线性代数复习题

1、复习题、填空题11 .设A为3阶万阵，B为2阶万阵，A为A的伴随矩阵，|A| 二2, |B| 二,4CA*。1 O 2 B，则C =2 设头矩阵A=(aij)3*, Aij 为aij的代数余子式，且 a。=Aj(i ,j=1,2,3) ,a11丰 0 ,则 Al =.3 .设向量组%,磔2,%线性无关,向量组仅2 -10t1，m3戊2，%-中3线性相关,则常数l,m满足的条件是4 .设A为4阶方阵，且R(A) =2, A*为A的伴随矩阵，则齐次线性方程组A * x = 0 的基础解系所含解向量的个数为 .5 .二次型 f (x1, x2, x3) =3x12 +2x2 +tx； +4x1x2

2、+2x1x3 + 2x2x3 正定，贝U t 的取值 范围是.6 .二次型 f (x1, x2, x3) =x； +x2 2x24x1x2+2x1x3+2x2x3的规范形为12-1、一 一7 .设 A = 0 3 5 ，则 3A =.：2 4 -L8 .已知向量组%,a2 a3线性无关，若a1 +t«2, a2 +a3,a1, + a3也线性无关，则t.9.设B为3阶非零矩阵，满足AB = O ,若R( A) = 2 ,则秩R(B)=.1 0 -210 .已知矩阵 A* = 1 21 ，且 A <0 ,则 A* A=.：3 1 0 1|一10011 .若实对称矩阵A与B= 0

3、-1 2合同，则二次型xT Ax的正惯性指数为.0221 ,E22=10 0】为数域F上的|(0 1线性空间F 2.的一组基，向量i=22"2 34 t , BOH AB=O ,则下面结论正确的是(6 9在这组基下的坐标为.3 4一5 4 31 、-*-*113 .设矩阵A= 0 2 2 , A为A的伴随矩阵，则(A ) =. ：0 0 1_14 .设向量组 5 =(1,1,0口2=(1,3,_1内3=(5,3,。线性相关，则 t=.15 .设B为3阶非零矩阵，满足AB=O,若R(A)=2,则秩RB )=3-1216 .已知矩阵 A= -3 1-2 , WJ An =.6-2 4 J

4、17 .二次型 “、,乂2,乂3 )=2x2 +x； +x； -2ax1x2+2x1X3正定时，a应满足的条件是18 .设E1=101,E2 = F21,E31 0 I为数域F上的所有二阶对称阵构1(00|t_200 32 4成的线性空间的一组基，向量支= 在这组基下的线性表示4 5为.二、选择题1.设A为3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B ,再把B的第2列加到第3列得C ,则满足AQ = C的可逆矩阵Q为().0 1 0(A) 1 0 0J 0 1一010(B) 101001.0 1 1(C) 1 0 00 0 1 一0 1 0(D) 1 0 00 1 1 一12.已知A = 2：3(A

5、)若 t=6, M R(B)=1;(B)若 t=6,则 R( B )=2 ；(C)若t=6,则 R(B)=2；(D)若 t#6,贝U R(B) = 1 .3.设向量组 %产2产3； (n)巴产2产3产4； (m) 口1产2产3产5.如果各向量组).的秩分别为r(d = r(h)=3,R( m) =4则向量组%M2Q3U4+S5的秩为(A) 2；(B) 3;(C) 4;(D) 5.34 .设”2是非奇异阵A臼q个特征值，则(3 A2/有一个特征值为().411(D) 7(A) 4；(B) 1；(C) 1 ；3425 .不能相似对角化的矩阵是()1 2 1(A) 0 3 0-0 0 0 一1 2

6、1(B) 0 1 0：0 0 311 1 1(C) 2 2 2：3 3 311 2 3(D) 2 4 5：3 5 61一16.设人=0：00 00 2，则与A合同的矩阵是(2 0).100(A) 020001_1 0 0(B) 0 1 0 0 0 9_100(00-1 000 -1 _1 0 0(D) 0 1 0 0 0 1-一17.与矩阵A = 0010(A)010 10 01 0相似的矩阵是()0 20101101 ;(B)020 ;(C)022 一-0011_000-11 ； (D) 01J.。8.设A、B为n阶可逆矩阵，C|A O 1则C的伴随矩阵P B，=(9.(A)(C)O *B

7、BO*B A| 1-2 4I已知矩阵A= -2 x -24 21(B)(D)与A:BA* 一 O :B B* . O"5O 1*;A BO* A A1相似，则-'4(A) x = 4, y =5(B) x = 3, y = 5 ; (C) x = 3, y = 4(D) x = 5, y = 4 .10.设A为3阶方阵，%,U2,% 是A的列向量组，则|A=().(A)(B)a +a 12,a +a a +ct3, 1(C) |«1,«1 +«2,«1 +«2 +«3 ；(D)-«1 ,-«2,-

8、«311 .设A是n阶方阵，n维非零列向量a是A的属于特征值 人的特征向量，P是 n阶可逆矩阵，则矩阵PAP-1属于特征值人的特征向量是()T1(A) Pot ;(B) Pa; (C) Pa; (D) a .12 . n元实二次型f =xTAx为正定的充分必要条件是()(A) A >0;( B)存在 n 阶矩阵 C,使 A=CTC；(C)负惯性指数为零；(D) A合同于单位矩阵.13 .设A是mn矩阵，B是nm矩阵，则下列结论正确的是 ().(A)当m An时，必有行列式|AB #0;(B)当m >n时，必有行列式 AB=0;(C)当nm时，必有行列式|AB#0;(D)当

