等腰三角形三线合一专题练习[1]

1、等腰三角形三线合一专题训练19例1:如图，四边形 ABCD中，AB /DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD,且点E在AD上。 求证：BC=AB+DC 。CE± BE。变 1:如图，AB / CD, Z A = 90°, AB =2, BC=3, CD = 1, E 是 AD 边中点。求证:变2：如图，四边形 ABCD中，AD/BC, E是CD上一点，且 AE、BE分别平分/ BAD、Z ABC.(3)求证：AD+BC=AB.(1)求证：AE± BE;(2)求证：E是CD的中点;变3: ABC是等腰直角三角形 ，/ BAC=90,AB=AC.若D为BC的

2、中点，过 D作DM ±DN分别交 AB、AC 于 M、N ,求证：(1) DM = DN。若DM ±DN分别和BA、AC延长线交于 M、N。问DM和DN有何数量关系。(1)已知：如图，AB=AC , E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且 BE=CF , EF交BC于点D.求证：DE=DF .(2)已知：如图，AB=AC , £为AB上一点，F是AC延长线上一点，且， EF交BC于点D,且D为EF的中点. 求证：BE=CF .利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在 ABC中，AB=AC P为底边BC上的一点，PDLAB于D, P已AC于E, ?CF=1 A

3、B于F,那么PD+PEW CF相等吗？变1:若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD、PE与CF的关系又怎样，请你作 图，证明1、已知等腰三角形的两边长分别为 4、9,则它的周长为（）A 17 B 22 C 17 或 22 D 13根据等腰三角形的性质寻求规律例1.在 ABC中，AB=AC Z 1= / ABC / 2= 1 / ACB BD与CE相交于点 O,如图，/ BOC勺大小22与/A的大小有什么关系？若/1=t/ABC /2=工/ACB则/ BOCW/ A大小关系如何？33若/ 1 = 1/ABC /2=3/ACB则/ BOd/A大小关系如何？nnA会用等腰三角形的判定和性质计算

4、与证明例2.如图，等腰三角形ABC中,求这个三角形的腰长及底边长.AB=AC 一腰上的中线 BD?各这个等腰三角形周长分成15和6两部分,利用等腰三角形的性质证线段相等例3.如图，P是等边三角形 ABC内的一点，连结 PA PB PC, ?以BP为边作/ PBQ=60 ,且BQ=BP连ZCQ(1)观察并猜想 AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.(2)若PA PB: PC=3: 4: 5,连结PQ试判断 PQC勺形状，并说明理由.例1、等腰三角形底边长为 5cm,腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为()A、2cmB 、8cm C 、2cm 或 8cm D 、不能确定例2、

5、已知 AD为 ABC的高,AB=AC ABC周长为20cm, ADC勺周长为14cm,求AD的长。例3、如图，已知 BC=3, / ABC和/ ACB的平分线相交于点 Q OE/ AB, OF/ AC 求 OEF的周长。例4、如图，已知等边 ABC中，D为AC上中点，延长 BC到E,使CE=CD连接DE,试说明DB=DE例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为450,则这个三角形是（）A、锐角三角形B 、钝角三角形 C 、等边三角形D 、等腰直角三角形例6、（1）等腰三角形的腰长为 10,底边上的高为6,则底边的长为 。（2）直角三角形的周长为 12cm,斜边白长为5cm,则其面积为 ;（3）

6、若直角三角形三边为 1, 2, c,则c=。例7、下列说法：若在 ABC中a2+b2wc：则 ABC不是直角三角形；若 ABC是直角三角形，/ C=9O,则a2+b2=c2;若在 ABC中，a2+b2=c2,则/ C=9C0;若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。正确的有 （把你认为正确的序号填在横线上）。例8、正三角形 ABC所在平面内有一点 巳使彳PAB 4PBC PCA都是等腰三角形，则这样的 P点有（）（A） 1 个（B） 4 个（C） 7 个（D） 10 个例9.四边形ABCDKAB=BC /AB(=/CDA90° , BE!AD于点 E,且四边

7、形 ABCD勺面积为 8,贝U BE=A. 2B. 3C. 2 2 D. 2 310.已知 ABC为正三角形,P为其内一点，且 AP=4, BP=2<3 , CP=2,则 ABC的边长为 （）(A)2曲(B) 2v7(C) 4(D) 4/2三.巩固练习1、已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于9,求它的周长。2、在 ABC中，AB=AC / B=400,则/ A=3、等腰三角形的一个内角是70°,则它的顶角为4、有一个内角为40。的等腰三角形的另外两个内角的度数为5、如图，在 RtAABC, / C= 105°,直线 BD交 AC于 D,把直角三角形沿着直线 BD翻折

