于A,自A引圆的两条割线交圆 O于B、C及D、E, 连接CD并延长交 MN于Q,连接EB并延长交 MN于P.G求证：AP=AQ.证明：作点 E关于AG的对称点F,连接AF、CF、QFAG ± PQ / PAG= / QAG=90 °又/ GAE= / GAF / PAG+ / GAE= / QAG+ / GAF即 / PAE= / QAF E、F C、D四点共圆AEF+ /FCQ=180° EFXAG , PQXAG EF / PQ ./ PAF

7、= Z AFE AF=AE ./ AFE= ZAEF在 AEP和 AFQ中/ AFQ= / AEP:AF=AE- / QAF= / PAE AEPAAFQAP=AQ/ AEF= / PAF . / PAF+Z QAF=180 ° ./ FCQ= Z QAFF、C、A、Q四点共圆/ AFQ= / ACQ又/ AEP= / ACQ/ AFQ= / AEPDE ,设CD、EB分别交 MN于P、Q.OA、AF、AG3、设MN是圆O的弦，过 MN的中点A任作两弦BC、 求证：AP = AQ.（初二）证明：作 OF LCD于F, OGBE于G,连接 OP、OQ、C、D、B、E四点共圆. B= /

8、 D, / E=/CABEA ADC,ABBE 2BG BGADDC 2FDDFABGA ADF/ AGB= / AFD/ AGE= / AFC AM=AN ,OA± MN又 OGBE, ./ OAQ+ / OGQ=180° O、A、Q、E四点共圆/ AOQ= / AGE同理/ AOP= Z AFC/ AOQ= / AOP又/ OAQ= / OAP=90 ° , OA=OAOAQA OAPAP=AQ4、如图，分别以 ABC的AB和AC为一边，在 ABC的外侧作正方形 ABFG和正方形 ACDE，点O是DF的中点，OPLBC求证：BC=2OP （初二）证明：分别过

9、F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是 L、M、N OF=OD , DN / OP / FL PN=PL二.OP是梯形DFLN的中位线 DN+FL=2OP . ABFG是正方形 / ABM+ / FBL=90 °又/ BFL+ / FBL=90 ° ./ ABM= / BFL又/ FLB= / BMA=90 ° , BF=AB . BFLABMFL=BM同理 AMC ACNDCM=DNBM+CN=FL+DNBC=FL+DN=2OP经典题（三）DE / AC , AE = AC , AE 与 CD 相交于 F.E 作 EG LAC 于 G1、如图，四边形 ABCD为

10、正方形, 求证：CE = CF.（初二）证明：连接BD交AC于O。过点 ABCD是正方形BD± AC 又 EGXACBD / EG 又 DE / ACODEG是平行四边形又/ COD=90 °ODEG是矩形EG=OD= BD= AC=1 AE222/ EAG=30 ° AC=AE/ ACE= / AEC=75 °又/ AFD=90 ° -15° =75°/ CFE= / AFD=75 ° = / AECCE=CF2/ GCE=30 ° AC=EC精品文档2、如图，四边形 ABCD为正方形，求证：AE=AF

11、.（初二）证明：连接BD,过点E作EGLAC. ABCD是正方形BD ± AC ,又 EGXACBD / EG 又 DE / ACODEG是平行四边形又/ COD=90 °ODEG是矩形EG = OD = 1 BD= 1 AC= 1 CECF 平分/ DCE.3、设P是正方形 ABCD 一边BC上的任一点，PF LAP,精品文档求证：PA=PF.(初二)证明：过点 F作FG，CE于G ,. CDXCG HCGF 是矩形. / HCF= ZGCF FH=FGHCGF是正方形CG=GFFHCD 于 HA APXFP. / APB+ / FPG=90 / APB+ / BAP=9

12、0FPG=/ BAP 又/ FGP= Z PBA.FG: PB=PG: AB 设 AB=x, BP=y, CG=z z： y= (x-y+z)： x 化简彳导(x-y) - y= (x-y). x-y w0 y=z即 BP=FGABPA PGF4、如图,PC切圆O于C, AC为圆的直径，PEF为圆的割线,求证：AB = DC , BC = AD.（初三）证明：过点 E作EK/BD,分别交 AC、AF于M、K,取EF的中点 H, 连接 OH、MH、EC EH=FHOH± EF, . PHO=90又 PSOC, ./ POC=90P、C、H、O四点共圆/ HCO= / HPO又 EK /

13、 BD, HPO= ZHEK ./ HCM= / HEM H、C、E、M四点共圆 ./ ECM= / EHM又/ ECM= / EFAEHM= / EFA.EM=KM. EK / BDOB AOEM AMODKM.OB=OD又 AO=CO四边形ABCD的对角线互相平分.ABCD是平行四边形.AB=DC , BC=ADAE、AF与直线PO相交于B、D.HHM / AC EH=FH精品文档经典题（四）C1、已知： ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3,求/ APB的度数.(初二)解：将 ABP绕点B顺时针方向旋转 60°得 BCQ,连接PQ则 BPQ是正三角形BQP=60

14、76; , PQ=PB=3在 APQC 中，PQ=4, CQ=AP=3 , PC=5 . PQC是直角三角形 ./ PQC=90 ° . / BQC= / BQP+/ PQC=60 ° +90° =150°B ./ APB= ZBQC=150 ° 2、设P是平行四边形 ABCD内部的一点，且/ PBA = Z PDA .又/ ADP= / ABP ./ AEP= ZABPA、E、B、P四点共圆/ BEP= / PAB/ PAB= / PCB求证：/ PAB = /PCB.（初二）证明：过点P作AD的平行线，过点两平行线相交于点 E,连接BE .