9、nm时，必有行列式|AB=0.14 .设非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组为 Ax = 0,则下面结论 中正确的是().(A)若Ax =0有唯一解，则Ax = b必有唯一解；(B)若Ax =0有唯一解，则Ax = b必无解；(C)若Ax =0有无穷多个解，则Ax = b也有无穷多个解；(D)若Ax =b有无穷多个解，则Ax = 0也有无穷多个解.1-1 115 .已知A有三个线性无关的特征向量，儿=2是人=x 4 y的二重特征 ：-3 -3 5.值，则().(A) x =-2, y=2； (B) x = 1, y =-1; (C)x = 2, y =-2 ； (D)x=-1, y

10、= 1 .16 .设A为n阶可逆方阵，九是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A*有一个特征值一定是().(A)九An;(B)k A;(C)九 A;(D)九 An.17 .设A为n阶对称矩阵，B为n阶反称矩阵，则下列矩阵中为反称矩阵的是 ().一_ _ 2(A) AB-BA;(B) AB + BA;(C) (AB);(D) BAB.18 .实二次型f =xTAx为正定的充分必要条件是().(A) A合同于单位矩阵;(B)存在n阶矩阵C ,使A= CC ;(C) |A>0；(D)负惯性指数为零.三、计算及证明题1.设 a =(1,0,1)T ,矩阵 A T, n为正整数，a为非零实数，求行列式a

11、E An的值.2.已知 A2 = A,一 12A-B-AB =E，若 A= 0-03 -1 ,求(A-B尸及矩阵B .-23.设矩阵B =-00-1,已知矩阵A相似于B ,求R( A-2E ) + R(A- E).4.设向量组 %,。2户3是向量空间 R3的一组基，求由基11.«1-«2,-«3 到基53+ C(2,a2 +0(3,«1十13的过渡矩阵.5.设A是n阶正定矩阵，1a 1产2,a n为n维非零列向量,满足 由 Aa j = 0,(i#j, i, j =1,21，n),试证支2,a1 + xa2a3!a1a2 + xa3sa1a2 a3+Xa

12、1a2a31，计算AJ ana na n- .an十x 一i6.设矩阵A"12-17 .已知 A= 36-3 , (1) 求( A); (2)求 A n.2 -428 .求向量组%=(1,2, 1,1)T , a2 =(0, 4,5, 2)T , 口3 =(2,0,t,0)T «4 =(3, -2,t+4, -1)T的秩和一个极大无关组.9 .设矩阵A, B为3阶矩阵，且满足2A-1B = B- E ,其中E为3阶单位矩阵,1-2 0（1）证明A - 2 E可逆；（2）已知A= 120 ,求矩阵B .：0 0 1一1 0 010 .设A为3阶方阵，P为3阶可逆方阵，且 P-

13、1 AP = 0 2 0 ,若：。0 2 一P =但，口24 3） , Q =（口1尸12P3）,求 Q/AQ .11 .设3阶矩阵1 。A |2 1 , B =,3" MJ其中SP, Z,尸2均为3维行向量，且|A =18, B = 2 ,求A-B12 .设线性方程组x1 3x2 2x3 x4 =1乜十9一”"1,凶 + 2x2 +3x4 =3问a为何值时方程组有解？并在有解时，求方程组的通解|-1 0 013 .设矩阵A= 1 0 1满足AB = A _2B,求矩阵B .2 2 2_14 .对于n阶方阵A,如果存在整数k使Ak=O,则称A为幕零矩阵.设A¥ O

14、 , 试证A不能相似对角化.15 .设有两组基匕=(0,1,1 F42= (1,0,1 9鼻=(1,1,0 F；1=(1,0,0 )T产2 =(1,1,0 F, % =(1,1,1 F,求由基匕占3到，尸2尸3的过渡矩阵，并求。=十?2+5“3在 基"右，匕下的坐标.四、2x1 x2 x3 2x4 = 0,1、已知非齐次线性方程组x2+3x3+x4=1, 如果=(1 -1 1 -1是方程x1 + ax2 + cx3 + x4 =0.组的一个解，试求方程组的通解.2、设向量组 % =(2,1,5)T , 口2 =(a,2,10)T 口3 = (1,1,4)tP =(1,b,c)T .试

15、问：当a,b,c满足什么条件时， P可有生,a2,。3线性表示，且表示式惟一；P不能由%,%,%线性表示；(3) P可由%,a2,%线性表示，但表示式不惟一？并求出一般的表示.3、设向量组1 二 1,1,1,3一，二 2 = -1,-3,5,1 ； 3 = 3,2,7, p 2 ,1 4-2,-6,10,p ； = 4,1,14,10 -，(D P为何值时,口 1P2,%产4线性无关？并在此时将向量«用产2p3p4线性表示；(2) P为何值时，小02«3«4线性相关？并在此时求它的秩和一个极大无关组.五、1、设二次型 f(Xi,X2,X3)=ax；+2x2 2x2 +2bx1x3, b>0,其中二次型的矩阵 A 的 特征值之和为1,特征值之积为-12.(1)求a,b的值;(2)求一个正交变换 x = Py把二次型f化为标准形.2、已知实二次型f