8、，点C恰好落在斜边 AB上,如果 ABD等腰三角形，那么/ A等于 （）（A）40 °（B） 30 °（C） 25° （D ）15°6、若 ABC三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则 ABC的形状为（）（A）等腰三角形（B）直角三角形（C）等腰直角三角形（D）等边三角形7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是 （）。A、有一腰和一角对应相等B 、有两边对应相等C、有顶角和一个底角对应相等D 、有两角对应相等8、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）A、顶角 B 、底角 C 、顶角的一半 D、底角的一半9、在等腰三角

9、形 ABC中，/ A与/ B度数之比为5： 2,则/ A的度数是（）A、100° B、75° C 、150° D、75° 或 100°10、如图，P、Q是ABC边 BC上的两点，且 QC= AP= AQ= BP= PQ 则/ BAC=（A、1250B、1300C 、900 D 、120011、如图， ABC中，AB= AC, BQ CE为中线，图中共有等腰三角形（A、4个 B 、6个 C 、3个10题图）个。12、如图，AB= AC, AE= EC, Z ACE= 280,则/ B 的度数是()A 、600B 700C 760D> 450

10、13、如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上（端点A C除外），设 甲虫P到另外两边距离之和为 d,等边三角形ABC的高为h, 则d与h的大小关系是（）【解题方法指导】例1.已知，如图，AB=AC=CD,求证：/ B=2/D例2.已知，如图， ABC是等边三角形,AD/BC , AD ± BD , BC =6,求 AD 的长。【考点指要】等腰三角形、等边三角形及含30。角的直角三角形是应用非常广泛的图形，因此，在中考试题中经常以证明题或计算题频频出现，而且经常把它们结合在一道题中加以应用，虽然题目的难度不是很大,但也要善于分析，找出图形中有关的性质。【典型例题分析】例1. （2

11、005年 苏州）AD =如图，等腰三角形 ABC的顶角为120。，腰长为10,则底边上的高例2.已知，如图， ABC中，/ C = 90° , AB的垂直平分线交 AB于E,交AC于D , AD = 8, / A = 30° ,求CD的长。DCE例3.已知，如图， ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且 AE = CD,又BD与CE交于点F,试求/ BFE的度数。1.已知,如图,AB = AC , / ABD = / ACD ,求证：DB = DC2.已知,如图,D、E 是 BC 上两点，AB =AC , AD =AE,求证：BD = CE3.已知,如图,

12、ABC 中，DE/BC , AB = AC ,求证：AD = AE4 .已知，如图， ABC中，AB=AC, D是AB上一点，E是AC延长线上一点， DE交BC于F,BD = CE,求证:DF= EF图515中，/ B = 90° , AC的垂直平分线交AC 于 D,交 BC 于 E,又/ C=155 .已知，如图，D是BC上一点， ABC、4BDE都是等边三角形，求证： AD = CE6 .已知，如图， ABCEC= 10,求AB的长。例6、如图11,在 ABC中，/ A = 90° , AB = AC , D为BC边中点,DE ± DF ,求证：AE + AF

13、是一个定值.证明：连接AD, . AB=AC, D 为 BC 中点，ADXBC, /BAC=90°, AB = AC ,/. Z B=Z C = 45° ,E、F分别在AB、AC上，且图11 ./BAD =45°, / CAD = 45°,，AD = BD = CD, / EDF = 90° ,/ EDA + / ADF = 90° ,又由 AD ± BC 得/ BDE + / ADE = 90° ,，/ BDE = / ADF ,在 BDE 和 ADF 中，/ B = / DAF , BD = AD , / BD

14、E = / ADF ,. BDE ADF , .BE=AF, . AE +AF =AE + BE = AB (定值).思考：四边形 AEDF的面积是否也是定值呢？为什么？BE 交 AD 于 F,且有 BF =AC , FD = CD,例4、如图9,已知AD为 ABC的高，E为AC上一点,你认为BE与AC之间有怎样的位置关系 ？你能证明它吗?证明：线段BE ±AC,理由如下： AD XBC , ADB =/ADC =90° , ./ FBD +Z BFD = 90° ,在 RtABDFRtAADC 中，BF = AC , FD = CD , RtABDF Rt AD