15、 PE / AD , AE / PDADPE是平行四边形PE=AD ,又ABCD是平行四边形AD=BC'PE=BC又 PE / AD , AD / BC!PE / BCBCPE是平行四边形，/BEP=/PCBI ADPE是平行四边形:，/ADP=/AEP*+得 AB - CD+ AD - BC =DE - AC+ BE - AC3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证： AB 证明：在 BD上去一点 E,使/ BCE=/ACDd C CD =CD / CAD= / CBD . BEC ADCBE BC=AD ACAD - BC=BE - AC . / BCE= ZACD ./ BCE+ Z

16、ACE= ZACD+ / ACE即 / BCA= / ECD1d c.,1=(DE+BE) AC=BD - AC- BC =BC ,./ BAC= ZBDC BACsEDCIAB AC1二 DE CDAB - CD=DE - AC1精品文档4、平行四边形 ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P,且AE = CF.求证：/ DPA=/DPC.（初二）证明：过点 D作DG，AE于G ,作DH，FC于H ,ade=2 AE - DG, S"=2 FC DH1 _乂 Saade = Safdc=2 ScabcdAE - DG=FC - DH又 AE=CFDG=DH.

17、点D在/ APC的角平分线上DPA=/ DPC经典题（五）1、设P是边长为1的正 ABC内任一点，L=PA+PB+PC, 求证：<3 < L<2.证明：（1）将 BPC绕B点顺时针旋转60°的4 BEF,连接PE, BP=BE , / PBE=60 °. PBE是正三角形。PE=PB 又 EF=PCL=PA+PB+PC=PA+PE+EF当PA、PE、EF在一条直线上的时候，L=PA+PE+EF的值最小（如图）在 ABF 中，/ ABP=120 ° AF=，3L=PA+PB+PC & <3（2）过点P作BC的平行线分别交则4ADG是正

18、三角形/ ADP= / AGP, AG=DG. / APD >Z AGP ./ APD >Z ADPAD > PA又 BD+PD >PBAB、AC 于 D、GCG+PG>PC + +彳A AD+BD+CG+PD+PG >PA+PB+PCAB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC > PA+PB+PC=L AB=AC=1 .1. L<2由（1） （2）可知：V3 < L<2.2、已知：P是边长为1的正方形 ABCD内的一点，求 PA+PB+PC的最小值.解：将4BCP绕点B顺时针旋转60°得BEF,连接PE,则 BPE是正

19、三角形PE=PBPA+ PB + PC=PA+PE+EF要使PA+PB+PC最小，则PA、PE、EF应该在一条直线上(如图)此时 AF= PA+PE+EF过点F作FGLAB的延长线于 G贝 U/GBF=180° -/ABF=180° -150° =30 °- GF=1理一 GF q , BG= 22 AF= .GF2 AG2 . PA + PB+PC的最小值是2十J33、P为正方形 ABCD内的一点，并且 PA=a, PB = 2a, PC= 3a,求正方形的边长.证明：将 ABP绕点B顺时针旋转90°得 BCQ ,连接PQ则 BPQ是等腰直角

20、三角形，PQ=握 PB= 22 x 2a=2 霹 a又 QC=AP=aQP2+QC2=(2 2 a)2+a2=9a2=PC2APQC是直角三角形 ./ BQC=135BC2=BQ2+CQ2-2BQ - CQ cos/ BQC =PB2+PA2-2PB - PAcos135°f=4a2+a2-2 x 2ax ax (-)2解得 BC= 5 2.2a .正方形的边长为5 2 2a4、如图， ABC 中，/ ABC = / ACB = 80° , D、E 分别是 AB、AC 上的点，/ DCA = 30° , / EBA = 20° ,求/ BED的度数.解：

21、在 AB上取一点 F,使/ BCF=60 , CF交BE于G,连接EF、DGA . /ABC=80° , / ABE=20 ° , . . / EBC=60 ° ,又/ BCG=60 °八 . BCG 是正三角形BG=BC； / ACB=80 ° , / BCG=60 °/ FCA=20 °/ EBA= / FCA/ 又. / A=/A, AB=AC .ABEACF ，AE=AF/ ./AFE=/AEF=2 (180。-/A) =80。'又 / C '/" C / G/CG 'FE又. /A

22、BC=80 =/AFE . . EF/ BC，/EFG=/BCG=60/ . EFG 是等边三角形,. EF=EG, / FEG=/EGF=/EFG=60°D<5:/ ACB=80 ° , / DCA=30 °. / BCD=50 °G ，/BDC=180° -Z BCD- Z ABC=180 ° -50° -80° =50 °: / :/ BCD= / BDC BC=BD 前已证 BG=BC. BD=BGBC1/BGD=/BDG=2 (180 -/ABE) =80，/FGD=180° -