15、C ,，/BFD=/C, ./ FBD + Z C = 90° , ./ BEC = 180° (/ FBD +/ C) = 180° -90° =90° ,即 BE ±AC.例 5、如图 10,在 ABC 中，Z ACB =90° , AC = BC , M 是 AB 上一点，求证：AM 2 + BM 2 = 2CM 2.证明：过C作CD LAB于点D,. /ACB =90°, AC = BC , CD LAB,A = Z B=45° , / ACD = / BCD = 45° ,. A =

16、/ ACD，/ B = / BCD , .AD=BD, BD= CD,即 AD=BD = CD,222 CDXAB, DM +CD =CM , AM 2 BM 2 = (AD - DM )2 (BD DM )2 = 2(DM 2 CD2) = 2CM 2.思考：请同学们试试用另外的方法来证明本题AO ± BC.例1、如图5,在 ABC中，AB=AC,点O在 ABC内，OB = OC ,求证:证明：延长AO交BC于点D ,-. AB=AC, OB=OC, OA = OA, /. ABO ACO ,/ BAO = / CAO ,即/ BAD = / CAD , . .AD ±B

17、C ,即 AO ± BC .AE=BD,求证：CE = DE .例2、如图6,在等边 ABC中，D、E分别在边BC、BA的延长线上，且证明：过E作EFCD于点F,.ABC 是等边三角形，B = 60°,BEF = 30°, .BE=2BF,即 BA + AE = BC + BD=2BC + CD=2 （ BC + CF ）,CD = 2CF ,.-.CF = DF,在 CEF 和 DEF 中，CF = DF , / CFE = / DFE = 90° , EF = EF , .CEF ADEF , CE = DE.例3、如图7,已知在 ABC中，AB =

18、 AC , P为底边BC上任意一点，PD LAB于点D, PEXAC于点巳求证：PD + PE是一个定值.解：连接 AP,过点C作CFLAB于点F,411由 S逸BC =2AB CF , S相AB =3 AB PD ,c1 1 -S£AC =2AC PE =2 AB PE , S&BC = SAB + S*AC，1 _ _1 _1得：一AB CF =AB PD +AB PE ,2 22即，PD+PE=CF （定值）.说明：本例的结论可用文字语言叙述为：等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高 拓展：如果点P不是在边BC上，而是在BC的延长线上，其它条件保持不变，那么

19、PD与PE之间又有怎样的关系呢？解：连接 AP,过点C作CFLAB于点F,（如图8）11 .由 SBC =2AB CF , SAB =_2 AB PD ,c1_1SJPAC =_AC PE =AB PE , 22S ABC = SaAB - S由AC ,m 1_ _1 一一 1 一一得：一AB CF =AB PD AB PE ,222即，PDPE=CF (定值).即，当点P在BC延长线上时，PD与PE之差为一定值 基础训练：1、填空题：(1)等腰三角形中，如果底边长为6, 一腰长为8,那么周长是 。(2)如果等腰三角形有一边长是6,另一边长是8,那么它的周长是 ;如果等腰三角形的两边长分别是4

20、、8,那么它的周长是 。(3)等腰三角形的对称轴最多有 条。2、填空题：(1)如果 ABC是等腰三角形，那么它的边长(或周长)可以是()A、三条边长分别是 5, 5, 11B、三条边长分别是 4, 4, 8C、周长为14,其中两边长分别是 4, 5 D、周长为24,其中两边长分别是 6, 12(2)等腰三角形一边长为 2,周长为5,那么它的腰长为()A、3 B、2 C、1.5D、2或 1.53、已知等腰三角形的腰长是底边的3倍，周长为35cm,求等腰三角形各边的长。4、已知：如图，AD平分/ BAC , AB=AC，请你说明 DBC是等腰三角形。5、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组 求这个三角形的各边长。x+2y=43x+y=7的解,17互相重合。等腰三角形的顶角平分线、(2)等腰三角形有一个角是120。，那么其他两个角的度数是 和。3 3) AABC 中，/A=/B=2/C,那么/ C=。(4)在等腰三角形中，设底角为x ,顶角为y。，则用含x的代数式表示 v,得y=；用含y的代数式表示 x,得 x=。2、选择题：(1)等腰三角形的一个外角为140° ,那么底角等于()A、40°B、100° C、70° D、40° 或 70°(2)等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于()A、顶角B、底角 C、顶角的一半D、底角